高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 圆的一般方程同步测试题

【精挑】2.2 圆的一般方程-1作业练习

一．填空题

1．已知两点,,以线段为直径的圆经过原点,则该圆的标准方程为____________.

2．若圆的半径为1，则______。

3．已知圆的方程为x2＋y2＋2x－6y－14＝0，则与它关于直线y＝x对称的圆的方程为________．

4．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，则圆的方程为______.

5．若方程表示圆，则实数m的取值范围为______．

6．圆心为，半径为1的圆的方程是_____

7．若方程表示圆，则实数t的取值范围是______．

8．过点与半径最小的圆的方程为___________.

9．若方程表示圆，则实数的取值范围为_______．

10．若方程x2+ y2 -2x+ 4y+1＋a＝0表示的曲线是一个圆，则a的取值范围是________

11．已知，若方程表示圆，则圆心坐标为____；的取值范围是____．

12．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋8＝0，若圆C和坐标轴的交点间的线段恰为圆C′直径，则圆C′的标准方程为__________________．

13．已知圆，点P在圆C上运动，则OP的中点M的轨迹方程_____．（为坐标原点）

14．若方程表示圆，则实数的取值范围是______.

15．已知，若方程表示圆，则此圆心坐标是________．

16．已知圆经过点，，与直线相切，则圆的标准方程为__________．

17．设圆的方程为，圆的方程，则两圆的关系为______．

18．已知，若在圆上存在点使得成立，则的取值范围为_____．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】由以线段为直径的圆经过原点,则可得,

求得参数的值，然后由中点坐标公式求所求圆的圆心，用两点距离公式求所求圆的直径，

再运算即可.

【详解】

解：由题意有,，

又以线段为直径的圆经过原点,

则,

则，解得，

即，

则的中点坐标为，即为，

又，

即该圆的标准方程为，

故答案为.

【点睛】

本题考查了圆的性质及以两定点为直径的圆的方程的求法，重点考查了运算能力，属基础题.

2．【答案】1

【解析】根据圆的半径计算公式列方程，解方程求得的值.

【详解】

圆的半径为，解得.

【点睛】

本小题主要考查圆的半径计算公式，属于基础题.

3．【答案】x2＋y2－6x＋2y－14＝0

【解析】找到圆的圆心关于直线的对称点，可得到新圆的圆心，而圆的半径不变，故得到新圆的方程.

【详解】

圆O1的方程x2＋y2＋2x－6y－14＝0可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝24，圆心O1(－1,3)关于直线y＝x对称的点为圆O2的圆心(3，－1)．

又圆O1与圆O2的半径相同，故所求圆O2的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝24，即x2＋y2－6x＋2y－14＝0.

故答案为：x2＋y2－6x＋2y－14＝0.

【点睛】

这个题目考查了点的对称性的应用，和圆的方程的求法，已知圆上三个点时，可以考虑一般式方程，待定系数即可，已知半径和圆心时，可考虑标准式方程.

4．【答案】

【解析】设出圆的一般方程，把点和代入方程中，通过方程求出圆心坐标，代入中，解三元一次方程组，求出圆的一般方程.

【详解】

设圆的方程为，圆心坐标为,因为圆经过点和，且圆心在直线上，所以有：

,所以圆的方程为,

【点睛】

本题考查了求圆的方程，考查了待定系数法，解三元一次方程组的能力.

5．【答案】

【解析】把圆的一般方程化为标准方程，可得实数m的取值范围．

【详解】

方程，即，表示圆，，求得，则实数m的取值范围为，故答案为：

【点睛】

本题主要考查圆的普通方程化为标准方程，考查二元二次方程是圆的方程的条件，考查配方法，属于基础题．对于二元二次方程，可通过配方法配方成，当时，表示点；当时，表示圆.

6．【答案】

【解析】本题利用圆的标准方程以及题意中给出的圆心坐标和半径即可得出结果。

【详解】

圆心为，半径为的圆的方程是：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查圆的相关性质，主要考查圆的标准方程的求法，根据圆心以及半径即可写出圆的标准方程，是简单题。

7．【答案】

【解析】根据圆的一般式方程x2+y2 +dx+ey+f＝0（ d2+e2﹣4f＞0），列出不等式即可求出t的取值范围．

【详解】

关于x，y的方程表示圆时，应有4+16﹣4＞0，解得 t＜-1或t＞3，

故答案为：．

【点睛】

本题考查二元二次方程表示圆的条件，x2+y2 +dx+ey+f＝0表示圆的充要条件是：d2+e2﹣4f＞0.

8．【答案】

【解析】由圆心到直线的距离d．半弦长和半径构成的勾股定理得要使半径R最小，则需d最小，d最小是0, 此时圆的圆心为AB的中点，圆的直径为AB，可得圆的方程.

【详解】

设所求的圆的圆心为C，圆的半径为R，圆心到直线AB的距离为d,

则，由已知得，

要使半径R最小，则需d最小，d最小是0，此时圆的圆心为AB的中点，圆的直径为AB，

圆的方程是，即，

故填：．

【点睛】

本题考查根据条件求圆的方程的问题，关键在于得出何时圆的半径取得最小值，属于中档题.

