专题5 二次根式最热考点——阅读材料题-2022-2023学年八年级数学下册专题提优及章节测试卷（人教版）

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专题5 二次根式最热考点——阅读材料题（解析版）
第一部分 典例精析+变式训练
类型一 分母有理化
典例1（2022秋•万柏林区校级月考）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：3×3=3，（6−2）（6+2）＝6﹣2＝4，我们称3的一个有理化因式是3，6−2的一个有理化因式是6+2．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如13=1×33×3=33，86−2=83×3(6−2)(6+2)=8(6+2)44＝26+22．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）13的有理化因式为 　13　，7+5的有理化因式为 　7−5　；（均写出一个即可）
（2）将下列各式分母有理化：①315；②1125−3．（要求：写出变形过程）
思路引领：（1）根据互为有理化因式的定义得出答案即可；
（2）①先分子和分母都乘以分母的有理化因式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可；
②先分子和分母都乘以分母的有理化因式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可．
解：（1）13的有理化因式为13，7+5的有理化因式为7−5，
故答案为：13，7−5；
（2）①315
=3×1515×15
=31515
=155；
②1125−3
=11×(25+3)(25−3)×(25+3)
=11×(25+3)11
＝25+3．
总结提升：本题考查了平方差公式，分母有理化和二次根式的混合运算，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．
变式训练
1．（2022秋•修水县期中）阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：
两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：a与a，2+1与2−1．
（1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：　 　．
化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：23−2=2(3+2)(3−2)(3+2)=6+23−2=6+2．
（2）请仿照上述方法化简：35−2．
（3）比较13−1与 15−3的大小．
思路引领：（1）根据有理化因式的概念写出乘积不含二次根式的两个式子即可；
（2）分子，分母同时乘以分母的有理化因式即可；
（3）分母有理化后再比较．
解：（1）5+2与5−2互为有理化因式，
故答案为：5+2与5−2（答案不唯一）；
（2）35−2
=3(5+2)(5−2)(5+2)
=5+2；
（3）13−1=3+12，15−3=5+32，
∵3+12＜5+32，
∴13−1＜15−3．
总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化．
类型二 二重根式的化简
典例2（2022秋•郸城县期中）请阅读下列材料：
形如m±2n的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即(a)2+(b)2=m，a×b=n，那么便有m±2n=(a±b)2=a±b（a＞b）．
例如：化简7+43．
解：首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝12，
由于4+3＝7，4×3＝12，即(4)2+(3)2=7，4×3=12，
所以7+43=7+212=(4+3)2=2+3．
请根据材料解答下列问题：
（1）填空：5−26=　 ．
（2）化简：21−123（请写出计算过程）．
思路引领：（1）利用完全平方公式化简得出答案；
（2）利用完全平方公式以及二次根式的性质化简得出答案．
解：（1）5−26=(3−2)2=3−2；
故答案为：3−2；

（2）首先把21−123化为21−2108，这里m＝21，n＝108，
∵9+12＝21，9×12＝108，即(9)2+(12)2=21，9×12=108，
∴21−123=21−2108=(9−12)2=12−9=23−3．
总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
变式训练
1．（2022秋•沙县期中）阅读材料：我们已经知道，形如ca±b的无理数的化简要借助平方差公式：
例如：32−3=3×(2+3)(2−3)(2+3)=6+3322−(3)2=6+334−3=6+33．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：7+43该如何化简？
建立模型：形如m+2n的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样(a)2+(b)2=m，a⋅b=n，
那么便有：m±2n=(a±b)2=a±b（a＞b），
问题解决：化简：7+43，
解：首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即(4)2+(3)2=7，4×3=12
∴7+43=7+212=(4+3)2=2+3．
模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1）6+25；
（2）13−410；
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4−3，AC=3，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．
