人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.2 等差数列的前n项和教案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.2 等差数列的前n项和教案，共9页。教案主要包含了典例解析，达标检测，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。


本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修三》第五章《数列》，本节课主要学习
等差数列的前n项和.
数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。
数列是培养学生数学能力的良好题材。等差数列前n项和公式的推导过程中，让学生经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。同时让学生进一步认识数列的函数本质。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。
重点：等差数列的前n项和的应用及其函数特征
难点：等差数列前n项和公式的推导方法
多媒体
由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。
课程目标
学科素养
A.理解等差数列前n项和公式的推导过程.
B.掌握等差数列前n项和公式及性质,并能解决相应问题.
C.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系,能够由其中的三个求另外的两个.
D.理解等差数列前n项和公式的二次函数特征.
1.数学抽象：等差数列前n项和公式
2.逻辑推理：等差数列前n项和公式的推导
3.数学运算：等差数列前n项和公式的运用
4.数学建模：等差数列前n项和公式综合运用
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
情景导学
问题1.为了达到比较好的音响和观赏效果，很多剧场的座位都是排成圆弧形的，如图所示.
如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子，而且剧场座位的排列规律是：第一排36个，以后每一排比前一排多6个，共有8排，你能帮这个公司算出共需要多少椅子吗？
利用这一小节我们要学习的等差数列前n项和的公式，我们可以快速地解答情景中的问题.
探究1.如图所示，建筑工地上堆放着一些钢管，最上面一层有4根，下面每一层比上一层多放一根，共8层.
（1）在不逐个相加的前提下，你能想办法算出这些钢管共有多少根吗？
（2）你能得出一般等差数列前n项和的公式吗？
问题图中这些钢管，从上到下每一层的数量构成一个等差数列an，这个数列的首项为a1=4， 公差d=5,而且该数列共有8项，第8项为
a8=4+8-1×1=11.
设想在图的钢管旁边再放同样多数量的钢管，但是倒过来放置，如图所示.这时每一层的钢管数是相同的，都是4+11根，因此这些钢管的总数为（4+11）×82=60.
问设一个等差数列an的首项为a1,公差为d,根据等差数列的定义，
一般等差数列前n项的和可以用类似的方式得到，
设等差数列an的前n项和为Sn,即
Sn=a1+a2+…+an-1+an, ①
显然，
Sn=an+an-1+…+a2+a1,②
又因为根据等差数列的性质有
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=…,
所以①②把两边分别相加，可得
2Sn=n(a1+an),因此Sn=n(a1+an)2
探究2. 上述等差数列的前n项求和公式与首项和第n项有关，你能将其改写成与公差d有关的形式吗？
因为an=a1+n-1d,所以等差数列前n项求和公式也可以改写为Sn= na1+nn-1d2
由此可知，前述情境与问题中的椅子总数为
8×36+8×8-1×62=456.
二、典例解析
例1.已知等差数列an的公差为2，且a20=29，求这个等差数列前20项的和S20.
解：由等差数列的通项公式可得29=a1+19×2，
由此可解得a1=-9.
因此S20= 20×-9+292=200.
例2.求等差数列
5，12,19,26，…，201，208.的各项之和.
解：可以看出，所求数列是公差为7的等差数列.
设共有n项，则208=5+（n-1）×7，
解得n=30. 因此各项之和为
30×5+2082=3195.
等差数列的求解策略
在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,均可化成有关a1,d的方程或方程组求解.解题过程中,
要注意:①选择适当的公式;②合理利用等差数列的有关性质.
跟踪训练1.设Sn为等差数列{an}的前n项和,S4=14,S10-S7=30,则S9= .
解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
由题意,得4a1+4×(4-1)2d=14,
又10a1+10×(10-1)2d-7a1+7×(7-1)2d=30,
联立解得a1=2,d=1,
所以S9=9×2+9×(9-1)2×1=54.
例3.已知数列an的前n项和为Sn=2n2-30n
（1）求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；
（2）求Sn的最小值，并求Sn取最小值时n的值.
解：（1）当n=1时，有a1=S1=-18
当n≥2时，有
an=Sn-Sn-1=2n2-30n-[2(n-1)2-30n-1]= 4n-32
又因为4×1-32=-28，所以n=1时an= 4n-32
也成立，因此数列的通项公式为an= 4n-32
因为an+1-an= 4n+1-32-4n-32=4
所以an是等差数列.
（2）（方法一）因为
Sn=2n2-30n=2n2-15n=2n-1522-2252,
又因为n是正整数，所以当n=7或8时，Sn最小，最小值是
2×72-30×7=-112.
（方法二）由an= 4n-32可知数列是递增的等差数列，而且首项a1=-28<0
令an≤0, 可得4n-32≤0，解得n≤8 ，而且a8=0
由此可知，n=7或8时，Sn最小，最小值是8×-28+02= - 112.