9．【答案】

【解析】方程表示圆，需要 计算得到答案.

【详解】

方程表示圆

则

【点睛】

本题考查了二元二次方程表示圆的条件，属于简单题.

10．【答案】

【解析】由圆的一般方程的性质得到a的不等式，解不等式即可得实数a的取值范围．

【详解】

若方程x2+y2﹣2x+4y+1+a＝0表示的曲线是一个圆，则（﹣2）2+42﹣4（1+a）＞0，解得a＜4.

故答案为：a＜4.

【点睛】

本题考查圆的一般方程的定义和性质，属于基础题．

11．【答案】     

【解析】当圆的方程是以一般方程给出时，根据圆心坐标公式,还需满足表示圆.

【详解】

（1）若方程表示圆，那么根据圆心坐标公式，可得，，

圆心坐标.

（2）若方程表示圆，那么需满足，即.

故填：;.

【点睛】

本题考查了圆的一般方程，属于简单题型.

12．【答案】x2＋(y－3)2＝1

【解析】由垂径定理可确定出圆C′的圆心，由勾股定理得到半径，从而得到圆的方程.

【详解】

圆C：x2＋y2－4x－6y＋8＝0，可知圆心C(2,3),半径为，

由垂径定理得点M为圆C′的圆心，即圆心C′（0,3），直径为AB,

所以圆C′的半径为,

所以圆C′的标准方程为x2＋(y－3)2＝1

故答案为：x2＋(y－3)2＝1

,

【点睛】

本题考查圆的标准方程的求法，关键是根据已知条件确定圆心坐标和半径，属于基础题.

13．【答案】

【解析】设，得代入已知圆的方程，能求出线段的中点的轨迹方程．

【详解】

设，∵为坐标原点，且是线段的中点，得，

当点在圆上运动时，把代入圆得：.

整理得线段的中点的轨迹方程为：．

故答案为：

【点睛】

本题考查线段的中点的轨迹方程的求法，考查相关点法．中点坐标公式等基础知识，属于中档题．

14．【答案】.

【解析】把圆的一般方程化为圆的标准方程，得出表示圆的条件，即可求解，得到答案．

【详解】

由题意，方程可化为，

方程表示圆，则满足，解得．

【点睛】

本题主要考查了圆的一般方程与圆的标准方程的应用，其中熟记圆的一般方程与圆的标准方程的互化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础．

15．【答案】

【解析】二元二次方程表示圆，首先二次项系数要相等，其次

【详解】

方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆

解得：a=2（舍）或-1

圆的方程是：x2＋y2＋4x＋8y-5＝0

圆心坐标是

【点睛】

本题考察了圆的一般方程的条件应用，解题中需要把握两个条件：1. 二次项系数要相等；2.满足条件;两个条件缺一不可.

16．【答案】

【解析】设圆C的方程为，由题意得点是圆与直线的切点，连接圆心C和切点的直线和与切线垂直，得到BC的方程，再由线段AB的垂直平分线的方程为，联立方程组，求得圆心坐标，进而求得圆的方程.

【详解】

由题意，设圆C的方程为，

因为点在直线上，所以点是圆与直线的切点，

连接圆心C和切点的直线和与切线垂直，

则，则BC的方程为，整理得，

由线段AB的垂直平分线的方程为，

联立方程组，解得，即圆心坐标为,

又由,

所以圆的方程为.

【点睛】

本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据圆的切点的性质和弦的垂直平分线的性质，联立方程组求得圆心的坐标是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

17．【答案】相交

【解析】根据两个圆的圆心距与两圆的半径之差的绝对值和两个圆的半径之和的关系即可确定两圆的位置关系.

【详解】

圆，即圆，表示以为圆心，为半径的圆，

而圆是以为圆心．为半径的圆，

两个圆的圆心距，大于两个圆的半径之差的绝对值而小于两个圆的半径之和，故两个圆相交．

故答案为：相交．

【点睛】

本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于基础题．

18．【答案】或

【解析】先由PA2+PB2=20得P点轨迹为圆，然后问题转化为两圆有交点，圆心距小于等于半径之和，大于等于半径之差.

【详解】

：∵圆C：（x-m）2+（y+m）2=9，∴圆心为C（m，-m），半径为3，设P（x，y），则由PA2+PB2=20，得（x+1）2+y2+（x-5）2+y2=20，即x2+y2-4x+3=0，∴（x-2）2+y2=1，在圆C：x2+y2-2mx+2my+2m2-9=0（m∈R）上存在点P使得PA2+PB2=20成立,转化为：圆C：

（x-m）2+（x+m）2=9与圆：（x-2）2+y2=1有交点，转化为：圆心距小于等于两圆半径之和，大于等于两圆半径之差，即3-1≤≤3+1，解得：-2≤m≤0或2≤m≤3.

故答案为：-2≤m≤0或2≤m≤3.

【点睛】

本题考查了圆与圆的位置关系及其判断，关键是已知条件的转化，属中档题.