高中数学5.2 余弦函数的图象与性质再认识学案

1．5.2　余弦函数的图象与性质再认识

1．余弦函数的图象

把正弦函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度就得到余弦函数y＝cos x的图象，该图象称为余弦曲线．

也可以用五点法画余弦函数的图象．

2．余弦函数的性质

(1)定义域：R

(2)周期性：最小正周期是2π.

(3)单调性：单调增区间：(k∈Z)，

单调减区间：(k∈Z)．

(4)值域：[－1,1]．

当x＝2kπ，k∈Z时余弦函数y＝cos x取得最大值1；

当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，余弦函数y＝cos x取得最小值－1.

(5)奇偶性：余弦函数y＝cos x在R上是偶函数．

(6)对称性：对称轴x＝kπ，k∈Z，

对称中心，k∈Z.

研习1  　余弦函数的图象　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[典例1]　用“五点法”作函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的图象．

[自主记]

[解]　列表：

描点并用光滑的曲线连接起来，如图．

[巧归纳]　1.用“五点法”作图，首先要找到关键的五个点，然后连线．

2．学习中需加强对用五点法作正弦、余弦函数图象区别和联系的理解．

[练习1]　作出函数y＝1－cos x在[－2π，2π]上的图象．

解：(1)列表：

(2)作出y＝1－cos x在x∈[0,2π]上的图象．由于该函数为偶函数，作关于y轴对称的图象，从而得出y＝1－cos x在x∈[－2π，2π]上的图象．

如图所示：

研习2  余弦函数的定义域、值域问题

[典例2]　求f(x)＝的定义域、值域．

解题探究

f(x)＝cos x的定义域是什么？值域是什么？

[自主记]

[解]　 由2cos x－1≥0知cos x≥，

作出y＝cos x的图象，知

2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，

∴定义域为{x.

又∵≤cos x≤1，∴1≤2cos x≤2.

∴0≤2cos x－1≤1.

∴y＝的最小值为0，最大值为1，

即值域为[0,1]．

解题探究：f(x)＝cos x的定义域为R，值域为[－1,1]．

[巧归纳]　求与余弦函数有关的函数的定义域、值域时要注意数形结合思想的运用，以及余弦函数的有界性．

[练习2]　求y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的最值．

解：y＝3cos2x－4cos x＋1＝32－.

∵x∈，cos x∈，

从而当cos x＝－，即x＝时，ymax＝；

当cos x＝，即x＝时，ymin＝－.

∴原函数在区间上的最大值为，最小值为－.

研习3  余弦函数的性质

[典例3]　已知f(x)＝2＋cos x.

(1)判断函数的奇偶性；

(2)求函数的单调区间；

(3)求函数的最小正周期．

解题探究

1．f(x)＝2＋cos x与g(x)＝cos x的奇偶性相同吗？

2．f(x)＝2＋cos x与g(x)＝cos x的单调性相同吗？

[自主记]

[解]　(1)∵f(x)＝2＋cos x的定义域为R且f(－x)＝f(x)，

∴函数f(x)＝2＋cos x为偶函数．

(2)∵y＝cos x在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的，

∴y＝2＋cos x的递增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，递减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．

(3)由cos x的周期性知y＝2＋cos x的最小正周期为2π.

解题探究：1.相同．　2.相同．

[巧归纳]　对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函数图象并类比正弦函数的相关性质进行记忆，其解题规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致．

[练习3]　已知函数y＝cos x＋|cos x|.

(1)画出函数图象的简图；

(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；

(3)指出这个函数的增区间．

解：(1)y＝cos x＋|cos x|

＝

函数图象如图所示．

(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.

(3)由图象知函数的增区间为(k∈Z)．

[易错误区]　应用换元法求三角函数最值的常见

误区

[典例]　函数y＝cos2x－4cos x＋5的值域是________．

[答案]　[2,10]

[解析]　令t＝cos x，

由于x∈R，故－1≤t≤1①，

y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1.

当t＝－1，即cos x＝－1时函数有最大值10；

当t＝1，即cos x＝1时函数有最小值2.

所以该函数的值域是[2,10].

[误区警示]

[防范措施]

在利用换元法求解有关“二次函数型”函数值域问题时，要特别注意换元后“新元”的范围，即为新函数的定义域，以便求解函数的值域，如本例，若忽略余弦函数的有界性，即不注意新元的范围极易致错．

[类题试解]　已知y＝2cos2x＋5sin x－4，求其最大值和最小值．

解：∵cos2x＝1－sin2x，

∴y＝2cos2x＋5sin x－4

＝－2sin2x＋5sin x－2

＝－22＋.

∵－1≤sin x≤1，

∴当sin x＝－1，即x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－9；

当sin x＝1，即x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1.

∴ymin＝－9，ymax＝1.

[规律指津]

1.余弦函数的图象特征

(1)对称性：

由y＝cos x(x∈R)的图象可以看出函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)，对称中心为(k∈Z)．

(2)周期性：

y＝cos x(x∈R)是周期函数，且最小正周期为2π，相邻零点之间相差半个周期，相邻两个最大值间相差一个周期．

由于y＝cos x(x∈R)是周期函数，故要研究其性质只需先选定一个周期研究，然后延拓到整个定义域上即可．

(3)有界性：

y＝cos x的图象夹在两平行直线y＝±1间，即|cos x|≤1.

2.利用余弦函数的单调性比较函数值的大小时，需将所比较的两个角转化到余弦函数的同一个单调区间内．

1.设函数f(x)＝cos x，x∈[0,2π]，对于以下三个命题：

①函数f(x)的值域为[－1,1]；

②当且仅当x＝0时，f(x)取得最大值；

③当且仅当<x<时，f(x)<0.

其中正确命题的个数是(　　)

A．0   B．1 

C．2   D．3

答案：C　

解析：作出函数f(x)＝cos x，x∈[0,2π]的图象，可知其值域为[－1,1]，当<x<时，f(x)<0，所以①③均正确．当x＝0或x＝2π时，f(x)取得最大值为1，所以②错．所以正确命题的个数为2.故应选C．

2.关于x的函数f(x)＝cos(x＋α)有以下命题：

①对任意α，f(x)都是非奇非偶函数；

②不存在α，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；

③存在α，使f(x)是偶函数；

④对任意α，f(x)都不是奇函数．

其中一个错误命题的序号是________，因为当α＝________时，该命题的结论不成立．

答案：①　0

3.用“五点法”画出函数y＝3＋2cos x在[0,2π]上的图象．

解：列表：

描点，连线得y＝3＋2cos x在一个周期内的图象(如图所示)．

4.求函数f(x)＝－cos2x＋acos x＋－，x∈的最大值．

解：f(x)＝－cos2x＋acos x＋－

＝－2＋－＋.

∵x∈，∴cos x∈[0,1]，

∴当<0，即a＜0，cos x＝0时，

f(x)max＝－；

当0≤≤1，即0≤a≤2，cos x＝时，

f(x)max＝－＋；

当>1，即a＞2，cos x＝1时，

f(x)max＝－1＋a＋－＝－.

∴f(x)max＝