高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质精练

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质精练，共14页。试卷主要包含了已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
【精挑】2.7.2 抛物线的几何性质优质练习一．填空题1．已知过抛物线的焦点的直线截抛物线所得的弦长为，设点为抛物线上的动点，点过点作抛物线的准线的垂线，垂足为则的最小值为__________.2．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF=60°，则|FR|等于_____.3．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率为的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，则_____________.4．已知点为抛物线上的点，且点P到抛物线C焦点的距离为3，则___________.5．抛物线的准线方程是______.6．抛物线的焦点到准线的距离是___________.7．已知焦点为的抛物线上有一动点，点，则的最小值是_______________.8．已知抛物线方程为，点在此抛物线上运动，则点与点之间的距离的最小值为______________.9．椭圆的右焦点为，以点为焦点的抛物线的标准方程是___________.10．已知点是抛物线的焦点，点，分别是抛物线上位于第一？四象限的点，若，则____________.11．抛物线的焦点为F，准线L与x轴交于点M，若N为L上一点，当为等腰三角形，时，则_______.12．已知点是抛物线的焦点，直线经过点与抛物线交于，两点，与圆交于，两点（如图所示），则__________．13．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于，两点，且，则线段的中点到轴的距离为__________.14．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m.若水面下降1m，则水面宽度为______.15．抛物线的焦点到准线的距离为______.
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：计算，联立方程得到，根据弦长得到，，得到答案.详解：焦点为，直线过焦点，故，设交点的横坐标分别为，，故，故，故，故，故.，当共线时等号成立.故答案为：.【点睛】本题考查了根据抛物线的弦长求参数，抛物线中最短距离，意在考查学生的计算能力和转化能力.2．【答案】2【解析】分析：由题意知：，，，.由∠NRF=60°，可得为等边三角形，MF⊥PQ，可得F为HR的中点，即求.详解：不妨设点P在第一象限，如图所示，连接MF，QF.∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点∴，.∵M，N分别为PQ，PF的中点，∴，∵PQ垂直l于点Q，∴PQ//OR，∵，∠NRF=60°，∴为等边三角形，∴MF⊥PQ，易知四边形和四边形都是平行四边形，∴F为HR的中点，∴，故答案为：2.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题.3．【答案】【解析】分析：由抛物线定义知，再由题意可得为等边三角形，为的中点，可得为三角形的中位线，可得为的中点，为等边角形的高，由中，可得的值，进而求出的值.详解：如图所示设准线与轴交于.易知，，由抛物线定义知.由题意，，为等边三角形，，.又是的中位线，就是该等边的高，.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.4．【答案】【解析】分析：根据抛物线的焦半径公式求解，再由于点在抛物线上，点的坐标满足抛物线的方程，得到.详解：设抛物线的焦点为，则，根据抛物线的焦半径公式可知：，所以，代入抛物线方程得到：，故.故答案为：.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，从而得到焦半径公式，平时做题时也要特别注意定义的应用.5．【答案】【解析】分析：先将抛物线方程化为标准形式，求出的值，即可求解.详解：由得抛物线方程为，所以，所以抛物线的准线方程是，故答案为：.6．【答案】【解析】分析：由抛物线的解析式求出，即可求解详解：由变形得，故抛物线焦点在的正半轴，，，故抛物线的焦点到准线的距离是故答案为：【点睛】本题考查由抛物线解析式求解基本量，属于基础题7．【答案】3【解析】分析：作出准线，过，作，垂足为，利用转化为可求得最小值．详解：如图，设是抛物线的准线，作于，则，∴，由已知准线方程为，显然当三点共线时，取得最小值．故答案为：3.【点睛】本题考查抛物线上点到焦点和定点的距离之和的最小值问题，解题关键是利用抛物线的定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为到焦点的距离．8．【答案】【解析】分析：由于点在抛物线上运动，所以设，则，然后整理配方可求得结果详解：解：不妨设（），则.当时，取得最小值故答案为：【点睛】此题考查了点与抛物线的位置关系，考查两点间的距离公式的应用，属于基础题9．【答案】【解析】分析：根据椭圆的方程求得焦点的坐标，得到抛物线的焦点坐标，求得的值，即可求得抛物线的标准方程.详解：由题意，椭圆，可得，则，所以椭圆的右焦点为，即抛物线的焦点坐标为，设抛物线的标准方程为，可得，即，所以抛物线的标准方程为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质的应用，以及抛物线的标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，以及抛物线的标准方程的形式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.10．【答案】18【解析】分析：根据抛物线的定义求得，得到抛物线方程，进一步求得的坐标，从而可得结果.详解：因为到焦点的距离等于到准线的距离，，则抛物线的方程为,把代入方程,得，或（舍去），即；把代入方程，得，（舍去），即,则.故答案为：18.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点．准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.11．【答案】2【解析】分析：根据抛物线的方程求出焦点F的坐标和准线L的方程及的坐标，根据N为L上一点且为等腰三角形得到为等腰直角三角形，根据勾股定理求出的长度即为的值.详解：解：根据抛物线方程得到焦点,准线L的方程为,所以,则 ,又因为为等腰三角形,N为L上一点得到为等腰直角三角形,即,又斜边 ,根据勾股定理求出,则.故答案为: 2【点睛】本题要求学生掌握抛物线的简单性质，灵活运用勾股定理解直角三角形.是一道基础题.12．【答案】16【解析】分析：设点，，根据圆的性质，结合抛物线的定义，可以求出的表达式，设直线的方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系进行求解即可.详解：设点，，抛物线焦点，圆的圆心为，则，．所以．由题可知直线的斜率不为0，所以设直线方程为，与抛物线方程联立得，即,，所以．故答案为：16【点睛】本题考查了抛物线的定义和圆的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了一元二次方程根与系数的应用，考查了数学运算能力.13．【答案】【解析】分析：根据题意得到的值，过点作垂直于准线于点，过点作垂直于于点，延长交于点，再利用三角形相似得到和的关系，从而得到，，的关系，求出，即可得到答案．详解：焦点到准线的距离为，过点作垂直于准线于点，过点作垂直于于点，延长交于点，则，所以，记，则，因为，所以，，因为，为的中点，所以，所以，即即线段的中点到轴的距离为．故答案为：．【点睛】方法点睛：.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．14．【答案】【解析】分析：以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程根据题意可得答案.详解：由题意，以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程，由题意知，抛物线经过点和点，代入抛物线方程解得，，所以抛物线方程，水面下降1米，即，解得，，所以此时水面宽度.故答案为：.15．【答案】1.【解析】分析：利用抛物线的标准方程可得，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果.详解：抛物线的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得.故答案为：1【点睛】本题考查抛物线的标准方程与简单几何性质，属于基础题.