思路引领：（1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；
（2）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；
（3）根据勾股定理求出即可．
解：（1）这里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5，
即12+（5）2＝6，1×5=5，
所以：6+25
=12+2×1×5+(5)2
=(1+5)2
＝1+5；
（2）首先把13−410化为13−240，这里m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝40，
即（5）2+（8）2＝13，5×8=40，
所以13−410
=13−240
=(5)2−2×5×8+(8)2
=(5−8)2
=8−5
＝22−5；
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
所以，(3)2+BC2=(4−3)2
所以，BC=16−83=23−2．
总结提升：本题考查的是分母有理化，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
类型三 整体思想运算
典例3（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x=2+1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根据x=2+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5＝1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x=3−2，求代数式x2+4x﹣5的值；
（2）已知x=5−12，求代数式x3+x2+1的值．
思路引领：（1）仿照阅读材料解答即可；
（2）把已知变形可得x2+x＝1，代入即可求出答案．
解：（1）∵x=3−2，
∴x+2=3，
∴（x+2）2＝（3）2，
∴x2+4x＝﹣1，
∴x2+4x﹣5＝﹣6；
（2）∵x=5−12，
∴2x+1=5，
∴（2x+1）2＝（5）2，
变形整理得：x2+x＝1，
∴x3+x2+1
＝x（x2+x）+1
＝x+1
=5−12+1
=5+12．
总结提升：本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是读懂题意，能将已知式子适当变形．
针对训练
1．（2022春•江都区期末）请阅读下列材料：
问题：已知x=5+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．
小明的做法是：根据x=5+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
仿照上述方法解决问题：
（1）已知x=10−3，求代数式x2+6x﹣8的值；
（2）已知x=5−12，求代数式x3+2x2的值．
思路引领：（1）根据x=10−3求出x+3=10，两边平方后求出x2+6x+9＝10，求出x2+6x＝1，再代入求出答案即可；
（2）根据x=5−12求出2x+1=5，两边平方求出4x2+4x+1＝5，求出x2+x＝1，再变形后代入，即可求出答案．
解：（1）∵x=10−3，
∴x+3=10，
两边平方得：（x+3）2＝10，
即x2+6x+9＝10，
∴x2+6x＝1，
∴x2+6x﹣8＝1﹣8＝﹣7；

（2）∵x=5−12，
∴2x=5−1，
∴2x+1=5，
两边平方，得（2x+1）2＝5，
即4x2+4x+1＝5，
∴4x2+4x＝4，
即x2+x＝1，
∴x3+2x2
＝x3+x2+x2
＝x（x2+x）+x2
＝x×1+x2
＝x+x2
＝1．
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减等知识点，能够整体代入是解此题的关键．
类型四 基本不等式求最值
典例4（2021春•新泰市期中）观察，计算，判断：（只填写符号：＞，＜，＝或≥，≤）
（1）①当a＝2，b＝2时，a+b2　 　ab；
②当a＝3，b＝3时，a+b2　 　ab；
③当a＝4，b＝4时，a+b2　 　ab；
④当a＝3，b＝5时，a+b2　 　ab．
（2）观察以上式子，猜想写出关于a+b2与ab（a＞0，b＞0）之间的数量关系：　　并进行探究证明；（提示：(a−b)2≥0）
（3）实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，写出镜框周长的最小值为 　 　．
思路引领：（1）把各组a、b的值分别代入a+b2和ab中计算可判断它们的大小公式；
（2）由于（a−b）2≥0，然后利用完全平方公式展开，变形后可得到a+b2≥ab；
（3）设长方形的长宽分别为xm，ym，则xy＝1，利用（2）中的结论得到x+y2≥xy，则2（x+y）≥4，然后可确定镜框周长的最小值．
解：（1）当a＝2，b＝2时，a+b2=2，ab=2，则a+b2=ab；
②当a＝3，b＝3时，，a+b2=3，ab=3，则a+b2=ab；
③当a＝4，b＝4时，a+b2=4，ab=4，则a+b2=ab；
④当a＝3，b＝5时，a+b2=4，ab=15，则a+b2＞ab；
故答案为：＝，＝，＝，＞；
（2）a+b2≥ab；理由如下：
∵（a−b）2≥0，
∴a﹣2ab+b≥0，
∴a+b≥2ab，
∴a+b2≥ab；
故答案为：a+b2≥ab；
（3）设长方形的长为xm，宽是ym，则xy＝1，
∵x+y2≥xy，
∴x+y≥2，
∴2（x+y）≥4，
即镜框周长的最小值为4米．
故答案为：4米．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
变式训练
1．（2022春•海淀区校级期中）阅读下面材料：
我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当a＞0，b＞0时：（a−b）2＝a﹣2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+1x的最小值为 　 　．
