高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.2 等差数列的前n项和教案

5.2.2　等差数列的前n项和

情境导学

1．等差数列的前n项和公式

思考：等差数列{an}的公差与前n项和Sn的最高项系数存在怎样的关系？

[提示]　2倍关系．由Sn＝n2＋n可知，存在2倍关系．

拓展：等差数列前n项和公式的特点

(1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n项和．

(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．

2．等差数列前n项和Sn的性质

(1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．

(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数． (　　)

(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则也是等差数列． (　　)

(3)数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则{an}一定不是等差数列． (　　)

(4)等差数列的前n项和，等于其首项和第n项的等差中项的n倍． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于(　　)

A．n B．n(n＋1)

C．n(n－1)   D.

D　[Sn＝na1＋d＝n＋＝＝，故选D.]

3．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝(　　)

A．10 B．12

C．20 D．24

D　[由S10＝＝120，得a1＋a10＝24.]

4．已知{an}是等差数列，a1＝10，前10项和S10＝70，则其公差d＝________.

－　[S10＝10a1＋d＝70，又a1＝10，所以d＝－.]

合作探究

【例1】　在等差数列{an}中．

(1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；

(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；

(3)已知a16＝3，求S31.

[解]　(1)∵Sn＝na1＋n(n－1)d，

∴

解方程组得a1＝－8，d＝4.

(2)∵a6＝10，S5＝5，∴

解方程组得a1＝－5，d＝3，

∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，

S8＝＝44.

(3)S31＝×31＝a16×31＝3×31＝93.

a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二， 注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.

1．在等差数列{an}中．

(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；

(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d；

(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.

[解]　(1)由题意，得Sn＝＝＝－5，解得n＝15.

又a15＝＋(15－1)d＝－，

∴d＝－.

(2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39，

又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.

(3)由

得

解方程组得或

【例2】　(1)已知等差数列{an}，Sm，S2m，S3m分别是其前m，前2m，前3m项和，若Sm＝30，S2m＝100，则S3m＝________；

(2)已知等差数列{an}中，若a1 011＝1，则S2 021＝________；

(3)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________.

(1)210　(2)2 021　(3)　[(1)法一：设{an}的公差为d，依据题设和前n项和公式有：

②－①，得ma1＋d＝70，

所以S3m＝3ma1＋d

＝3＝3×70＝210.

法二：Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等差数列，

所以30、70、S3m－100成等差数列．

所以2×70＝30＋S3m－100.所以S3m＝210.

法三：在等差数列{an}中，因为Sn＝na1＋n(n－1)d，

所以＝a1＋(n－1).

即数列构成首项为a1，公差为的等差数列．

依题中条件知、、成等差数列，

所以2·＝＋.

所以S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)

＝210.

(2)法一：∵a1 011＝a1＋1 010d＝1，

∴S2 021＝2 021a1＋d

＝2 021(a1＋1 010d)＝2 021.

法二：∵a1 011＝，∴S2 021＝×2 021＝2 021a1 011＝2 021.

(3)法一：＝＝＝＝＝.

法二：∵＝＝，

∴设Sn＝2n2＋2n，Tn＝n2＋3n，∴a5＝S5－S4＝20，b5＝T5－T4＝12，

∴＝＝.]

等差数列的前n项和常用性质

1等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列.

2数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bna，b为常数⇔数列为等差数列.

3若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d.

①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，；

②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，.

4若{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，则

2．项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．

[解]　设等差数列共2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，中间项是第n＋1项，记为an＋1，设公差为d，

则

∴S奇－S偶＝a1＋nd＝an＋1＝11，

即中间项an＋1＝11.

又S2n＋1＝S奇＋S偶＝77.

