高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.2 抛物线的几何性质课堂检测

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【名师】2.7.2 抛物线的几何性质课堂练习一．填空题1．已知点是抛物线上一动点，则的最小值为________.2．已知圆的方程为，若抛物线过点，，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________.3．抛物线的准线方程为，则______．4．抛物线的焦点到准线的距离为______.5．设抛物线x2＝2py经过点（2，1），则抛物线的焦点坐标为_____.6．已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点满足（为坐标原点），则______.7．已知圆C的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，直线4x﹣3y﹣2＝0与圆C相交于A．B两点，且|AB|＝6，则圆C的标准方程为_____8．已知抛物线，其焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于点．（其中在轴上方），，两点在抛物线的准线上的投影分别为，，若，，则____________.9．若点在抛物线上，点为该抛物线的焦点，则的值为_______.10．若直线经过抛物线的焦点，则________.11．已知过抛物线的焦点的直线截抛物线所得的弦长为，设点为抛物线上的动点，点过点作抛物线的准线的垂线，垂足为则的最小值为__________.12．抛物线的准线方程是，则其标准方程是______.13．若坐标原点到抛物线的准线距离为2，则___________.14．已知M是抛物线上一点，F是C的焦点，过M作C的准线的垂线，垂足为N，若（O为坐标原点），的周长为12，则________.15．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于，两点，且，则线段的中点到轴的距离为__________.
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：由的几何意义以及抛物线的定义，转化为点到抛物线准线的距离.详解：由，得，则的焦点为，准线为：.的几何意义是点到与点的距离之和，根据抛物线的定义点到的距离等于点到的距离，所以的最小值为.故答案为：.2．【答案】【解析】分析：根据题意可知：焦点到和的距离之和等于和分别到准线的距离和；而距离之和为和的中点到准线的距离的二倍，即，所以焦点的轨迹方程是以和为焦点的椭圆，由此能求出该抛物线的焦点的轨迹方程.详解：解：设抛物线焦点为，过，，作准线的垂线，，，则|有；由抛物线定义得，，故点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆(去掉长轴两端点)， 抛物线的焦点轨迹方程.故答案为：.【点睛】关键点点睛：抛物线方程中，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，牢记它对解题非常有益．3．【答案】-2【解析】分析：根据抛物线的准线方程公式列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值.详解：∵抛物线的准线方程为，∴，解得：，故答案为：.【点睛】此题考查了抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的准线方程公式是解本题的关键，属于基础题.4．【答案】1.【解析】分析：利用抛物线的标准方程可得，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果.详解：抛物线的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得.故答案为：1【点睛】本题考查抛物线的标准方程与简单几何性质，属于基础题.5．【答案】（0，1）【解析】分析：由点在抛物线上，代入求出抛物线的方程，进而求出焦点坐标.详解：因为抛物线x2＝2py经过点（2，1）所以22＝2p1，所以2p＝4，即抛物线的方程为：x2＝4y，所以焦点坐标为：（0，1），故答案为：（0，1）.【点睛】本题考查抛物线方程的求法以及简单的几何性质，属于基础题.6．【答案】【解析】分析：根据两点之间的距离公式以及，可得，然后根据点在抛物线上，可得，联立方程，可得.详解：由题可知：，∴，又∵，，∴，∴（舍）或.故答案为：.【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式，考验计算能力，属基础题.7．【答案】x2+（y﹣1）2＝10【解析】分析：由题意可知，圆心C（0，1），再利用点到直线距离公式求出圆心到直线4x﹣3y﹣2＝0的距离，再利用勾股定理即可求解．详解：解：由题意可知，圆心C（0，1），∴圆心C（0，1）到直线4x﹣3y﹣2＝0的距离d，又∵直线4x﹣3y﹣2＝0与圆C相交于A．B两点，且|AB|＝6，∴圆C的半径r，∴圆C的标准方程为：x2+（y﹣1）2＝10，故答案为：x2+（y﹣1）2＝10.【点睛】本题主要考查了直线与圆相交的问题，是中档题．8．【答案】3【解析】分析：根据抛物线的的定义可得，利用直角三角形可求出，由面积等积法求出，求出直线的倾斜角，利用公式，计算.详解：由抛物线的定义得：，，易证，∴，∴∵，∴，.∴，∵，∴为等边三角形.∴直线的倾斜角.∴，.∴.故答案为：3【点睛】本题主要考查了抛物线的定义．简单几何性质，过焦点直线与抛物线相交的性质，属于难题.9．【答案】【解析】分析：由抛物线的方程求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义可得等于点到准线的距离即可求解.详解：由可得其焦点，准线为，因为点在抛物线上，所以点到焦点的距离等于到准线的距离，所以，故答案为：.10．【答案】【解析】分析：由抛物线的方程可得焦点坐标，代入直线方程可得的值．详解：可化为，焦点坐标为由题意可得：，故．故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的性质及点在直线上的性质，属于基础题．11．【答案】【解析】分析：计算，联立方程得到，根据弦长得到，，得到答案.详解：焦点为，直线过焦点，故，设交点的横坐标分别为，，故，故，故，故，故.，当共线时等号成立.故答案为：.【点睛】本题考查了根据抛物线的弦长求参数，抛物线中最短距离，意在考查学生的计算能力和转化能力.12．【答案】【解析】分析：由准线方程可判断抛物线开口的方向及的值，然后确定抛物线的标准方程.详解：由抛物线的准线方程是可知，抛物线开口向下，焦点为坐标，则抛物线的标准方程为.故答案为：.13．【答案】【解析】分析：根据抛物线性质可得结果.详解：由化为标准方程，准线方程，故由题意，得.故答案为：14．【答案】4【解析】分析：由，得到，进而得到为等边三角形，即可求解.详解：如图所示，因为，所以，又由M是抛物线C上的一点，可得，所以为等边三角形，因为的周长为12，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其应用，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.15．【答案】【解析】分析：根据题意得到的值，过点作垂直于准线于点，过点作垂直于于点，延长交于点，再利用三角形相似得到和的关系，从而得到，，的关系，求出，即可得到答案．详解：焦点到准线的距离为，过点作垂直于准线于点，过点作垂直于于点，延长交于点，则，所以，记，则，因为，所以，，因为，为的中点，所以，所以，即即线段的中点到轴的距离为．故答案为：．【点睛】方法点睛：.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．