数学必修 第二册第一章 三角函数5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识5.1 正弦函数的图象与性质再认识导学案

1.5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识

1.5.1　正弦函数的图象与性质再认识

课前篇·自主学习预案

1.正弦函数的图象

(1)画正弦函数图象的步骤可以归纳如下：

第一步：如图所示，在直角坐标系的x轴的负半轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆；

第二步：从圆O1与x轴的交点A起把圆弧分成12等份；

第三步：过圆O1上各分点分别作x轴的垂线，得到对应于角0，，，，…，2π等分点的正弦值；

第四步：相应地，再把x轴上从0到2π这一段分成12等份；

第五步：再把角x所对应的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上表示数x的点重合；

第六步：最后用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到了正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．

(2)五点法作正弦函数的图象，五个点为(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．

2.正弦函数的性质

(1)定义域：R.

(2)周期性：最小正周期为2π.

(3)单调性：单调增区间：(k∈Z)，

单调减区间：(k∈Z)．

(4)值域：[－1,1]．

当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，正弦函数y＝sin x取得最大值1；

当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时，正弦函数y＝sin x取得最小值－1.

(5)奇偶性：正弦函数y＝sin x在R上是奇函数．

(6)对称性：对称轴x＝kπ＋，k∈Z，对称中心(kπ，0)，k∈Z.

课堂篇·研习讨论导案

研习1　五点法作函数的图象　　　　　　　　　　　　

[典例1]　用“五点法”画出函数y＝3－sin x(x∈[0,2π])的图象．

解题探究

y＝3－sin x与y＝sin x借助于五点作图法作图所取的五点相同吗？

[自主记]

[解]　(1)列表，如下表所示：

(2)描点，连线，如图所示：

解题探究：相同．

[巧归纳]　“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分，分别找出图象的最高点、最低点及平衡点等五个关键点，由这五个点大致确定图象的位置和形状.

[练习1]　1.函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致图象是下图中的(　　)

答案：B　

解析：当x＝0时，y＝1－sin 0＝1，排除C，D选项；当x＝时，y＝1－sin ＝0，排除A.

2.作出y＝的图象．

解：∵y＝＝|sin x|，

∴只需作出y＝sin x的图象，并将x轴下方的部分作关于x轴的对称即可．

列表，如下表所示：

描点连线，如图所示：

研习2  正弦函数的定义域

[典例2]　求下列函数的定义域：

(1)y＝；

(2)y＝.

解题探究

1.分式、根式有意义的条件是什么？

2.满足sin x＝－1，sin x＝－的x值是什么？

3.三角不等式怎么解？

[自主记]

[分析]　在(1)中使函数有意义的x满足1＋sin x≠0；(2)中要求2sin x＋1≥0.

[解]　(1)要使函数有意义，需满足1＋sin x≠0，

即sin x≠－1，

∴x≠2kπ＋(k∈Z)．

∴函数的定义域为(k∈Z)．

(2)由题意知2sin x＋1≥0，

∴sin x≥－.①

在一个周期上满足①的x∈.

∴函数的定义域为(k∈Z)．

解题探究：1.分式有意义要求分母不为0；

偶次方根有意义要求被开方数大于等于0.

2.当x＝2kπ－(k∈Z)时，sin x＝－1；

当x＝2kπ－或x＝2kπ＋(k∈Z)时，sin x＝－.

3.三角不等式可借助图象求解．

[巧归纳]　解形如f(α)≤m或f(α)≥m(|m|＜1)的三角不等式的方法

(1)在直角坐标系及单位圆中，标出满足f(α) ＝m的两个角的终边，此时f为sin，则角的终边是直线y＝m与单位圆的两个交点与原点的连线．

(2)根据三角函数值的大小，找出α在0～2π内的取值，再加上k·2π(k∈Z).

[练习2]　求函数y＝＋的定义域．

解：解法一：根据函数表达式可得

即

作正弦曲线如图，可得原函数定义域为[－π，0]∪[π，4]．

解法二：由得

即

在数轴上观察可得：原函数定义域为[－π，0]∪[π，4]．

研习3   正弦函数的单调性及应用

[典例3]　比较下列各组数的大小：

(1)sin和cos；

(2)sin 194°与cos 110°.

[自主记]

[分析]　利用y＝sin x与y＝cos x的单调性比较，化角为同一单调区间上的两个角．

[解]　(1)∵cos＝sin，

又＜＜＋＜，

y＝sin x在上是减函数，

∴sin＞sin＝cos，

即sin＞cos.

(2)∵sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，

cos 110°＝cos(180°－70°)＝－cos 70°＝－sin 20°，

y＝sin x在上是增加的，

且0°<14°<20°<90°，

∴sin 14°<sin 20°，

∴－sin 14°>－sin 20°，即sin 194°>cos 110°.

[巧归纳]　三角函数值如何比较大小

应用诱导公式把角转化为同一单调区间，再利用单调性比较大小，也可利用三角函数线比较大小，应注意长度与方向性.

[练习3]　比较下列各组数的大小：

(1)sin 194°，cos 160°；

(2)sin 1，sin 2，sin 3，sin 4.

解：(1)∵sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，

cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°，

又0°<14°<70°<90°，

∴sin 14°<sin 70°.

从而－sin 14°>－sin 70°，

即sin 194°>cos 160°.