∴＝＝77，

∴(2n＋1)×11＝77，

∴2n＋1＝7，

即数列的中间项为11，这个数列共7项．

[探究问题]

1．对于等差数列{an}而言，若a1<0，d>0，其前n项和Sn有最大还是最小值？若a1>0，d<0呢？

[提示]　若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．

2．当公差d≠0时，Sn是关于n的二次函数，能否借助二次函数的性质求Sn的最值，为什么？

[提示]　可以，但需注意自变量n的取值范围．

【例3】　在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，则数列的前多少项之和最大？并求此最大值．

[思路点拨]　可以多角度分析：借助函数图像，利用函数性质，还可以分析通项等．

[解]　法一：∵Sn＝n2＋n(d<0)，

∴Sn的图像是开口向下的抛物线上一群孤立的点，

∵S17＝S9，

∴最高点的横坐标为＝13，

即S13最大，由题意及等差数列的性质可得d＝－2，可求得最大值为169.

法二：∵S17＝S9，

∴a10＋a11＋…＋a17＝0.

∴a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0.

∵a1＝25>0，

∴a13>0，a14<0.

∴S13最大，由题意及等差数列的性质可得d＝－2，可求得最大值为169.

法三：由得

17×25＋d＝9×25＋d，

解得d＝－2.

从而Sn＝25n＋·(－2)＝－(n－13)2＋169.

故前13项之和最大，最大值是169.

法四：同法三，可得d＝－2.

由

得≤n≤.

∴当n＝13时，Sn有最大值，为169.

求等差数列前n项和的最值问题的方法

(1)运用配方法，将Sn＝n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．

(2)通项公式法：

①当a1>0，d<0时，数列{an}的正数项有限，前n项和有最大值，由可求出Sn取得最大值时的n值．

②当a1<0，d>0时，数列{an}的负数项有限，前n项和有最小值，由可得Sn取最小值时的n值．

3．在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，试求数列{an}的前n项和Sn的最小值．

[解]　由11a5＝5a8－13，得

11(a1＋4d)＝5(a1＋7d)－13.

∵a1＝－3，∴d＝.

an＝a1＋(n－1)d＝－3＋(n－1)×，

令an≤0，得n≤，

∴a1<a2<…<a6<0<a7<….

∴Sn的最小值为

S6＝6a1＋＝6×(－3)＋15×＝－.

【例4】　某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？

[解]　从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.

25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．

1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．

2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：

(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．

(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，求前n项和Sn，还是求项数n.

4．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.

(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？

(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？

[解]　(1)设n分钟后第1次相遇，依题意，有

2n＋＋5n＝70，

整理得n2＋13n－140＝0.解得n＝7，n＝－20(舍去) .

第1次相遇是在开始运动后7分钟．

(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，有

2n＋＋5n＝3×70，

整理得n2＋13n－420＝0.解得n＝15，n＝－28(舍去)．

第2次相遇是在开始运动后15分钟.

课堂小结

1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法．

2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．

在求等差数列的前n项和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝较好，若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋d较好．

3．求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法有两种：

(1)用二次函数的性质求解．

(2)明确数列中的正项与负项，用负项之和最小，正项之和最大来解决．

4．解决数列应用题时应分清：(1)是不是等差数列问题；

(2)是通项问题还是求和问题．

1．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于(　　)

A．1  B.  C．2  D．3

C　[∵S3＝＝6，而a3＝4，

∴a1＝0，

∴d＝＝2.]

2．已知在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于(　　)

A．160  B．180  C．200  D．220

B　[∵a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，

∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18＝18，

∴S20＝＝10×18＝180.]

3．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为________．

5　[由条件知a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝30，

又∵a1＋a11＝a3＋a9＝a5＋a7，∴a5＋a7＝2a6＝10，

∴中间项a6＝5.]

4．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大．

8　[∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，

∴a8>0，a9<0.

∴当n＝8时，数列{an}的前n项和最大．]

5．再过5天就是小明妈妈的生日，小明准备给妈妈买一份礼物，他从今天开始存钱，第一天存10元钱，以后每天比前一天多存1元钱，到第5天，小明共有多少元？

[解]　根据题意知，小明每天存的钱数构成首项为10，公差为1的等差数列，设数列为{an}，其前n项和为Sn，到第5天小明共有S5＝10×5＋×1＝60(元)．