北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数3 指数函数3.1 指数函数的概念当堂达标检测题

【优编】3.1 指数函数的概念-1作业练习

一．填空题

1．不等式的解集为_______________.

2．函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则mn的最大值为___________.

3．若，且，则__________．

4．已知函数，则该函数的单调递增区间是__________.

5．已知函数，函数，记，其中表示实数，中较小的数.若对都有成立，则实数a的取值范围是________.

6．已知当时，函数的值总大于1，则函数的单调增区间是______.

7．某流水线产量的月平均增长率为m，则该厂去年的年增长率为________.

8．函数的递增区间为_____________.

9．是偶函数，当时，，则不等式的解集为____________.

10．若函数是减函数，则的取值范围______.

11．函数的增区间是________________ .

12．已知函数.

(1)当时，求函数的值域；

(2)若有最大值64，求实数a的值.

13．函数 的值域是_________．

14．若指数函数且与一次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是_________.

15．不等式的解集是___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】利用指数函数单调性解不等式即可.

详解：，在R上是增函数，即

因为，所以解集是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了指数函数不等式的解法，属于基础题.

2．【答案】

【解析】分析：根据指数函数的图像性质求出A点坐标，代入直线方程，利用均值不等式即可求解.

详解：解：函数（且）的图象恒过定点A，

，

点A在直线上，

，

又，，

，

，当且仅当，即时等号成立，

所以mn的最大值为，

故答案为：.

3．【答案】

【解析】分析：计算出的值，由，可得出，由此可求得的值.

详解：，所以，，

，因此，.

故答案为：.

4．【答案】

【解析】设，求出的单调性，再根据复合函数的单调性原理即得解.

详解：由题得函数的定义域为.

设，

函数在单调递减，在单调递增，

函数在其定义域内单调递减，

所以在单调递增，在单调递减.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查二次函数和指数函数的单调性，考查复合函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

5．【答案】，或

【解析】首先根据题意可知当或时，恒成立，又对都有成立，则时，恒成立，再对进行分类讨，求出的最值，由此即可求出结果.

详解：由于对都有成立，

令，可得或；

所以当时，恒成立；

当时，在区间上单调递减，所以，

所以，可得，所以或，

所以；

当时，在区间上单调递增，所以，

所以，可得，所以或，

所以；

当时，在区间上单调递增，在上单调递减，

所以，此时不成立；

综上所述，，或.

故答案为：，或.

【点睛】

本题主要考查了函数的单调性．函数最值．恒成立问题等，同时考查转换思想，属于中档题．

6．【答案】

【解析】利用指数函数的性质求得，再利用复合函数的单调性判断确定的单调增区间即可

详解：∵当时，函数的值总大于1；

∴，即；

若令，，易知：函数单调递增，在单调递增，单调递减；

∴在上单调递增；

故答案为：

【点睛】

本题考查了求复合函数的单调区间，利用指数函数的性质及复合函数的单调性判断求单调区间

7．【答案】

【解析】设年初产值为1，则年末产值为，然后可得到答案.

详解：设年初产值为1，则年末产值为

故该厂去年的年增长率为

故答案为：

【点睛】

本题考查的是指数函数的应用，较简单.

8．【答案】

【解析】根据复合函数单调性同增异减，求得函数的单调递增区间.

【详解】

由于在上递减，在上递增，在上递减.根据复合函数单调性同增异减可知，函数的递增区间为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查指数型复合函数单调区间的求法，属于基础题.

9．【答案】

【解析】解：当时，由，得，解得.

因为为偶函数，所以的解集为.

故答案为：

10．【答案】

【解析】根据指数函数的性质可知，的底数，即可求解.

详解：因为指数函数是减函数，

所以，解得或，

所以.

【点睛】

本题主要考查了指数函数的增减性与底数的关系，属于中档题.

11．【答案】

【解析】先求函数的定义域为，令，则，利用复合函数法求解的增区间即可.

详解：函数的定义域为，令，则，

因为在上单调递减，

而在上单调递减，

所以函数的增区间为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了复合函数的单调性问题.方法步骤：首先确定函数的定义域，其次将原函数分解为两个初等函数，然后再分别确定两个初等函数的单调性，最后根据单调性一致是增函数，单调性相反是减函数，即“同增异减”来下结论.

12．【答案】(1) ；(2).

【解析】(1)由在R上单调递增，且，得到，即可求解；

(2)令，结合指数函数的单调性和二次函数的性质，分类讨论，即可求解.

【详解】

(1)由题意，当时，函数，

因为在R上单调递增，且，

可得，又，所以函数的值域为；

(2)令

当时，t无最大值，不合题意；

当时，因为，所以，

又因为在R上单调递增，所以，

即， 解答.

【点睛】

本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及二次函数的性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数的图象与性质，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.

13．【答案】

【解析】由题意得，令，所以，所以函数的值域是

.

考点：函数的值域.

14．【答案】

【解析】根据题意可判断，利用函数的导数，转化求解的最大值，从而求出的取值范围.

详解：由题意，当时，函数且的图象与一次函数的图象没有交点，

设当时，指数函数且的图象与一次函数的图象恰好有两个不同的交点，则，

设且与相切于，则，，

所以，，解得，此时.

即且与恰好有两个不同的交点时实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了指数函数的性质，函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.

15．【答案】

【解析】分析：由指数函数的单调性可得，求解即可.

详解：，，即，解得，

故不等式的解集为.

故答案为：.