当x＜0时，x+1x的最大值为 　 　．
（2）若y=x2+2x+10x+1（x＞﹣1），求y的最小值．
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和10，求四边形ABCD面积的最小值．

思路引领：（1）根据公式计算即可；
（2）先配方，化简，运用公式计算即可；
（3）设△BOC的面积为x，根据△AOB与AOD，△BOC与△COD为等高的三角形，且△AOB与△BOC，△AOD与△COD为同底的三角形，得到S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD，求出S△AOD=40x，利用公式求面积的最小值即可．
解：（1）当x＞0时，1x＞0，
∴x+1x≥2x⋅1x=2，
∴x+1x的最小值是2；
当x＜0时，﹣x＞0，−1x＞0，
∴x+1x=−（﹣x−1x），
∵﹣x−1x≥2(−x)⋅(−1x)=2，
∴﹣（﹣x−1x）≤﹣2，
∴x+1x的最大值为﹣2；
故答案为：2；﹣2；
（2）y=(x+1)2+9x+1
＝x+1+9x+1，
∵x＞﹣1，
∴x+1＞0，
∴y≥2(x+1)⋅9x+1=2×3＝6，
∴y的最小值为6；
（3）设△BOC的面积为x，
∵△AOB与AOD，△BOC与△COD为等高的三角形，且△AOB与△BOC，△AOD与△COD为同底的三角形，
∴S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD，
∴x：10＝4：S△AOD，
∴S△AOD=40x，
∴四边形ABCD的面积＝4+10+x+40x
≥14+2x⋅40x
＝14+2×210
＝14+410．
当且仅当x=40x，即x＝210时，取等号．
∴四边形ABCD面积的最小值为14+410．
总结提升：本题考查了配方法的应用，列出四边形ABCD面积的表达式解题的关键．
类型五 的化简
典例5 （2022秋•仁寿县校级月考）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：（1−3x）2﹣|1﹣x|．
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得x≤13，∴1﹣x＞0，∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．
（1）试化简：(x−3)2−(2−x)2；
（2）已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：(a+b+c)2+(a−b−c)2+(b−a−c)2+(c−b−a)2；
（3）已知a、b满足(2−a)2=a+3，a−b+1=a−b+1，求ab的值．
思路引领：（1）根据二次根式有意义条件得出2﹣x≥0，求出x≤2，再根据二次根式的性质进行计算即可；
（2）根据三角形三边关系及二次根式的性质可得答案；
（3）直接利用二次根式性质进而分析得出a，b的值，进而得出答案．
解：（1）隐含条件2﹣x≥0，
解得：x≤2，
所以(x−3)2−(2−x)2
＝3﹣x﹣（2﹣x）
＝3﹣x﹣2+x
＝1；
（2）∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a﹣b＜c，a+c＞b，c﹣b＜a，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
∴(a+b+c)2+(a−b−c)2+(b−a−c)2+(c−b−a)2；
＝（a+b+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）﹣（c﹣b﹣a）
＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a
＝2a+2b+2c；
（3）∵(2−a)2=a+3，
若a≥2，则a﹣2＝a+3，不成立，
故a＜2，
∴2﹣a＝a+3，
∴a=−12，
∵a−b+1=a﹣b+1，
∴a﹣b+1＝1或0，
∴b=−12或12，
∴ab＝±14．
总结提升：本题考查了数轴与实数，二次根式的性质与化简等知识点，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
变式训练
1．（2022秋•唐河县月考）阅读下列解题过程：
例：若代数式(a−1)2+(a−3)2的值是2，求a的取值范围．
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）．
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2，符合条件．
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）．
综上所述，a的取值范围是1≤a≤3．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题．
（1）当2≤a≤5时，化简：(a−2)2+(a−5)2=　 　；
（2）若等式(3−a)2+(a−7)2=4成立，求a的取值范围．
思路引领：（1）根据二次根式的性质即可求出答案；
（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案．
解：（1）∵2≤a≤5，
∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，
∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|
＝a﹣2﹣（a﹣5）
＝3；
（2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，
当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，
∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，
∴a＝3，符合题意；
