北师大版 (2019)必修 第二册5.2 余弦函数的图象与性质再认识课后复习题

【精挑】5.2 余弦函数的图象与性质再认识-1优选练习

一．填空题

1．函数的最小正周期为____________.

2．的最小正周期为________.

3．要得到函数的图像，可以由函数的图像向左平移得到，则平移的最短长度为_________.

4．已知，其中，若为偶函数，则=_______.

5．已知函数(，)，，对任意，恒有且在区间上单调，则的可能值有__________．

6．函数的最小正周期是，则的值＝_____________

7．已知函数.若，且，则的取值范围是______.

8．函数f(x)＝sin x+cosx的最大值是___________.

9．把函数的图像向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的，所得函数的解析式为____________.

10．在高中阶段，我们学习过函数的概念．性质和图像，以下两个结论是正确的：① 偶函数在区间（）上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；② 周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为________.

11．下面四个命题中，其中正确命题的序号为____________.

① 函数是周期为的偶函数；

② 若 是第一象限的角，且，则 ；

③是函数的一条对称轴方程；

④ 在内方程有3个解

12．已知函数，其图像的最高点从左到右依次记为A1，A2，A3，...，A2019，其图像与x轴的交点从左到右依次记为B1，B2，B3，...，B2019，则___________.

13．设，点在第三象限，则角的取值范围是_________________.

14．给出以下四个结论：

①函数是偶函数；

②当时，函数的值域是；

③若扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的弧长为6cm；

④已知定义域为的函数，当且仅当时，成立.

⑤函数的最小正周期是

则上述结论中正确的是______（写出所有正确结论的序号）

15．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是                  .

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】首先化简所给的三角函数式，然后结合三角函数的性质即可确定其最小正周期.

【详解】

由题意可得：.

故函数的最小正周期为：.

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查三角函数式的化简，正切函数的最小正周期公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2．【答案】

【解析】根据三角变换公式将函数的解析式化成辅助角的形式,再用周期公式可得.

【详解】

由函数 有意义,得 ,得 ,

得.

因为

所以的最小正周期.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换,正余弦函数的定义域以及正弦型函数的周期公式,属中档题.

3．【答案】

【解析】先化简，，利用图象变换即得解.

【详解】

由题得，

，

所以平移的最短长度为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查辅助角公式，考查三角函数图象的变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4．【答案】

【解析】先化简，再根据为偶函数确定

【详解】

因为为偶函数，所以

因为，所以

故答案为：

【点睛】

本题考查二阶行列式以及函数奇偶性，考查基本分析求解能力，属基础题.

5．【答案】个

【解析】根据条件结合正弦函数最值以及单调性确定值以及的可能值.

【详解】

因为，所以，；

因为，所以；

因此，

因为在区间上单调，所以或

即或，因为，从而或，即

故答案为：3个

【点睛】

本题考查正弦函数最值与单调性性质，考查基本分析求解能力，属中档题.

6．【答案】

【解析】根据题意，得到，求解，即可得出结果.

【详解】

因为函数的最小正周期是，

所以，解得.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查三角函数的周期公式，熟记公式即可，属于基础题型.

7．【答案】

【解析】【详解】

如图，由的图像可知，使得，且的只能是，且.

故，即.

因此，可表示成.

于是，.

由于，故的取值范围为.

故答案为:

8．【答案】

【解析】由.

9．【答案】

【解析】把函数的图象向右平移个单位，只需用替换原函数中的，整理后把的系数乘以2，就是把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，则变化后的函数解析式可求．

【详解】

解：把函数的图象向右平移个单位，

所得图象的函数解析式为．

再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，

所得图象的函数解析式为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了函数的图象变换，关键是明确先改变周期还是先平移，顺序不同，平移的单位不同，是中档题，也是易错题．

10．【答案】

【解析】先阅读题意，再将问题转化为求函数的值域，

再利用辅助角公式求函数的值域即可得解.

【详解】

解：因为的周期为，且为偶函数，则由题意可得：

的值域即为的值域，

又，

又因为，所以，

则当时，函数取最大值，又 ，，

则函数最小值为2，

即函数的值域为，

即函数的值域为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了函数性质的应用，考查了三角函数值域的求法，属中档题.

11．【答案】①③

【解析】根据的图像与性质即可判断①;根据在第一象限内,由角的取值情况即可判断②;根据正弦函数的性质可判断③;将函数化为,根据方程的解即可判断④.

【详解】

对于①, 函数的图像如下图所示:

由图可知,函数的周期为,且为偶函数,所以①正确;

对于②,在第一象限的角,当时,满足,但,所以②错误.

对于③, 函数的对称轴为,解得,当时解得,所以③正确.

对于④, .在内,当时,等式成立;当时, ,解得.因为在内不成立,所以只有1个解,即④错误.

综上可知, 正确命题的序号为①③

故答案为: ①③

【点睛】

本题考查了正弦函数与正切函数函数图像与性质的综合应用,综合性较强,属于中档题.

12．【答案】-8072

【解析】由函数可得,分别写出各点坐标,进一步得到向量坐标,求数量积时会发现每一个数量积均为,整理后即可得到结果

【详解】

由题可知,

为,为,为,,为；

为,为,为,,为

,

故答案为：

【点睛】

本题考查三角函数周期性,考查向量的坐标表示,考查数量积的坐标运算

13．【答案】

【解析】第三象限有，解之可得．

【详解】

∵在第三象限，∴，又，∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查三角函数的符号，考查解三角不等式，解题关键是掌握正弦函数与余弦函数的性质．

14．【答案】②④

【解析】利用特殊值代入①中的解析式即可判断①；根据函数单调性及自变量取值范围，可判断②；根据扇形的周长及圆心角即可求得半径，进而求得弧长，可判断③；讨论sinx﹣cosx的符号去绝对值，即可判断④；利用周期性定义验证，即可判断⑤．

【详解】

解：当x与x时，代入①中的解析式所得函数值不相等，所以①错误；

当x∈[0，]时，2xx∈[，]，

由余弦函数图象可知函数f（x）＝2cos（2x）的值域是[﹣2，]；所以②正确；

因为若扇形的周长为15cm，圆心角为rad，设半径为r，

则15﹣2rr，解得r＝6，所以弧长为l＝ar＝3 cm，所以③错误；

当sinx﹣cosx≥0时，函数f（x）cosx，

2kπ＜x＜2kπ（k∈Z）时，f（x）＞0；

当sinx﹣cosx＜0时，函数f（x）sinx，

2kπ＜x＜2kπ（k∈Z）时，f（x）＞0，所以④正确．

记，，

，

，故也是函数的周期，故⑤错误，

综上所述，②④正确．

故答案为：②④．

【点睛】

本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，三角函数定义域与值域的求法，弧度制的定义计算．属于中档题．

15．【答案】

【解析】先利用二倍角公式化简函数，再求函数的周期．

考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法