高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第一章 三角函数5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识5.1 正弦函数的图象与性质再认识导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第一章 三角函数5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识5.1 正弦函数的图象与性质再认识导学案，共7页。

借助单位圆，能画出正弦、余弦函数的图象，借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质.
5.1 正弦函数的图象与性质再认识
[教材要点]
要点一 五点法作图
画函数y＝sin x，x∈[0,2π]的五个关键点是：____________，__________，__________，__________，(2π，0)．
eq \x(状元随笔) 关于正弦函数y ＝sin x的图象
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z的图象与x∈[0,2π]上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等．
(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y＝sin x，x∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．
要点二 正弦函数的性质
[教材答疑]
[教材P29思考交流]
正弦函数y＝sin x的图象既是轴对称又是中心对称，对称轴方程为x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z；对称中心为(kπ，0)(k∈Z)．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)第一象限内的角越大，其正弦线越长．( )
(2)正弦函数的图象向左、右两边无限延伸．( )
(3)正弦函数是定义域上的增函数．( )
(4)正弦曲线的对称轴为x＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，对称中心点为(2kπ，0)(k∈Z)．( )
2．下列图象中，是y＝－sin x在[0,2π]上的图象的是( )
3．[多选题]下列函数中，最小正周期为π的是( )
A．y＝sin x B．y＝sin 2x
C．y＝sin 3x D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
4．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图象的对称轴方程是________.
题型一 用五点法作函数y＝Asin x＋b(A≠0)，x∈[0,2π]的简图——师生共研
例1 在[0,2π]内用“五点法”画出y＝－sin x－1的简图．
方法归纳
用五点法画函数y＝Asin x＋b(A≠0)，x∈[0,2π]的简图的步骤：
(1)列表：
(2)描点：在平面直角坐标系中描出(0，b)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，A＋b))，(π，b)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－A＋b))，(2π，b)五个点．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来．
跟踪训练1 利用“五点法”画出函数y＝－2＋sin x，x∈[0,2π]的简图．
题型二 根据正弦函数的图象求角的范围——师生共研
例2 利用正弦曲线，求满足eq \f(1,2)eq \x(状元随笔) 先作出正弦函数y ＝sin x在[0,2π]上的简图，确定出在一个周期[0,2π]内x的取值范围，再结合正弦函数周期性得到全部x的取值范围．
变式探究 将本例中的条件改为“sin x≥eq \f(\r(2),2)”，求x的取值范围．
方法归纳
利用正弦曲线求解sin x≥a(≤a)的步骤
(1)作出正弦函数在一个周期内的图象；(2)作直线y＝a与函数图象相交；(3)在一个周期内确定x的取值范围；(4)根据正弦函数周期性确定最终范围．
题型三 正弦函数的基本性质——微点探究
微点1 求周期
例3 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))的周期为________．
微点2 单调性的应用——比较大小
例4 若a＝sin 1，b＝sin 2，c＝sin 3，则( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．a>c>b D．b>a>c
微点3 最大(小)值
例5 若函数y＝a－bsin x的最大值为eq \f(3,2)，最小值为－eq \f(1,2)，试求函数y＝－4asin bx的最值．
方法归纳
(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)，可利用T＝eq \f(2π,ω)求周期．
(2)比较大小：利用诱导公式转化为自变量在同一单调区间上．
(3)求形如：y＝asin x＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性求解．
跟踪训练2 (1)[多选题]下列比较大小正确的是( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,14)))>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12))) B．sineq \f(π,3)C．sineq \f(18π,7)(2)对于函数f(x)＝xsin x，给出下列三个命题：
①f(x)是偶函数；
②f(x)是周期函数；
③f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值为eq \f(π,2).
其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．
易错辨析 忽视正弦函数的有界性致误
例6 已知sin x＋sin y＝eq \f(1,3)，求M＝sin x＋sin2y－1的最大值与最小值．
解析：因为sin x＋sin y＝eq \f(1,3)，所以sin x＝eq \f(1,3)－sin y.
因为－1≤sin x≤1，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤\f(1,3)－sin y≤1，,－1≤sin y≤1，))
解得－eq \f(2,3)≤sin y≤1.