当3＜a＜7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，
∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，
∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；
当a≥7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，
∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，
∴a＝7，符合题意；
综上所述，3≤a≤7；
总结提升：本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
类型六 纠正解题过程中的错误
典例6（2022秋•金水区校级期中）计算：下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务．
（6+5）2﹣（6−5）2
＝（6）2+（5）2﹣（6）2+（5）2……第一步
＝6+5﹣6+5……第二步
＝10……第三步
任务一：填空：以上步骤中，从第 　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　；
任务二：请写出正确的计算过程；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议．
思路引领：任务一：利用完全平方公式进行计算即可解答；
任务二：先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
任务三：根据在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式，即可解答．
解：任务一：填空：以上步骤中，从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是完全平方公式运用错误，
故答案为：一，完全平方公式运用错误；
任务二：（6+5）2﹣（6−5）2
＝（6）2+230+（5）2﹣[（6）2﹣230+（5）2]
＝6+230+5﹣（6﹣230+5）
＝6+230+5﹣6+230−5
＝430；
任务三：在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
针对训练
1．（2022春•大同期末）下面是小明同学计算43−12(12−75)的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：43−12(12−75)
=233−12(23−53)⋯⋯第一步
=233−12×23−12×53⋯⋯第二步
=233−3−532⋯⋯第三步
=436−636−1536⋯⋯第四步
=−1736⋯⋯第五步
任务一：小明同学的解答过程从第 　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 　．
任务二：请你写出正确的计算过程．
思路引领：先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
解：（1）任务一：小明同学的解答过程从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号后，括号内第二项没有变号，
故答案为：二；去括号后，括号内第二项没有变号；
（2）任务二：43−12(12−75)
=233−12(23−53)
=233−3+523
=1363．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
类型7 分子有理化求最值和比较大小
典例7 （2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：7−6=(7−6)(7+6)7+6=17+6．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化．如下：7−6=17+6，6−5=16+5．
因为7+6＞6+5，所以7−6＜6−5．
再例如：求y=x+2−x−2的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2−x−2=4x+2+x−2．
当x＝2时，分母x+2+x−2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较32−4和23−10的大小；
（2）求y=1+x−x的最大值．
思路引领：（1）利用分母有理化得到32−4=232+4，23−10=223+10，利用32+4＞23+10可判断32−4＜23−10；
（2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x≥0，x≥0，则x≥0，利用分母有理化得到y=11+x+x，由于x＝0时，1+x+x有最小值1，从而得到y的最大值．
解：（1）∵32−4=(32+4)(32−4)32+4=232+4，
23−10=(23+10)(23−10)23+10=223+10，
而32＞23，4＞10，
∴32+4＞23+10，
∴32−4＜23−10；
（2）由1+x≥0，x≥0得x≥0，
而y=1+x−x=11+x+x，
∵x＝0时，1+x+x有最小值1，
∴y的最大值为1．
总结提升：本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式．
针对训练
1．（2021秋•即墨区期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用．其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式．
比如：7−6=(7−6)(7+6)7+6=17+6．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：7−6和6−5的大小可以先将它们分子有理化如下：7−6=17+6，6−5=16+5．
