高中北师大版 (2019)5.2 余弦函数的图象与性质再认识导学案

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余弦函数的图象与性质
思考：1.如何由y＝sin x，x∈R的图象得到y＝cs x，x∈R的图象？
提示：只需将y＝sin x，x∈R的图象向左平移eq \f(π,2)个单位即可得到y＝cs x，x∈R的图象．
2．余弦曲线对称轴与中心对称图形分别是什么？
提示：余弦曲线与正弦曲线一样既是轴对称图形，也是中心对称图形．它的对称轴有无数条，其方程是x＝kπ，k∈Z；它的对称中心有无数个，其坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z.
1．函数y＝cs x，x∈R的图象向左平移eq \f(π,2)个单位后，得到函数y＝geq (\a\vs4\al\c1(x))的图象，则geq (\a\vs4\al\c1(x))的解析式为( )
A．－sin x B．sin x
C．－cs xD．cs x
A [依题意知，geq (\a\vs4\al\c1(x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－sin x，故选A．]
2．函数y＝－cs x，x∈R是( )
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为2π的奇函数
C [由于y＝－cs x的图象与y＝cs x的图象关于x轴对称，
所以y＝－cs x的周期与y＝cs x的周期相同，且图象仍关于y轴对称，所以是偶函数，故选C．]
3．设函数feq (\a\vs4\al\c1(x))＝eq \r(3,x)cs x＋1，若feq (\a\vs4\al\c1(a))＝11，则feq (\a\vs4\al\c1(－a))＝________.
－9 [令geq (\a\vs4\al\c1(x))＝feq (\a\vs4\al\c1(x))－1＝eq \r(3,x)cs x，则geq (\a\vs4\al\c1(x))为定义在R上的奇函数．
又∵feq (\a\vs4\al\c1(a))＝11，∴geq (\a\vs4\al\c1(a))＝feq (\a\vs4\al\c1(a))－1＝10，
∴geq (\a\vs4\al\c1(－a))＝－geq (\a\vs4\al\c1(a))＝－10，
∴feq (\a\vs4\al\c1(－a))＝geq (\a\vs4\al\c1(－a))＋1＝－9.]
4．画出y＝1－3cs x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2π))上的简图，并指出其最值和单调区间．
[解] 列表：
图象如下：
由图象可知，函数y＝1－3cs x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2π))上的最大值为4，最小值为－2，单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，π))，减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，2π)).
【例1】 画出函数y＝1－cs x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2π))的图象．
[解] 按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来
如图所示：
1．画余弦函数的图象，与画正弦函数图象的方法一样，关键要确定五个关键点．这五个点的坐标是(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2．形如y＝acs x＋b，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2π))的函数，也可由五点法画图象．
eq \([跟进训练])
1．用“五点法”画出y＝3＋2cs x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2π))的图象．
[解] (1)列表
(2)描点，连线，如图所示：
【例2】 (1)求函数y＝3－cs x的单调增区间；
(2)比较大小：cseq \f(18π,7)________cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,7))).
[思路点拨] (1)y＝3－cs x的单调性与y＝－cs x的单调性一致，与y＝cs x的单调性相反；(2)利用诱导公式转化到同一单调区间上来比较大小．
(1)[解] 由于y＝cs x的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ，2kπ＋π))，k∈Z，
所以函数y＝3－cs x的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ，2kπ＋π))，k∈Z.
(2)< [由于cseq \f(18,7)π＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(4,7)π))＝cseq \f(4π,7)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,7)))＝cseq \f(π,7)，
又∵eq \f(π,7)cseq \f(4π,7)，即cseq \f(18π,7)0时，其单调性同y＝cs x的单调性一致；
(2)当a