人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.1 等差数列同步达标检测题

【特供】5.2.1 等差数列-1课堂练习

一．填空题

1．在数列中，若点在直线上，则数列的前9项和____________．

2．已知等差数列（公差不为零）和等差数列，如果关于x的方程：有实数解，那么以下2021个方程，，，…，中，无实数解的方程最多有______个.

3．等差数列的前项和为，，则______.

4．记等差数列的前项和为，若，则___________.

5．将正奇数划分成下列各组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31}，则前n组各数的和是_____．

6．已知数列是等差数列，是其前项和．若，，则的值是______．

7．《莱因德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使得每个人所得成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的1份为________.

8．求和：___________ ．

9．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且，则______.

10．已知数列：的前项和为，则_______．

11．设等差数列的前项和为，若，，则等于______.

12．随机变量的分布列如下：

其中，，成等差数列，则________，方差的最大值是________．

13．已知是等差数列，若，则_______.

14．已知等差数列的前项和为，若，且．．三点共线（该直线不过原点），则____________.

15．已知等差数列的首项，公差，其前项和为，则___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据点在定直线上得到等差数列的通项，再由等差数列的前项和的公式，即可得答案．

详解：点在定直线上，∴，

．

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式及前项和的公式，考查函数与方程思想．转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题.

2．【答案】1010

【解析】设等差数列的公差为，等差数列的公差为，由等差数列的性质可得，设，，由一次函数与二次函数的图象与性质即可得解.

详解：设等差数列的公差为，等差数列的公差为，

则，，

所以原方程可变为，

由该方程有实数解可得即，

若要使方程无解，

则要使，

设，

，

易得为开口向上的抛物线的一部分，为直线的一部分，

又时，，

所以满足的的取值最多可有1010个，

即无实数解的方程最多有1010个.

故答案为：1010.

【点睛】

本题考查了等差数列性质的应用，考查了函数与方程思想及转化化归思想，属于中档题.

3．【答案】7

【解析】利用等差数列前项和公式和等差中项的性质，即可求出.

详解：解：.

故答案为：7.

【点睛】

本题考查等差数列前项和公式和等差中项的性质，属于基础题.

4．【答案】

【解析】设等差数列的公差，

由，可得：，

∴，

即，

故答案为：

5．【答案】n4

【解析】根据题设条件先找到前n组中的数据个数，再求其和即可．

详解：依题意知前n组中的数据个数为1+3+5++（2n﹣1）n2，且其中的数据是以1为首项，2为公差的等差数列，故前n组各数的和是n22＝n4.

故答案为：n4.

【点睛】

本题关键是分析并求出n组中的数据个数，还考查了等差数列的和的公式，属于基础题．

6．【答案】20

【解析】设等差数列的公差为，首项为，

则，解得：，，

则.

故答案为：20

7．【答案】

【解析】设每个人所得由少到多为，，，，，公差为，从而可得，进而求出即可.

详解：设每个人所得由少到多为，，，，，公差为，

由题意，，即，

整理得，解得，

所以最大的1份为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

8．【答案】

【解析】易知该数列的通项，故该数列的前n项和为

9．【答案】

【解析】在已知递推关系中件中令n=1,解得,在n≥2时根据递推关系，利用,可得，判定数列为公差为1的等差数列，进而利用等差数列的通项公式计算.

详解：在中令n=1,得，解得或（舍去）；

在n≥2时，得到，结合,

得到,即,因为数列的各项均为正数，∴，∴，∴数列为公差为的等差数列，

又∵，∴,

故答案为：.

【点睛】

本题考查由数列的递推关系判定数列为的等差数列，并利用等差数列的通项公式求特定项，属中档题.

10．【答案】60

【解析】根据数列的规律，先将数列分组，第一组1个数，第二组3个数，，第n组个数，分别计算出各组数的和，计算出n组数的项数和，令这个项数和为120列方程，解方程求出组数为6，然后求前6组数的和即可.

详解：将此数列分组，第一组：，共项；第二组：，共项的和；第三组：，共项的和;

第n组：，共项的和；

由，解得n=6,

因此前120项之和正好等于前6组之和，，

故答案为：60.

【点睛】

本题考查数列求和问题，考查观察能力，考查化归与转化的思想，属于中档题.

11．【答案】90

【解析】根据，，求得，再代入前n项和公式求解.

详解：设等差数列的公差为d，

因为，，

所以， ，

解得，

所以 ，

故答案为：90

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的基本运算，属于基础题.

12．【答案】     

【解析】在离散型随机变量的分布列中各随机变量对应的概率的总和为1，再由等差中项性质即可求得；由均值计算公式表示，进而由方差计算公式表示方差，最后由二次函数性质即可求得最值.

详解：因为，，成等差数列，所以，又，所以，，

所以；

因为，

所以，

所以当时，取得最大值．

故答案为：，

【点睛】

本题考查等差数列的性质．离散型随机变量的分布列与方差，属于简单题．

13．【答案】7

【解析】，所以.

故答案为：7

14．【答案】

【解析】分析：先证明出当．．三点共线（该直线不过原点）且时，，可得出，然后利用等差数列的求和公式可求得的值.

详解：当．．三点共线（该直线不过原点）时，则与共线，

则存在，使得，即，可得，

，，

因为，且．．三点共线（该直线不过原点），则，

由等差数列求和公式可得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列求和，同时也考查了平面向量三点共线结论的推导与应用，考查计算能力，属于中等题.

15．【答案】；

【解析】根据等差数列性质，则，

，则

故答案为：4.