人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时习题

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式

第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式

1.A　[解析] ∵A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},∴A∪B={x|-1<x<3},故选A.

2.C　[解析] ①显然不满足条件;②中Δ=(-2)2-4×>0,解集不为R;③中Δ=62-4×10<0,解集为R;④中不等式可化为2x2-3x+3<0,它所对应的二次函数的图像开口向上,显然不满足条件.故选C.

3.B　[解析] 由于a<0,依题意知ax2-(2+a)x+2>0可化为(-ax+2)(x-1)<0,故不等式的解集为x<x<1.故选B.

4.C　[解析] ∵关于x的不等式ax-b<0,即ax<b的解集是{x|x>1},∴a=b<0,∴不等式(ax+b)(x-3)>0可化为(x+1)(x-3)<0,解得-1<x<3,∴所求不等式的解集是{x|-1<x<3},故选C.

5.A　[解析] 由x2-2x-3≤0得-1≤x≤3,所以A={x|-1≤x≤3}.由x2-2mx+m2-4>0,即(x-m)2>4,得x>2+m或x<-2+m,所以B={x|x>2+m或x<-2+m}.因为p是q的充分不必要条件,所以A⫋B,所以3<-2+m或2+m<-1,解得m>5或m<-3,所以m的取值范围是{m|m<-3或m>5}.故选A.

6.A　[解析] 由条件知x1,x2为方程x2-2ax-8a2=0的两根,则x1+x2=2a,x1x2=-8a2.由(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-8a2)=36a2=152,可得a=.故选A.

7.BD　[解析] A选项,Δ=12-4×(-1)×1=5>0,所以-x2+x+1≤0的解集不可能为空集;B选项,Δ=(-3)2-4×2×4=-23<0,而y=2x2-3x+4的图像开口向上,所以2x2-3x+4<0的解集为空集;C选项,x2+6x+9=(x+3)2≤0的解集为{-3},所以不为空集;D选项,Δ=42-4×(-1)×-a+=42-4×a+≤16-8=16-16=0(当且仅当 a = 2时等号成立),而y=-x2+4x-a+的图像开口向下,所以-x2+4x-a+>0的解集为空集.故选BD.

8.BD　[解析] 选项A,假设不等式ax2+bx+3>0的解集是{x|x>3},则解得则不等式为-x+3>0,解得x<3,与解集是{x|x>3}矛盾,假设不成立,故选项A错误;选项B,当a=1,b=0时,不等式x2+3>0恒成立,则解集是R,故选项B正确;选项C,假设不等式ax2+bx+3>0的解集是⌀,则显然该不等式组无解,假设不成立,故选项C错误;选项D,假设不等式ax2+bx+3>0的解集是{x|-1<x<3},则解得假设成立,故选项D正确.故选BD.

9.{x|-6<x<6}　[解析] x2-5|x|-6<0,即(|x|-6)(|x|+1)<0,即|x|-6<0,所以|x|<6,解得-6<x<6.

10.{x|-2≤x≤-1或2≤x≤3}　[解析] 原不等式组等价于x2-x-2≥0且x2-x-2≤4.解x2-x-2≥0,得x≤-1或x≥2;解x2-x-2≤4,得-2≤x≤3.所以原不等式组的解集为{x|x≤-1或x≥2}∩{x|-2≤x≤3}={x|-2≤x≤-1或2≤x≤3}.

11.a≥2　[解析] A={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}.当a≤1时,B={x|a≤x≤1},A⊆B不成立;当a>1时,B={x|1≤x≤a},若A⊆B,则a≥2.故a的取值范围是a≥2.

12.x-<x<-　[解析] 由题意知2,3是方程x2-ax-b=0的两个根,所以2+3=a,2×3=-b,可得a=5,b=-6,所以bx2-ax-1>0为-6x2-5x-1>0,即6x2+5x+1<0,解得-<x<-,所以解集为x-<x<-.

13.解:(1)不等式25x2-10x+1>0即为(5x-1)2>0,解得x≠,

因此,不等式25x2-10x+1>0的解集为xx≠.

(2)不等式-2x2+x+1<0即为2x2-x-1>0,

即(2x+1)(x-1)>0,解得x<-或x>1,

因此,不等式-2x2+x+1<0的解集为xx<-或x>1.

(3)由得所以-1<x≤1或2≤x<3,

故不等式组的解集为{x|-1<x≤1或2≤x<3}.

14.解:(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},

所以1和b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b>1,

由根与系数的关系,得解得

(2)原不等式可化为x2-(c+2)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.

①当c>2时,不等式的解集为{x|2<x<c};

②当c<2时,不等式的解集为{x|c<x<2};

③当c=2时,不等式的解集为⌀.

15.m<0或m>4　[解析] 若m=0,则原不等式等价于1<0,此时不等式的解集为空集,不符合题意.若m≠0,要使不等式mx2-mx+1<0的解集不是空集,则m>0时,有Δ=m2-4m>0,可得m>4,m<0时符合题意.综上,m的取值范围是m<0或m>4.

16.(1)-4　(2){1,,,7}　[解析] (1)设2x-=k∈Z,则x=,∴3x+1=k+1+,于是原方程等价于=-1,即-2<≤-1,从而-<k≤-,故k=-5或-4,相应的x为-,-.于是全部实根之和等于-4.

(2)∵x≥[x]=,∴x2-8x+7≤0,∴1≤x≤7.若[x]=1,则x2=1,∴x=1;若[x]=2,则x2=9,x=3与[x]=2矛盾;若[x]=3,则x2=17,[x]=4与[x]=3矛盾;若[x]=4,则x2=25,x=5与[x]=4矛盾;若[x]=5,则x2=33,∴x=;若[x]=6,则x2=41,∴x=;若[x]=7,则x2=49,∴x=7.综上可知,方程x2-8[x]+7=0的所有解组成的集合为{1,,,7}.

17.解:(1)因为函数y=x2+(3-a)x+2+2a+b,a,b∈R,且y>0的解集为{x|x<-4或x>2},

所以-4,2是方程x2+(3-a)x+2+2a+b=0的两根,

所以解得

(2)由y<12+b,得x2+(3-a)x+2a-10<0.

令y1=x2+(3-a)x+2a-10,

则y1=(x-2)[x-(a-5)],

所以2是函数y1=(x-2)[x-(a-5)]的一个零点,

故y1<0的解集中的3个整数只能是3,4,5或-1,0,1.

若解集中的3个整数是3,4,5,则5<a-5≤6,得10<a≤11;

若解集中的3个整数是-1,0,1,则-2≤a-5<-1,得3≤a<4.

综上,实数a的取值范围为{a|3≤a<4或10<a≤11}.