高中数学2.2 圆的一般方程复习练习题

【精编】2.2 圆的一般方程优选练习

一．填空题

1．若为圆的弦AB的中点, 则直线AB的方程为           。

2．已知圆，则圆心坐标为__________，当圆与轴相切时，实数的值为_____________.

3．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为______

4．点P（4，－2）与圆上任一点连线的中点轨迹方程是___________________.

5．若方程表示圆，则实数的取值范围是__________．

6．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．

7．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则_____

8．圆心是O(－3,4)，半径长为5的圆的方程为_________

9．过点A(1，－1).B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是_____________

10．已知点A(1,2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，则实数a的取值范围为______

11．已知方程表示圆，则的取值范围为__________．

12．若圆过坐标原点，则圆的半径为________．

13．以为直径两端点的圆的方程是______

14．在圆： 上任取一点，则锐角（为坐标原点）的概率是__________．

15．圆心在直线上的圆C与轴交于两点，，圆C的方程为      ．

16．圆在点处的切线方程为__________．

17．圆的圆心坐标________，半径________．

18．在平面直角坐标系中，已知点及圆，动直线过点且交圆于,两点，则的面积的最大值为________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】圆心,直线斜率 ,所以直线AB为

考点：直线方程与直线与圆相交的位置关系

点评：直线与圆相交，弦长一半，圆的半径，圆心到直线的距离构成直角三角形

2．【答案】  .  4.

【解析】【分析】

首先将圆的一般方程进行配方运算，得到标准方程，从而求得圆的圆心坐标，再根据圆与y轴相切，即圆心到y轴的距离即为圆的半径，从而求得的值.

【详解】

由，配方得，

所以圆心C的坐标为；

当圆与轴相切时，则有，解得；

故答案是，4.

【点睛】

该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有圆的一般方程向圆的标准方程的转化，由圆的方程得到圆的圆心坐标，圆与直线相切时满足的条件，即为圆心到切线的距离为圆的半径，从而建立相应的等量关系式，求得结果.

3．【答案】

【解析】表示点与点的距离，由圆的性质可求．

【详解】

圆的圆心为，半径为1，

圆心到点距离为，

∴所求最大值为．

【点睛】

设圆的半径为，圆心到平面上一点的距离为，则圆上的点到点距离的最大值为，最小值为．

4．【答案】

【解析】设圆上任一点坐标为M(x0，y0)，则，PM的中点坐标为(x，y)，

则解得代入中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.

点睛：求轨迹方程的常用方法：

（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.

（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．

（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．

（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．

5．【答案】

【解析】方程表示圆，则，即，

解得或，实数的取值范围是,故答案为．

6．【答案】

【解析】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.

详解：设圆的方程为，

圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：

，解得：，

则圆的方程为.

点睛：求圆的方程，主要有两种方法：

(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．

(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．

7．【答案】

【解析】配方得圆心坐标，再由点到直线距离公式得方程．

【详解】

圆的标准方程为，圆心为，

∴，解得．

【点睛】

本题考查圆的一般方程与点到直线距离公式，属于基础题．对圆的一般方程，通常是利用配方法配成标准方程，从而得出圆心坐标和半径．

8．【答案】

【解析】由圆的标准方程可得．

【详解】

标准方程为．

【点睛】

圆心坐标为，半径为，则圆标准方程为．

9．【答案】

【解析】因为圆心在直线上，所以可令圆心。又因为圆过点A（1，－1）．

B（－1，1），所以圆的半径。由两点距离公式得，，解得。所以，圆心，半径。因而，圆的方程是。

考点：圆的方程；两点距离公式。

点评：本题需要知道圆的特点：圆上每一点到圆心的距离都相等。

10．【答案】

【解析】把点的坐标代入圆的方程，把“＝”改为“≥”号，解不等式即可．注意．

【详解】

由题意，解得，又，

∴．

【点睛】

本题考查点与圆的位置关系．点与圆有三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外，其判断方法是求出点到圆心的距离然后与半径比较．也可直接代入圆的标准方程，点为，则点在圆内 ；点在圆上 ；点在圆外 ．同时要注意的取值范围．

11．【答案】

【解析】若方程表示圆，则，解得，故的取值范围为，故答案为.

12．【答案】

【解析】先将原点坐标代入圆方程解得m,再根据圆标准方程求半径.

【详解】

因为圆过坐标原点，所以，所以

当时圆，为一个点，舍去；

当时圆,即，半径为.

【点睛】

本题考查圆标准方程，考查基本求解能力.

13．【答案】

【解析】求出的中点坐标，即圆心坐标，再求得半径后可得．

【详解】

由题意圆心为，半径为，

∴圆方程为．

【点睛】

本题圆方程可直接写出为：，

化简整理即得．

14．【答案】

【解析】当时， 的方程为，圆心到直线的距离为：

，又圆的半径为，此时弦所对的圆心角为，所以所求概率为：

故答案为：

15．【答案】

【解析】设圆的方程为，所以有 ，圆的方程为

考点：圆的方程

16．【答案】

【解析】圆，

点在圆上，

∴其切线方程为，

整理得：．

17．【答案】    半径

【解析】圆的标准方程即： ，

由圆的标准方程的意义可知，圆心坐标为，半径为6.

18．【答案】

【解析】把表示为关于弦心距的函数，利用的范围求的最大值．

【详解】

圆，

设到直线的距离为，∵，∴，

则的面积，当时．

【点睛】

圆中的最值问题，往往转化为到圆心到几何对象（如定直线或定点等）的最值问题．有时也可以转为关于某个变量的函数（变量可为动直线的斜率或点的坐标等），再利用基本不等式或函数的单调性等求其最值．