人教版八年级下册16.1 二次根式精品习题

专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（原卷版）

第一部分 典例精析+变式训练

类型一 分母有理化

技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。

典例1（2021秋•曲阳县期末）把化去分母中的根号后得（　　）

A．4b B． C． D．

变式训练

1．（2022春•东莞市期中）化简：　　．

2．（2021春•龙山县期末）把化成最简二次根式，结果是 　　．

技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母

典例2（2022春•乳山市期末）【材料阅读】

把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．

例如：化简．

解：．

上述化简的过程，就是进行分母有理化．

【问题解决】

（1）化简的结果为：　　；

（2）猜想：若n是正整数，则进行分母有理化的结果为：　  ；

（3）若有理数a，b满足，求a，b的值．

变式训练

1．（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：　　．

2．（2022秋•牡丹区期末）若的整数部分是a，小数部分是b，则a2+（1）ab＝　 　．

技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简

典例3 化简：

变式训练：

1.化简：

技巧4 分解因式法：利用平方差公式和完全平方公式因式分解，然后约分化简。

典例4 （2022秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值，其中x＝5，y．

针对训练：化简：

（1） （2）

技巧5 裂项相消法：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。

24．观察下面式子的化简过程：

．

化简，并将这一问题作尽可能的推广．

变式训练：

1．化简：

类型二 分子有理化

典例6（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：

我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：

与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：．

分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：

比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：，．

因为，所以．

再例如：求y的最大值．做法如下：

解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y．

当x＝2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．

解决下述问题：

（1）比较34和2的大小；

（2）求y的最大值．

针对训练

1．（青羊区校级期中）已知a1，b＝3﹣2，c，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b

2．（2020秋•武侯区校级月考）计算：

（1）比较和的大小；

（2）求y3的最大值．

第二部分   专题提优训练

1．（2022秋•绥化期末）化简的结果是 　　．

2．（2021秋•阳城县期末）化简的结果是　　．

3．（2021秋•徐汇区校级期中）化简：　    ．

4．（2021春•宁阳县期末）化简　　，　　．

5．（2012秋•珙县校级月考）化简：　　．

6．（2021春•江城区期末）化简的结果是　　．

7．（2022秋•宝山区校级期中）已知：x，y，求x2+xy+y2的平方根．

8．（2022春•普陀区校级期末）计算：．

9．（2021秋•浦东新区校级月考）计算：．

10．（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．

如：3+2．

除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．

如：化简．

解：设x，易知，故x＞0．

由于x2＝（）2＝2222．

解得x，即

根据以上方法，化简：．

11．（2022春•大连月考）阅读材料：

黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2）（2）＝1，（）（）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．

解决问题：

（1）4的有理化因式可以是　　，分母有理化得　　．

（2）计算：

①．

②已知：x，y，求x2+y2的值．

12．（2022春•钢城区期末）阅读下列解题过程：

1；

．

请回答下列问题：

（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．

①　　；②　　；

（2）应用：求的值；

（3）拓广：　 　．

13．（2021春•广饶县期中）【阅读材料】

材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．

例如：化简

解：

材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么m±n．

例如：化简

解：1

【理解应用】

（1）填空：化简的结果等于 　　．

（2）计算：

①；

②．

14．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．

比如：．

分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，．

因为，所以，．

再例如，求y的最大值、做法如下：

解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y．

当x＝2时，分母有最小值2．所以y的最大值是2．

利用上面的方法，完成下述两题：

（1）比较和的大小；

（2）求y3的最大值．