因为7+6＞6+5，所以，7−6＜6−5．
再例如，求y=x+2−x−2的最大值、做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2−x−2=4x+2+x−2．
当x＝2时，分母x+2+x−2有最小值2．所以y的最大值是2．
利用上面的方法，完成下面问题：
（1）比较19−18和18−17的大小；
（2）求y=x+1−x−1+2的最大值．
思路引领：（1）利用平方差公式进行分子有理化计算，从而比较大小；
（2）利用二次根式有意义的条件确定x的取值范围，然后通过利用平方差公式对原式进行分子有理化变形，从而确定其最大值．
解：（1）19−18=(19+18)(19−18)19+18=119+18；
18−17=(18+17)(18−17)18+17=118+17，
∵19+18＞18+17，
∴19−18＜18−17；
（2）∵x+1≥0且x﹣1≥0，
∴x≥1，
原式=2x+1+x−1+2，
当x＝1时，2x+1+x−1有最大值为2，
此时，原式有最大值为2+2．
总结提升：本题考查二次根式的有理化计算，理解二次根式的性质，掌握平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的结构是解题关键．

第二部分 专题提优训练
1．（2022秋•萧县期中）先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题：
若x−1和1−x都有意义，x的值是多少？
解：∵x−1和2−x都有意义，
∴x﹣1≥0且1﹣x≥0．
又∵x﹣1和1﹣x互为相反数，
∴x﹣1＝0，且1﹣x＝0，
∴x＝1．
问题：若y=2x−1+1−2x+2，求xy的值．
思路引领：根据二次根式中的被开方数是非负数，可得x的值，进而得出y的值，然后代入所求式子计算即可．
解：由题意得：
2x−1≥01−2x≥0，
∴2x﹣1＝0，
解得x=12，
所以y＝2，
所以xy=(12)2=14．
总结提升：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出被开方数的取值范围是解题关键．
2．（2022秋•驻马店期中）阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数x，y使x+y＝a且xy＝b，这样a+2b=(x)2+(y)2+2x⋅y=(x+y)2=x+y，那么我们就称a+2b为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．
例如：3+22=(1)2+(2)2+21⋅2=(1+2)2=1+2．
（二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如23+1样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2×(3−1)(3)2−12=3−1．那么我们称这个过程为分式的分母有理化．根据阅读材料解决下列问题：
（1）化简“和谐二次根式”：①11+228=　　；②7−43=　　．
（2）已知m=15+26，n=15−26，求m−nm+n的值．
思路引领：（1）根据阅读材料（一）化简“和谐二次根式”即可；
（2）先根据阅读材料（一）化简m与n的分母，再根据阅读材料（二）进行分母有理化即可．
（1）解：①11+228=(7)2+(4)2+27⋅4=(7+4)2=7+2；
②7−43=7−212=(4)2+(3)2−24⋅3=(4−3)2=2−3．
故答案为：7+2；2−3；
（2）解：∵m=15+26=13+2=3−2，n=15−26=13−2=3+2，
∴m﹣n=3−2−（3+2）＝﹣22，
m+n=3−2+（3+2）＝23，
∴m−nm+n=−2223=−63；
总结提升：本题考查的是估算无理数的大小，二次根式的性质与化简，考查了学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，弄懂题意，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题的关键．
3．（2021秋•广平县期末）阅读下列解题过程：15+4=5−4(5+4)(5−4)=5−4，16+5=6−5(6+5)(6−5)=6−5
（1）观察上面的解答过程，请写出1n+1+n=　 　．
（2）利用上面的解法，请化简：12+1+13+2+14+3+⋅⋅⋅+199+98+1100+99．
思路引领：（1）分子、分母同乘以最简公分母n+1−n，化简即可；
（2）把各加数分母有理化，再合并同类二次根式．
解：（1）1n+1+n=n+1−n，
故答案为：n+1−n；

（2）12+1+13+2+14+3+⋅⋅⋅+199+98+1100+99
=2−1+3−2+4−3+...+99−98+100−99
=100−1
＝10﹣1
＝9．
总结提升：此题考查二次根式的分母有理化，确定最简公分母和合并同类二次根式是关键．
4．（2022秋•南召县月考）阅读下面的材料，解答后面提出的问题：
在二次根式计算中我们常常遇到这样的情况：(2+3)×(2−3)=1，
(5+2)×(5−2)=3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：
13=1×33×3=33，2+32−3=(2+3)×(2+3)(2−3)×(2+3)=7+43．
像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4+7的一个有理化因式是 　　．
（2）已知x=3+23−2，y=3−23+2，则1x+1y=　．
（3）利用上面所提供的解法，请化简11+2+12+3+13+4+⋯+198+99+199+100．
思路引领：（1）根据有理化因式的概念解答；
（2）利用二次根式的乘法法则计算；
（3）根据分母有理化、二次根式的加法法则计算．
解：（1）∵（4+7）（4−7）＝16﹣7＝9，
∴4+7的一个有理化因式是4−7，
故答案为：4−7；
（2）∵x=3+23−2，
∴1x=3−23+2=(3−2)2(3+2)(3−2)=（3−2）2＝5﹣26，
