北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 圆的标准方程教学演示免费课件ppt

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第2课时　椭圆的标准方程的综合问题
第二章　1.1　椭圆及其标准方程
学习目标
1.进一步熟悉椭圆的定义，并能运用其解决一些相关的问题.
2.理解点与椭圆的位置关系.
内容索引
椭圆方程的设法

一
　　求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)以点F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点，经过点P　　　　.
解得k＝5(k＝21舍去)，
设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程.(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可.即“先定位，后定量”.
反思感悟
反思感悟
(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程.
　　　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
设所求的椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
椭圆定义的应用

二
　　已知P为椭圆　　　＝1上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
从而|F1F2|＝2c＝6，在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|. ①
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|. ②由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
延伸探究　若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积.
从而|F1F2|＝2c＝6.在△F1PF2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
椭圆定义的应用技巧(1)涉及椭圆上的点到焦点的距离问题时，利用椭圆的定义进行转化.(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.
反思感悟
　　　设P为椭圆C：　　　＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为A.24 　　　B.12 　　　C.8　　　 D.6
√
|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，∴|PF1|＝6，|PF2|＝8.
∴易知△PF1F2是直角三角形，
∵△PF1F2的重心为点G，
∴△GPF1的面积为8.
点与椭圆的位置关系

三
　　已知直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有公共点，则点P(m，n)与椭圆　　 ＝1的位置关系是A.在椭圆内 B.在椭圆外C.在椭圆上 D.不确定
√
∵直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有共公点，
∴m2<5，n2<5.
∴点P(m，n)在椭圆内部.
反思感悟
点与椭圆的位置关系的判断(1)根据椭圆的定义判断点P(x0，y0)与椭圆的位置关系如下：|PF1|＋|PF2|<2a⇔点P在椭圆内部；|PF1|＋|PF2|＝2a⇔点P在椭圆上；|PF1|＋|PF2|>2a⇔点P在椭圆外部.
反思感悟
(2)对于点P(x0，y0)与椭圆的位置关系，有如下结论：
　　　若点P(0,1)在焦点在x轴上的椭圆　　　＝1内部，则m的取值范围是_______.
(1,5)
∴m>1，又椭圆的焦点在x轴上，∴m<5，故m的取值范围是(1,5).
课堂小结
1.知识清单： (1)椭圆方程的设法. (2)椭圆定义的应用. (3)点与椭圆的位置关系.2.方法归纳：转化与归纳.3.常见误区：求参数范围时，忽视焦点所在的坐标轴而致错.
随堂演练

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且10>2＋2，由椭圆的定义可得，动点M的轨迹是椭圆，且2a＝10，c＝2，所以b2＝a2－c2＝52－22＝21.
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2.设P为椭圆　　 ＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是A.4 　　　B.6 　　　C.9　　　 D.12
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当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号.
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3.点P(1，m)在椭圆 ＋y2＝1内，则m的取值范围是______________.
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因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以△PF1F2是直角三角形，
课时对点练

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由椭圆方程可得a2＝25，所以2a＝10，由椭圆定义可得点M到另一焦点的距离等于6.
1.已知椭圆　　　＝1上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M到另一个焦点的距离等于A.1 　　　 B.3　　　 C.6　　　 D.10
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2.已知椭圆C：　　 ＝1，点A(1,1)，则点A与椭圆C的位置关系是A.点在椭圆上 B.点在椭圆内C.点在椭圆外 D.无法判断
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所以点A在椭圆C内部.
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∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0，2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，又8＞4，∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，
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因为焦距为4，即2c＝4，所以c＝2，所以c2＝m－2－(10－m)，解得m＝8，满足65.(多选)设F1，F2是椭圆 　　　＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝2.则下列说法中正确的是A.|PF1|＝5，|PF2|＝3B.△PF1F2为直角三角形C.△PF1F2的面积为6D. 　 ＝12
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由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，又|F1F2|＝2c＝4，∴|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，故△PF1F2为直角三角形，
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7.已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为____________.
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解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16.
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8.已知椭圆 　　 ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则实数a的值为____.
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在△F1PF2中，由余弦定理，
9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a＝4，c＝　　，焦点在y轴上；
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∵焦点在y轴上，
(2)a＝2　 ，经过点A(－3，－1)，焦点在x轴上.
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由A(－3，－1)在椭圆上，
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10.设点P(x，y)是椭圆　　　＝1上的点且点P的纵坐标y≠0，点A(－5,0)，B(5,0)，试判断kPA·kPB是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
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∵点P的纵坐标y≠0，∴x≠±5.
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P是C上一点，由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，又|PF1|－|PF2|＝a，
所以在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos∠PF1F2，
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整理得a2－4a＋4＝0，解得a＝2，则b2＝a2－c2＝2，
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∴|PF1|·|PF2|≤9，
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当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时等号成立，
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14.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________.
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，
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根据题意，设点A的坐标为(m，n)，点B的坐标为(u，v).
∵点A，B都在椭圆上，
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故点A的坐标为(0,1)或(0，－1).
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16.设F1，F2分别为椭圆 ＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1).(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值；
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当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.
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化简得λ2＋6λ－7＝0，解得λ＝－7或λ＝1，因为点C异于点B，所以λ＝－7.
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(3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值.
因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8.