北师大版 (2019)必修 第二册6.1 探究w对y=sinwx的图象的影响精练

【精挑】6.1 探究ω对y=sinωx的图象的影响-1优选练习

一．填空题

1．已知函数，在区间上是增函数，且在区间上恰好两次取得最大值，则的取值范围是__________．

2．函数(A＞0，＞0)的部分图象如图所示．若函数在区间[m，n]上的值域为[，2]，则n﹣m的最小值是_______．

3．已知函数（，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象.若函数为偶函数，则的值为_________，此时函数在区间上的值域是_________.

4．函数，取得最大值时自变量的值为______.

5．若将函数的函数图象平移个单位，得到一个偶函数的图象，则的最小值为________.

6．如图，点P是函数y＝2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）图象的一个最高点，M．N是图象与x轴的交点，若△MPN为直角三角形，则ω＝_____．

7．如图为函数（，，，）的部分图像，则函数解析式为________

8．已知函数的图象与直线的三个交点的横坐标分别为，那么________．

9．已知点，，在函数的图象上，如图，若，则______.

10．函数的部分图象如图所示,现将此图象向左平移个单位长度得到函数的图象,则函数的解析式为______.

11．已知函数，其中的部分图象如图所示，则______________．

12．已知函数点(1,0)是其函数图象的对称中心，轴是其函数图象的对称轴，则的最小值为_____.

13．已知函数的最大值为，其相邻两个零点之间的距离为，且的图象关于直线对称，则当时，函数的最小值为______.

14．已知函数（），且，给出下列四个结论：①点为函数的图像的一个对称中心；②对任意的，函数都不可能是偶函数；③函数在区间上单调递减；④当时，函数的值域为，其中正确结论的序号是___________.

15．已知函数，在同一个周期内，当时，取得最大值：当时，取得最小值，若时，函数有两个零点，则实数的取值范围是_________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】首先求过原点的函数的增区间，根据条件可知，且在区间上恰好两次取得最大值，那么区间长度，且，最后求得的范围.

【详解】

解得：，

那么过原点的单调增区间就是当时，，

那么，

即 ，解得，

且在区间上恰好两次取得最大值，

即 ，解得

综上，.

故答案为：

【点睛】

本题考查根据函数在区间的单调性和最值个数求参数取值范围，意在考查计算和转化与化归能力，区间上的单调性转化为子集问题，最值个数转化为周期问题.

2．【答案】3.

【解析】根据三角函数图象求得函数解析式；利用和求得的取值，可知当时取最小值，从而得到结果.

【详解】

由图象知：    ，又   

    ，

当时，或，

或，

当时，，   

若最小，则   

本题正确结果：

【点睛】

本题考查利用三角函数图象求解函数解析式．根据值域求解定义域的问题；关键是能够通过特殊角三角函数值确定角的取值.

3．【答案】     

【解析】根据函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得到，将的图象向左平移个单位长度后，得到函数，再根据函数为偶函数，由求，得到，再利用正弦函数的性质求解.

详解：因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，

所以，

将的图象向左平移个单位长度后，得到函数，

因为函数为偶函数，

所以，

所以，

所以，

因为 ，

所以，

所以函数在区间上的值域是.

故答案为：(1).     (2).

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质和图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

4．【答案】

【解析】令，解得，再根据，即可确定自变量的值.

【详解】

令，解得.

∵

∴

故答案为：.

【点睛】

本题考查的知识要点为正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

5．【答案】

【解析】分两种情况讨论，先求出的值，再比较即得解的最小值.

【详解】

若将函数的函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，

根据所得图象为一个偶函数的图象，故，，此时，；

若将函数的函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，

根据所得图象为一个偶函数的图象，故，，此时，；

综上可得，的最小值为，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查函数的图象变换规律及正弦函数的奇偶性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．

6．【答案】

【解析】结合题意得到,所以周期,再根据周期公式可得答案.

【详解】

三角函数的最大值为2，即三角形MPN的高为2，

∵△MPN为直角三角形，∴根据对称性知△MPN为等腰直角三角形，即MN＝4，

即三角函数的周期T＝8，由T8，得ω，

故答案为:.