同理，1y=5+26，
∴1x+1y=5﹣26+5+26=10，
故答案为：10；
（3）原式=2−1+3−2+⋯+100−99
＝10﹣1
＝9．
总结提升：本题考查的是二次根式的混合运算、分母有理化，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
5．（2022秋•峄城区校级月考）阅读下列材料，然后回答问题：再进行二次根式运算时，我们有时会碰上如53，23+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
53=5×33×3=533；
23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2×(3−1)(3)2−1=3−1．
以上这种化简的过程叫做分母有理化．
（1）请根据以上方法化简：
①42；②45−1；③13−5
（2）直接写出：2−3的倒数是 　　；
（3）计算：
（12+1+13+2+14+3+⋯⋯+12023+2022）⋅(2023+1)
思路引领：（1）根据阅读材料分母有理化即可；
（2）根据倒数的概念列式，再分母有理化即可；
（3）将括号内各数分母有理化，合并同类二次根式后再算乘法．
解：（1）42=422×2=22；
45−1=4(5+1)(5−1)(5+1)=5+1；
13−5=3+5(3−5)(3+5)=3+54；
（2）2−3的倒数是12−3=2+3，
故答案为：2+3；
（3）原式＝（2−1+3−2+4−3+......+2023−2022）×（2023+1）
＝（2023−1）（2023+1）
＝2022．
总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是读懂题意，掌握分母有理化的方法．

6．（2022春•昭化区期末）【阅读材料】像a•a=a（a≥0），（b+1）（b−1）＝b﹣1（b≥0）这样的两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，5与5，3+1与3−1，都互为有理化因式．进行含有二次根式的分式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
【解决问题】
（1）填空：7−3的有理化因式为 　 　；
（2）已知正整数a，b满足a2−1−b2=3−22，求a，b的值．
思路引领：（1）根据题意和题目中的式子，可以写出7−3的有理化因式；
（2）根据题意，将题目中的式子变形，然后即可得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值即可．
解：（1）∵（7−3）（7+3）＝7﹣9＝﹣2，
∴7−3的有理化因式为7+3，
故答案为：7+3；
（2）∵a2−1−b2=3−22，
∴a(2+1)(2−1)(2+1)−2b2=3﹣22，
∴a（2+1）−22b＝3﹣22，
∴2a+a−22b＝3﹣22，
∴（a−12b）2+a＝3﹣22，
∴a−12b=−2a=3，
解得a=3b=10，
即a的值是3，b的值是10．
总结提升：本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则和分母有理化的方法．
7．（2022春•新余期末）阅读下列解题过程：
例：若代数式(2−a)2+(a−4)2=2，求a的取值．
解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|，
当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）；
当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4；
所以，a的取值范围是2≤a≤4．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当3≤a≤7时，化简：(3−a)2+(a−7)2；
（2）若(a+1)2+(a−3)2=6，求a的取值；
（3）请直接写出满足(a−1)2+(a−6)2=5的a的取值范围 　 ．
思路引领：（1）根据已知可得3﹣a≤0，a﹣7≤0，然后利用二次根式的性质，进行计算即可解答；
（2）按照例题的思路，分类讨论进行计算即可解答；
（3）按照例题的思路，分类讨论进行计算即可解答．
解：（1）∵3≤a≤7，
∴3﹣a≤0，a﹣7≤0，
∴(3−a)2+(a−7)2
＝|3﹣a|+|a﹣7|
＝a﹣3+7﹣a
＝4；
（2）原式＝|a+1|+|a﹣3|，
当a＜﹣1时，原式＝﹣a﹣1+3﹣a＝﹣2a+2＝6，解得a＝﹣2；
当﹣1≤a＜3时，原式＝a+1+3﹣a＝4，等式不成立；
当a≥3时，原式＝a+1+a﹣3＝2a﹣2＝6，解得a＝4；
所以，a的值为﹣2或4；
（3）原式＝|a﹣1|+|a﹣6|，
当a＜1时，原式＝1﹣a+6﹣a＝7﹣2a＝5，解得a＝1（舍去）；
当1≤a＜6时，原式＝a﹣1+6﹣a＝5，等式恒成立；
当a≥6时，原式＝a﹣1+a﹣6＝2a﹣7＝5，解得a＝6；
∴a的取值范围：1≤a≤6，
故答案为：1≤a≤6．
总结提升：本题考查了整式的加减，二次根式的性质与化简，理解例题的解题思路是解题的关键．
8．（2022秋•辉县市期中）【阅读学习】
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b2=（m+n2）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+b2=m2+2n2+22mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把a+b2的式子化为平方式的方法．
【解决问题】
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b3=（m+n3）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝　 　，b＝　 　；