探究3. （1）等差数列中，Sn与n的关系与以前所学过的什么函数有关？
（2）如果数列{an}的前n项和的公式是Sn=An2+Bn+C
其中，A,B,C都是常数，那么{an}一定是等差数列吗？为什么？
（1）Sn=na1+nn-1d2 =d2n2+ （a1 -d2）n
如果记fx=d2x 2+ （a1 -d2）x
则可以看出Sn是关于n的二次函数，且常数项为0.
（2）如果数列{an}的前n项和的公式是Sn=An2+Bn+C
由（1）知当C=0时， {an}是等差数列。
解等差数列的前n项和最大(最小)值问题的常用方法有:
(1)二次函数法:由于Sn=d2n2+a1-d2n是关于n的二次式,因此可用二次函数的最值来确定Sn的最值,但要注意这里的n∈N+.
(2)图像法:可利用二次函数图像的对称性来确定n的值,使Sn达到最大(或最小).
(3)通项法:由于Sn=Sn-1+an,所以当an≥0时,Sn≥Sn-1;当an≤0时,Sn≤Sn-1,因此当a1>0,且d<0时,使an≥0的最大的n的值,使Sn最大;当a1<0,d>0时,满足an≤0的最大的n的值,使Sn最小.
跟踪训练2. 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.
分析：本题可用二次函数求最值或由通项公式求n,使an≥0,an+1<0或利用等差数列的性质求出大于或等于零的项.
解:(方法一)由S17=S9,得
25×17+172(17-1)d=25×9+92(9-1)d, 解得d=-2,
∴Sn=25n+n2(n-1)(-2)=-(n-13)2+169,
由二次函数的性质得当n=13时,Sn有最大值169.
(方法二)先求出d=-2(同方法一).
∵a1=25>0,
由an=25-2(n-1)≥0,an+1=25-2n≤0得n≤1312,n≥1212.
∴当n=13时,Sn有最大值169.
(方法三)先求出d=-2(同方法一).
由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,
又a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,
故a13+a14=0.
∵d=-2<0,a1>0,∴a13>0,a14<0.
故n=13时,Sn有最大值169.
(方法四)先求出d=-2(同方法一),则Sn的图像如图所示,
由S17=S9知,图像的对称轴n=9+172=13,
故当n=13时,Sn取得最大值169.
例4.李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄” ，从8月1日开始，每个月的1日都存入1000元，共存入3年.
（1）已知当年 “教育储蓄”的存款月利率为2.7‰，则3年后李先生一次可支取本息共多少元？
（2）已知当年同档次的“零存整取” 储蓄的月利率是1.725‰，则李先生办理 “教育储蓄”比 “零存整取”多收益多少元？
解:每1000元“教育储蓄” 存一个月能得到的利息是
1000×2.7‰=2.7元.
第1个1000元存36个月的利息 2.7×36元.
第2个1000元存35个月得利息 2.7×35元.
…….
第36个1000元存一个月的利息 2.7×1元.
因此3年后李先生获得利息
2.7×36+ 2.7×35+…+ 2.7×1=2.7×36+2.7×12×36=1798.2元.
所以本息何为每1000元“零存整取” 存一个月能得到的利息是
1000×1.725‰=1.725元.
因此，若“零存整取”，3年后李先生获得利息，
1.725×36+ 1.725×35+…+ 1.725×1=1.725×36+1.725×12×36=1148.85元.
因此李先生多收益，
1798.2-1148.85=649.35元
即李先生办理 “教育储蓄”比“零存整取” 多收益649.35元.
通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出等差数列求和问题。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。
通过等差数列前n项和的公式推导，发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。
通过典型例题，加深学生对等差数列前n项和公式的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素
通过典型例题，加深学生对等差数列前n项和公式函数特征的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素
三、达标检测
1.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),前n项和为Sn,若S4=a6,则S5S2=( )
A.112B.7C.25D.35
解析:由题意可得4a1+6d=a1+5d⇔-3a1=d,
所以S5S2=5a1+10d2a1+d=25.
答案:C
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知13a3+S13=52,则S9=( )
A.9B.18 C.27 D.36
解析:因为S13=13×(a1+a13)2=13×2a72=13a7,
所以13a3+S13=13a3+13a7=52,
∴a3+a7=4,∴a5=a3+a72=2,
∴S9=9(a1+a9)2=9×2a52=9a5=9×2=18.
答案:B
3.设数列{an}是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项和,则( )
A.S4解析:(方法一)设该等差数列的首项为a1,公差为d,
则有a1+d=-6,a1+7d=6.解得a1=-8,d=2.
从而有S4=-20,S5=-20,S6=-18.
从而有S4=S5.
(方法二)由等差数列的性质知a5+a5=a2+a8=-6+6=0,
所以a5=0,从而有S4=S5.
答案:B
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4+a7+a10=9,S14-S3=77,则使Sn取得最小值时n的值为 .
答案:5
5.等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.
(1)求通项an;
(2)若Sn=242,求n.
解:(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组a1+9d=30,a1+19d=50.
解得a1=12,d=2.
∴an=2n+10.
(2)由Sn=na1+n(n-1)2d,Sn=242,得方程12n+n(n-1)2×2=242.
解得n=11或n=-22(舍去).
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。