【点睛】

本题考查了正弦型函数的周期性,根据题意得到,是答题的关键,属于基础题.

7．【答案】

【解析】由函数的部分图像，先求得，得到，再由，得到，结合，求得，即可得到函数的解析式.

【详解】

由题意，根据函数的部分图像，

可得，所以，又由，即，

又由，即，

解得，即，

又因为，所以，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了利用三角函数的图象求解函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.

8．【答案】

【解析】作出函数，由图象平移的知识和三角函数的对称性可得和的值，相加即可．

【详解】

函数的图象，

可看作函数的图象向左平移得到，相应的对称轴也向左平移，

∴，，

∴，

故答案为.

【点睛】

本题主要考查三角函数图象的变化和性质，利用对称性是解决问题的关键，属中档题．

9．【答案】

【解析】设的中点为，连接，由条件判断是等边三角形，并且求出和的长度，即根据周期求.

【详解】

设的中点为，连接，

，

，且，

是等边三角形，并且的高是,

，即，

，即，

解得：.

故答案为：

【点睛】

本题考查根据三角函数的周期求参数，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于基础题型，本题的关键是利用直角三角形的性质和三角函数的性质判断的等边三角形.

10．【答案】

【解析】先由函数图像，确定和周期，得到，再由求出，确定的解析式，最后根据函数的平移，即可得出结果.

【详解】

由图像可得：，，则，

所以，

又，即，所以，

即，因为，所以，

故，

因为将此图象向左平移个单位长度得到函数的图象，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查由三角函数的图像确定函数的解析式，以及求平移后的函数解析式，熟记正弦型三角函数的性质，以及三角函数的平移原则即可，属于常考题型.

11．【答案】

【解析】先由图像得到，，求出，得到，根据图像过点，得到，即可求出结果.

【详解】

先由图像可得：，，

所以，因此，

又图像过点，所以，即，

由图像可得：，所以，

又，所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查由三角函数部分图像求参数的问题，熟记三角函数的图像与性质即可，属于常考题型.

12．【答案】

【解析】因为轴是其函数图象的对称轴,所以代入；(1,0)是其函数图象的对称中心,所以代入,作差即可表示出的值,再根据,即可得的最小值.

【详解】

轴是其函数图象的对称轴,

①

∵(1,0)是其函数图象的对称中心

②

②-①,得

当时,有最小值

故答案为：

【点睛】

本题考查了三角函数复合函数的对称轴和对称中心的表达式,属于基础题.

13．【答案】

【解析】根据题中信息求得，然后由，求出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求出的最小值.

【详解】

由题意可得，设函数的最小正周期为，则，得，

，此时，.

因为函数的图象关于直线对称，则，

，，，，则.

，，

因此，函数在区间上的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用三角函数的基本性质求解析式，同时也考查了正弦型函数在区间上的最值，解题的关键就是求出三角函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.

14．【答案】①④

【解析】根据求出的解析式，再逐项判断各选项正确与否，从而可得正确结论的序号.

【详解】

因为，，故，

所以，其中，

所以，其中，而，故即.

此时，所以.

对于①，令，可得，

故函数图象的对称中心为，当时，有对称中心，故①正确.

对于②，取，则，

它是一个偶函数，故②错误.

对于③，，

当，，

因为在为增函数，在为增函数，

故为上的增函数，故③错误.

对于④，当时，，

所以，故即的值域为，

故④正确.

故答案为：①④.

【点睛】

一般地，我们研究的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时，我们先确定的单调性，再函数的单调性确定外函数的单调区间后求出的范围即可，比如求函数的对称轴．对称中心时，可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心.

15．【答案】

【解析】先根据题中信息求得，令，得出，可转化为函数与在区间上的图象有两个交点，利用数形结合思想可得解.

【详解】

由题意可得，设函数的最小正周期为，则，，此时，，

将点代入函数的解析式得，得，

，，，可得，

.

令，得出，

则函数与在区间上的图象有两个交点，

令，当时，，如下图所示：

由图象可知，当时，即当时，

函数与在区间上的图象有两个交点，

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用三角函数的基本性质求解析式，同时也考查了利用三角函数的零点个数求参数，考查了正弦函数图象的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.