（2）利用（1）的结论，找一组正整数a，b，m，n（m≠n），使得a+b3=（m+n3）2成立，且a+b+m+n的值最小．请直接写出a，b，m，n的值；
（3）若a+65=（m+n5）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
思路引领：（1）根据阅读材料，利用完全平方公式将等式右边展开，即可求出a、b的值；
（2）根据（1）的结论即可得到结果；
（3）根据题意得到a＝m2+5n2，b＝2mn，求得mn＝3，分类讨论即可得到结论．
解：（1）（m+n3）2＝m2+23mn+3n2＝m2+3n2+2mn3．
∴a＝m2+3n2，b＝2mn．
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）当n＝1，m＝2时，a＝22+3×1＝7，b＝2mn＝4，
故a＝7，b＝4，m＝2，n＝1时，a+b+m+n的值最小．
（3）（m+n5）2＝m2+25mn+5n2＝a+65，
∴a＝m2+5n2，6＝2mn，
∴mn＝3，
∵a、m、n均为正整数，
∴令m＝1，n＝3或m＝3，n＝1；
当m＝1，n＝3时，a＝12+5×32＝46．
当m＝3，n＝1时，a＝32+5×12＝14．
综上，a的值为14或46．
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减，理解题意，弄清阅读材料中把一个式子化为平方式的方法是解题的关键．
9．（2022春•邗江区期末）阅读下列材料，并回答问题：
把形如a+bm与a﹣bm(a、b为有理数且b＞0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．
（1）请你举出一对共轭实数：　3+2　和 　3−2　；
（2）﹣25和25是共轭实数吗？若是请指出a、b的值；
（3）若两个共轭实数的和是10，差的绝对值是43，请求出这两个共轭实数．
思路引领：（1）根据题意，可以写出一组共轭实数，本题答案不唯一；
（2）根据共轭实数的定义，可以判断﹣25和25是共轭实数，并写出a和b即可；
（3）根据两个共轭实数的和是10，差的绝对值是43，可以求得a、b、m的值，从而可以写出这两个共轭实数．
解：（1）由题意可得，
3+2与3−2是共轭实数，
故答案为：3+2，3−2；
（2）﹣25和25是共轭实数，a＝0，b＝2；
（3）设这两个共轭实数为a+bm与a﹣bm，
∵两个共轭实数的和是10，差的绝对值是43，
∴（a+bm）+（a﹣bm）＝10，|（a+bm）﹣（a﹣bm）|＝43，
∴2a＝10，|2bm|＝43，
∴a＝5，b＝2或b＝﹣2（舍去），m＝3，
∴这两个共轭实数是5+23，5﹣23．
总结提升：本题考查二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题．
10．（2022春•武江区校级期末）请阅读下列材料：
问题：已知x=5+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根据x=5+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，得：
x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x=5−2，求代数式x2+4x﹣10的值；
（2）已知x=5−12，求代数式x3+x2+1的值．
思路引领：（1）根据完全平方公式求出x2+4x＝1，代入计算即可；
（2）根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算，答案．
解：（1）∵x=5−2，
∴（x+2）2＝5，
∴x2+4x+4＝5，
∴x2+4x＝1，
∴x2+4x﹣10＝1﹣10＝﹣9；
（2）∵x=5−12，
∴x2＝（5−12）2=3−52，
则x3＝x•x2=5−12×3−52=5−2，
∴x3+x2+1=5−2+3−52+1=5+12．
总结提升：本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的乘法法则是解题的关键．
11．（2021秋•宽城县期末）（1）计算：(5−3)(5+3)+1；
（2）计算：125+9227−1224+(5)2；
（3）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：
92−12×(24+323)
=92−12×(24+323)⋯⋯第一步
=322−23×26+23×323⋯⋯第二步
=322−122+62⋯⋯第三步
=922⋯⋯第四步
①以上化简步骤中第一步化简的依据是：　 　；
②第 　 　步开始出现错误，请写出错误的原因 　 　，该运算正确结果应是 　 　．
思路引领：（1）利用平方差公式计算；
（2）先把各二次根式化简，然后合并即可；
（3）①第一步化简的依据为二次根式的除法法则；
②第二步去括号错误，然后计算出正确的结果．
解：（1）原式＝5﹣3+1
＝3；
（2）原式＝55+9×69−12×26+5
＝55+6−6+5
＝55+5；
（3）①化简步骤中第一步化简的依据是商的算术平方根，等于算术平方根的商；
故答案为商的算术平方根，等于算术平方根的商；
②第二步开始出现错误，请写出错误的原因括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；，该运算正确结果应是−3322．
故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号； −3322．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
12．（2021秋•岳阳期末）王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．
（1）小青编的题，观察下列等式：
23+1=2(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−12=2(3−1)3−1=3−1；
25+3=2(5−3)(5+3)(5−3)=2(5−3)(5)2−(3)2=2(5−3)5−3=5−3；
