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    北师大版高中数学选择性必修第一册1-2-1圆的标准方程学案

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    §2 圆与圆的方程

     2.1 圆的标准方程

    新课程标准

    新学法解读

    回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程.

    1.结合教材实例会用定义推导圆的标准方程,掌握圆的方程.

    2.会求圆的标准方程.

    3.能利用圆的标准方程解决相关的问题.

    [笔记教材]

    知识点一 圆的标准方程

    答案:(xa)2(yb)2r2 x2y2r2

    知识点二 点与圆的位置关系

    A(xa)2(yb)2r2(r0),其圆心为A(ab),半径为r,点P(x0y0),设d|PA|.

    位置

    关系

    几何法

    图示

    代数法

    点在

    圆外

    d____r

    (x0a)2(y0b)2____r2

    续表

    位置

    关系

    几何法

    图示

    代数法

    点在

    圆上

    d____r

    (x0a)2(y0b)2____r2

    点在

    圆内

    d____r

    (x0a)2(y0b)2____r2

    答案:> > = = < <

    [重点理解]

    (1)ab0时,方程为x2y2r2,表示以原点为圆心、r为半径的圆.

    (2)由圆的标准方程,可直接得出圆心和半径;给出圆心和半径,也可直接写出圆的标准方程,这一点体现了圆的标准方程的优点.

    (3)方程(xa)2(yb)2m2不一定表示圆.当m0时,表示一个点(ab),所以此方程要表示圆,就一定有m0.

    (4)确定圆的标准方程需三个独立的条件,一般运用待定系数法求abr.

    [自我排查]

    1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打)

    (1)方程(xa)2(yb)2m2一定表示圆.()

    (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.()

    (3)(x0a)2(y0b)2>r2,则说明点M(x0y0)在圆(xa)2(yb)2r2的外部. ()

    (4)圆心定圆的位置,半径定圆的大小.()

    2.圆(x2)2(y3)22的圆心和半径分别是(  )

    A(2,3)1    B(2,-3)3

    C(2,3)    D(2,-3)

    答案:D

    3.圆心为(1,-2),半径为3的圆的方程是(  )

    A(x1)2(y2)29

    B(x1)2(y2)23

    C(x1)2(y2)23

    D(x1)2(y2)29

    答案:D

    4.圆心是点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是________

    答案:(x3)2(y4)225

    5.点(1,1)在圆(x1)2(y1)2r2上,则圆的半径r________.

    答案:2

        研习1   直接法求圆的标准方程

    [典例1] 求满足下列条件的圆的标准方程.

    (1)圆心为(2,-2),且过点(6,3)

    (2)过点A(4,-5)B(6,-1)且以线段AB为直径;

    (3)圆心在直线x2上且与y轴交于A(0,-4)B(0,-2)两点.

    (1)[] 由两点间距离公式,得r

    所求圆的标准方程为(x2)2(y2)241.

    (2)[] 圆心即为线段AB的中点,为(1,-3).又|AB|2半径r所求圆的标准方程为(x1)2(y3)229.

    (3)[] 由圆的几何意义,知圆心坐标为(2,-3),半径r圆的方程为(x2)2(y3)25.

    [巧归纳] 直接法求圆的标准方程,就是根据题设条件,直接求圆心坐标和圆的半径这两个几何要素,然后将其代入标准方程.

    [练习1](2022辽宁六校协作体联考)a为任意实数,直线(a1)xya10恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为(  )

    A(x1)2(y2)25

    B(x1)2(y2)25

    C(x1)2(y2)25

    D(x1)2(y2)25

    答案:C

    解析:直线方程变为(x1)axy10.C(1,2)所求圆的方程为(x1)2(y2)25.故选C.

    2  待定系数法求圆的标准方程

    [典例2] 已知圆过两点A(3,1)B(1,3),且它的圆心在直线3xy20上,求此圆的方程.

    [] 方法一:直线AB的斜率为k=-,可知AB的垂直平分线m的斜率为2.AB中点的横坐标和纵坐标分别为x1y2,因此m的方程为y22(x1),即2xy0.又圆心在直线3xy20上,所以圆心在这两条直线的交点上,联立方程组所以圆心坐标为C(2,4).又半径r|CA|,则所求圆的方程是(x2)2(y4)210.

    方法二:设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2,依题意,得

    解得所以所求圆的方程是(x2)2(y4)210.

    [巧归纳] 1.用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤:(1)设出圆的标准方程;(2)根据条件得关于abr的方程组,并解方程组得abr的值;(3)代入标准方程,得出结果.

    2.求圆的标准方程时,要注意平面几何知识的应用,如已知一个圆经过两个点时,其圆心一定在这两点的中垂线上.