(2)∵sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)，

且0<π－3<1<π－2<，

函数y＝sin x在上是增加的，

∴sin(π－2)>sin 1>sin(π－3)>0，

即sin 2>sin 1>sin 3>0.

∵π<4<，∴sin 4<0，

故sin 2>sin 1>sin 3>sin 4.

研习4   正弦函数的值域(最值)

[典例4]　求下列函数的最值，并求取得最值时x的取值集合．

(1)y＝3－2sin x；

(2)y＝sin2x－4sin x＋5.

解题探究

1.y＝sin x(x∈R)的值域是什么？

2.二次函数怎样求值域？

[自主记]

[分析]　y＝sin x的最大值为1，最小值为－1.

[解]　(1)∵－1≤sin x≤1，

∴－2≤－2sin x≤2.∴y∈[1,5]．

∴当x＝2kπ＋(k∈Z)时函数有最小值1；当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数有最大值5.

即当函数取最小值1时，x的取值集合为

；

当函数取最大值5时，x的取值集合为

.

(2)∵y＝(sin x－2)2＋1，

∴当sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝10；

当sin x＝1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝2.

即当y取得最大值10时，x的取值集合是

；

当y取得最小值2时，x的取值集合是

.

解题探究：1.y＝sin x的值域为[－1,1]．

2.二次函数配方在给定区间上求值域，尤其注意定义域．

[巧归纳]　关于正弦函数的二次函数求值域问题

先把sin x看成一个整体t，则原函数可看成关于t的二次函数在指定区间上求值域问题，尤其需要注意定义域.

[练习4]　求下列函数的值域：

(1)y＝；

(2)y＝－sin2x－sin x＋1，x∈.

解：(1)∵y＝，

∴sin x＝.

∵|sin x|≤1，∴≤1，解得－2≤y≤0.

∴函数的值域为{y|－2≤y≤0}．

(2)y＝－sin2x－sin x＋1

＝－2＋.

∵－≤x≤，

∴当x＝时，y最小＝；

当x＝－时，y最大＝.

∴函数的值域为.

 [易错误区]　判断函数奇偶性时忽略函数的定义

域致误

[典例]　函数y＝的奇偶性为(　　)

A．奇函数　　　　　　　　 B．既是奇函数又是偶函数

C．偶函数   D．非奇非偶函数

[错解]　f(x)＝y＝＝|sin x|，

∴f(－x)＝|sin(－x)|＝|sin x|＝f(x)．

∴函数为偶函数．

[正解]　由题意知，当1－sin x≠0，即sin x≠1时，y＝＝|sin x|，所以函数的定义域为x，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．

[答案]　D

[防范措施]

准确判断函数的奇偶性

此类问题一般是按函数奇偶性定义加以判断，判断奇偶性要本着定义域优先的原则，同时若要化简，应注意化简前后的等价性，如本例，若化为y＝|sin x|，则易出现判断该函数为偶函数的错误．

[类题试题]　函数y＝在定义域内是(　　)

A．奇函数 

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 

D．非奇非偶函数

答案：D　

解析：要使y＝有意义，只需满足

即

故sin x＝1，即x＝＋2kπ，k∈Z，此时y＝0，此时定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数．

[规律指津]

1．求正弦函数在给定区间[a，b]上的值域时，要注意结合图象判断在[a，b]上的单调性及有界性．

2．利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内．

3．观察正弦曲线不难发现：

(1)正弦曲线是中心对称图形，对称中心的坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线和x轴的交点，原点是其中的一个．

(2)正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)；正弦曲线的对称轴一定过正弦曲线的最高点或最低点．

达标篇·课堂速测演习

1．y＝2与y＝sin 2x的交点个数是(　　)

A．0个   B．1个

C．2个   D．无数个

答案：A　

解析：作出两函数的图象，可得交点个数．

2．函数y＝的定义域为_____________________________．

答案：(2kπ，π＋2kπ)(k∈Z)　

解析：要使函数有意义，

需sin x>0，∴2kπ<x<2kπ＋π(k∈Z)．

3．画出函数y＝1－sin x(x∈R)的简图，并求出函数的最大值、最小值以及使函数取得最大值、最小值时自变量x的取值集合．

解：按五个关键点列表：

描点作图：

当sin x＝－1时，y＝1－sin x最大，此时x＝－＋2kπ(k∈Z)；当sin x＝1时，y＝1－sin x最小，此时x＝＋2kπ(k∈Z)．

所以y最大＝2，此时x∈；

y最小＝0，此时x∈.

4．求下列函数的值域：

(1)y＝3－4sin x，x∈R；

(2)y＝－sin2x＋2sin x－1，x∈R；

(3)y＝，x∈R.

解：(1)∵－1≤sin x≤1，

∴－4≤－4sin x≤4，

∴－1≤3－4sin x≤7，即－1≤y≤7.

∴函数y＝3－4sin x，x∈R的值域是[－1,7]．

(2)y＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2.

∵－1≤sin x≤1，

∴－4≤－(sin x－1)2≤0，即－4≤y≤0.

∴函数y＝－sin2x＋2sin x－1，x∈R的值域是[－4,0]．

(3)y＝＝＝－1.

∵1≤2－sin x≤3，

∴≤≤1，∴≤－1≤3.

∴函数y＝，x∈R的值域是.