又易知M＝sin x＋sin2y－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin y－\f(1,2)))2－eq \f(11,12)，
所以当sin y＝－eq \f(2,3)时，Mmax＝eq \f(4,9)；
当sin y＝eq \f(1,2)时，Mmin＝－eq \f(11,12).
易错警示
§5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5．1 正弦函数的图象与性质再认识
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
(0,0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1)) (π，0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))
要点二
R [－1,1] 2π 奇 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2))) 2kπ＋eq \f(π,2) 2kπ＋eq \f(3π,2)
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．解析：函数y＝－sin x的图象与函数y＝sin x的图象关于x轴对称，故选D.
答案：D
3．答案：BD
4．解析：由x－eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x＝kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z.
答案：x＝kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：①列表：
②描点并用光滑曲线连接可得其图象如图所示．
跟踪训练1 解析：按五个关键点列表如下．
描点并连线，得函数y＝－2＋sin x，x∈[0,2π]的图象如图所示．
题型二
例2 解析：作出y＝sin x在[0,2π]上的图象(如图所示)．
作出直线y＝eq \f(1,2)，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的交点横坐标为eq \f(π,6)和eq \f(5π,6)；作出直线y＝eq \f(\r(3),2)，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的交点横坐标为eq \f(π,3)和eq \f(2π,3).则eq \f(1,2)由正弦函数的周期性可知，不等式eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(π,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(2π,3)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)．
变式探究 解析：如图，作y＝sin x的图象与直线y＝eq \f(\r(2),2).
在[0,2π]内满足sin x≥eq \f(\r(2),2)的角x的取值范围为eq \f(π,4)≤x≤eq \f(3π,4)，所以由正弦函数的周期性知，满足sin x≥eq \f(\r(2),2)的角x的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)))).
题型三
例3 解析：周期T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π.
答案：4π
例4 解析：∵a＝sin 1，b＝sin 2＝sin(π－2)，c＝sin 3＝sin(π－3)，且0<π－3<1<π－2a>c.
答案：D
例5 解析：设t＝sin x∈[－1,1]，则y＝a－bt.
①当b>0时，a－b≤a－bt≤a＋b.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝\f(3,2)，a－b＝－\f(1,2)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，b＝1.))
∴所求函数为y＝－2sin x.
②当b<0时，同理可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＝\f(3,2)，a＋b＝－\f(1,2)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，b＝－1.))
∴所求函数为y＝－2sin(－x)＝2sin x.
∴综合①②得，所求函数为y＝±2sin x，其最小值为－2，最大值为2.
跟踪训练2 解析：(1)A中，∵－eq \f(π,2)<－eq \f(π,12)<－eq \f(π,14)<0，且y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))上单调递增，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,14)))>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))，A正确；B中，∵sineq \f(5π,6)＝sineq \f(π,6)，又0sineq \f(π,6)，D错误．故选AC.
(2)∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，故①正确；
虽然函数y＝sin x是周期函数，但f(x)＝xsin x不具有周期性，故②错误；
易知f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增加的，∴f(x)在eq \f(π,2)处取得最大值，最大值为eq \f(π,2)sineq \f(π,2)＝eq \f(π,2)，故③正确．
答案：(1)AC (2)①③
定义域
________
值域
________
周期性
最小正周期________
奇偶性
________函数
单调性
在区间________________(k∈Z)上单调递增，
在区间________________(k∈Z)上单调递减
最大(小)值
当x＝________，k∈Z时，最大值为1；
当x＝________，k∈Z时，最小值为－1.
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
y＝sin x
0
1
0
－1
0
y＝Asin x＋b
b
A＋b
b
－A＋b
b
易错原因
纠错心得
未求出sin y的范围，直接利用当sin y＝－1时，Mmax＝eq \f(4,3)，致错.
应利用sin x＋sin y＝eq \f(1,3)与sin x∈[－1,1]求出sin y的取值范围．这是解题正确的关键.
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
y
－1
－2
－1
0
－1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
－2＋sin x
－2
－1
－2
－3
－2