    [练习2](2022广东潮州质量检测)已知圆C关于x轴对称,经过点(0,1),且被y轴分成两段弧,弧长之比为21,则圆C的方程为(  )

    Ax22

    Bx22

    C.2y2

    D.2y2

    答案:C

    解析:因为圆C关于x轴对称,所以圆心Cx轴上,所以可设圆C的方程为(x±a)2y2r2(a>0),所以圆Cy轴的交点关于x轴对称,所以圆Cy轴交点为A(0,1)B(0,-1),由弧长之比为21,易知OCAACB×120°60°,则tan 60°,所以a|OC|,所以圆心坐标为r2|AC|2122.所以圆C的方程为2y2.故选C.

    研习3  点与圆的位置关系

    [典例3] 判断点P(2,0)与圆(x2)2(y1)23的位置关系.

    [] 方法一:P(2,0)与圆心(2,-1)的距离d1,圆的半径rd<rP在圆的内部.

    方法二:P(2,0)满足(22)2(01)213P在圆的内部.

    [巧归纳] 求点与圆的位置关系有几何法和代数法.(1)几何法:利用点与圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法:把点的坐标直接代入圆的标准方程.具体判断方法如下:点P(x0y0)在圆C(x0a)2(y0b)2r2;点P(x0y0)在圆C(x0a)2(y0b)2<r2;点P(x0y0)在圆C(x0a)2(y0b)2>r2.

    [练习3]若点P(2,4)在圆(x1)2(y2)2m的外部,则实数m的取值范围为________

    答案:(0,5)

    解析:由于点P(2,4)在圆的外部,所以有(21)2(42)2m,解得m5.又方程表示圆,所以有m0.

    因此实数m的取值范围是0m5.

    研习4  圆的标准方程的应用

    [典例4] 如下图,已知隧道的截面是半径为4 m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m,高为3 m的货车能不能驶入这个隧道?

    [] 以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系,那么半圆的方程为x2y216(y0).将x2.7代入,得y<3.

    即在离中心线2.7 m处,隧道的高度低于货车的高度.因此,货车不能驶入这个隧道.

    [巧归纳] 求曲线方程的一般步骤:(1)建立适当的坐标系,用(xy) 表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件P的点M的集合P{M|p(M)}(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(xy)0(4)化方程f(xy)0为最简形式;(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

    [练习4]一辆小车宽1.6 m要经过半径为3.6 m的半圆形隧道,则这辆小车的平顶车篷顶距地面的高度不得超过(  )

    A1.4 m    B3.5 m

    C3.6 m    D2.0 m

    答案:B

    解析:如图,建立直角坐标系,则半圆方程为x2y23.62(y0),当x0.8时,y3.5(m).故选B.

    1.圆(x3)2(y2)213的周长是(  )

    A.π    B2π

    C    D2π

    答案:B

    解析:由方程知圆的半径r,于是周长C2π·2π,故选B.

    2.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是(  )

    A(x2)2(y3)213

    B(x2)2(y3)213

    C(x2)2(y3)252

    D(x2)2(y3)252

    答案:A

    解析:设直径两端点为A(x,0)B(0y),则圆心(2,-3)为直径中点,

    A(40)B(0,-6)r|AB|×圆的标准方程为(x2)2(y3)213.

    3(2022福建仙游一中模拟)若直线axby1与圆x2y21相交,则P(ab)(  )

    A.在圆上    B.在圆外

    C.在圆内    D.以上都有可能

    答案:B

    解析:<1,得>1,所以点P在圆外.故选B.

    4.若点P(1)在圆x2y2m2上,则实数m________.

    答案:±2

    解析:P在圆x2y2m2上,(1)2()24m2m±2.

    5.圆心为C(1,2),且一条直径的两个端点分别落在两坐标轴上的圆的方程是________

    答案:(x1)2(y2)25

    解析:因为直径的两个端点在两坐标轴上,所以该圆一定过原点,所以半径r,又圆心为C(1,2),故圆的方程为(x1)2(y2)25.

    [误区警示]

    忽略圆的标准方程中隐含条件——半径大于零

    [示例] 已知点A(1,2)在圆C(xa)2(ya)22a2的外部,求实数a的取值范围.

    [错解] A(1,2)在圆的外部,(1a)2(2a)2>2a2,即52a>0a<

    a的取值范围是.

    [错因分析] 忽略的圆的标准方程中隐藏着r2>0.

    [正解] A(1,2)在圆的外部,(1a)2

    (2a)2>2a252a>0a<2a2>0a0.

    a的取值范围是(0).

    [题后总结] 1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法,即列出关于abr的方程组求abr或直接求出圆心(ab)和半径r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简,提高解题效率.

    2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑,其中利用几何特征较为直观、快捷.

     

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