直接写出以下算式的结果：
27+5=　 ；22n+1+2n−1（n为正整数）＝　 ；
（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：
（3+1）2＝4+23，（5+3）2＝8+215，（a+b）2＝a+b+2ab（a≥0，b≥0）；
再根据平方根的定义可得：
4+23=3+1，8+215=5+3，a+b+2ab=a+b（a≥0，b≥0）；
直接写出以下算式的结果：
6+25=　　，4−23=　　，7+43=　；
（3）王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：
（23+1+25+3+27+5+29+7+211+9）•12+211．
思路引领：（1）根据分母有理化化简即可得出答案；
（2）将被开方数化成完全平方公式，根据a2=|a|化简即可；
（3）将第一个多项式的每项分母有理化，裂项相消，将第二个式子根据a2=|a|化简，根据平方差公式即可得出答案．
解：（1）27+5
=2(7−5)(7+5)(7−5)
=2(7−5)7−5
=7−5；
22n+1+2n−1
=2(2n+1−2n−1)(2n+1+2n−1)(2n+1−2n−1)
=2(2n+1−2n−1)2n+1−2n+1
=2(2n+1−2n−1)2
=2n+1−2n−1；
故答案为：7−5，2n+1−2n−1（n为正整数）；
（2）6+25
=(5)2+25+1
=(5+1)2
=5+1；
4−23
=(3)2−23+1
=(3−1)2
=3−1；
7+43
=22+2×2×3+(3)2
=(2+3)2
＝2+3；
故答案为：5+1，3−1，2+3；
（3）原式＝[2(3−1)(3+1)(3−1)+2(5−3)(5+3)(5−3)+2(7−5)(7+5)(7−5)+2(9−7)(9+7)(9−7)+2(11−9)(11+9)(11−9)]•(11+1)2
=(3−1+5−3+7−5+9−7+11−9)(11+1)
＝（11−1）（11+1）
＝11﹣1
＝10．
总结提升：本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，探索二次根式计算中的规律，将第一个多项式的每项分母有理化，裂项相消是解题的关键．
13．（嘉祥县期中）阅读理解：
对于任意正整数a，b，∵（a−b）2≥0，∴a﹣2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 ab（a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2ab．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若a+b＝9，ab≤　　；
（2）若m＞0，当m为何值时，m+1m有最小值，最小值是多少？
思路引领：（1）根据a+b≥2 ab（a、b均为正实数），进而得出即可；
（2）根据a+b≥2 ab（a、b均为正实数），进而得出即可．
解：（1）∵a+b≥2 ab（a、b均为正实数），
∴a+b＝9，则a+b≥2ab，即ab≤92；
故答案为：92；

（2）由（1）得：m+1m≥2m×1m，
即m+1m≥2，当m=1m时，m＝1（负数舍去），
故m+1m有最小值，最小值是2．
总结提升：此题主要考查了二次根式的应用，根据题意结合a+b≥2 ab（a、b均为正实数）求出是解题关键．
14．（2021春•莆田期中）阅读下面材料：
同学们上学期学习分式，整式还有这个学期的二次根式，小明发现像m+n，mnp，m2+n2等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式．
他还发现像m2+n2，（m﹣1）（n﹣1）等神奇对称式都可以用mn，m+n表示．例如：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1．于是丽丽把mn和m+n称为基本神奇对称式．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）代数式①2mn，②m2﹣n2，③nm，④xy+yz+xz(x≥0，y≥0，z≥0)中，属于神奇对称式的是　 　　（填序号）；
（2）已知（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q．
①若p＝3，q＝﹣2，则神奇对称式1m+1n=　　；
②若p2−q＝0，求神奇对称式m3+1m+n3+1n的最小值．
思路引领：（1）根据神奇对称式的概念进行判断；
（2）①首先利用多项式乘多项式的计算法则计算求得mn，m+n的值，然后利用分式的计算法则进行计算；
②利用分式的运算法则将原式进行化简，然后代入求值，结合配方法求代数式的最值．
解：（1）2mn=2nm，故①是神奇对称式；
只有当m+n＝0或m﹣n＝0时，m2﹣n2＝n2﹣m2，
∴m2﹣n2不一定等于n2﹣m2，故②不是神奇对称式；
只有当m＝n≠0或m＝﹣n时，nm=mn，
∴nm不一定等于mn，故③不是神奇对称式；
xy+yz+xz=yx+zy+zx，故④是神奇对称式；
故答案为：①④；
（2）①∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn＝＝x2﹣px+q，
∴m+n＝p＝3，mn＝q＝﹣2，
∴1m+1n=m+nmn=−32，
故答案为：−32；
②∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn＝＝x2﹣px+q，
∴m+n＝p，mn＝q，
原式＝m2+1m+n2+1n
＝（m+n）2﹣2mn+m+nmn
＝p2﹣2q+pq，
又∵p2=q，
∴p＝±q，
当p＝q时，原式＝p2﹣2q+1＝（p﹣1）2≥0，
∴此时，原式的最小值是0；
当p＝﹣q时，原式＝p2﹣2q﹣1＝（p﹣1）2﹣2≥﹣2，
∴此时，原式的最小值是﹣2；
综上，m3+1m+n3+1n的最小值是﹣2．
总结提升：本题考查多项式乘多项式的运算，分式的混合运算，二次根式的混合运算，理解新定义，掌握运算法则是解题关键．