高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换同步训练题，共5页。试卷主要包含了sin 105°的值为， eq \f 的值为等内容，欢迎下载使用。

A． eq \f(\r(3)＋\r(2),2) B． eq \f(\r(2)＋1,2)
C． eq \f(\r(6)－\r(2),4) D． eq \f(\r(2)＋\r(6),4)
2. eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°) 的值为( )
A．1 B． eq \r(3)
C． eq \f(\r(3),3) D． eq \f(\r(2),2)
3．已知α∈(0， eq \f(π,2) )，若cs α＝ eq \f(3,5) ，则cs (α＋ eq \f(π,6) )等于( )
A． eq \f(4－3\r(3),10) B． eq \f(3\r(3)－4,10)
C． eq \f(4\r(3)－3,10) D． eq \f(4＋3\r(3),10)
4．[2022·山西太原高一期中]已知θ为锐角，且sin θ＝ eq \f(3,5) ，则sin (θ＋45°)＝( )
A． eq \f(7\r(2),10) B．－ eq \f(7\r(2),10)
C． eq \f(\r(2),10) D．－ eq \f(\r(2),10)
5．(多选)下列选项中，值为 eq \f(1,2) 的是( )
A．cs eq \f(7π,6)
B．cs 18°cs 42°－sin 18°sin 42°
C．cs 22°sin 52°－sin 158°cs 52°
D． eq \f(tan 30°＋tan 15°,1－tan 30°tan 15°)
6．已知角α的终边经过点(－2， eq \r(3) )，则tan (α＋ eq \f(π,3) )＝________．
7. eq \r(3) sin eq \f(π,12) ＋cs eq \f(π,12) ＝________．
8．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P( eq \f(3,5) ， eq \f(4,5) ).
(1)求cs (α＋π)的值；
(2)若tan β＝－2，求tan (α－β)的值．
9.若α，β均为锐角，sin α＝ eq \f(2\r(5),5) ，cs (α＋β)＝－ eq \f(4,5) ，则cs β＝( )
A．－ eq \f(2\r(5),25) B． eq \f(2\r(5),25)
C．－ eq \f(\r(5),5) D．－ eq \f(2\r(5),5)
10．(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，则以下结论一定正确的是( )
A．sin α＝－cs β B．cs α＝sin β
C．cs (α－β)＝0 D．sin (α＋β)＝1
11．已知cs (α＋β)＝ eq \f(1,5) ，cs (α－β)＝ eq \f(3,5) ，则tan αtan β＝________．
12．已知α，β都为锐角，sin α＝ eq \f(1,7) ，cs (α＋β)＝ eq \f(5\r(3),14) .
(1)求sin β的值； (2)求cs β的值．
[培优生]
13.
如图，单位圆上两点A，B与圆心O组成正三角形，其中点A的坐标为( eq \f(4,5) ， eq \f(3,5) )，点B在第二象限，则点B的坐标为________．
课时作业(四十三) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．解析：sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cs 60°＋cs 45°sin 60°＝ eq \f(\r(2),2) × eq \f(1,2) ＋ eq \f(\r(2),2) × eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(\r(2)＋\r(6),4) .
答案：D
2．解析： eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°) ＝ eq \f(tan 45°－tan 15°,1＋tan 45°tan 15°) ＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝ eq \f(\r(3),3) .
答案：C
3．解析：∵α∈(0， eq \f(π,2) )，cs α＝ eq \f(3,5) ，
∴sin α＝ eq \r(1－cs2α) ＝ eq \r(1－（\f(3,5)）2) ＝ eq \f(4,5) ，
∴cs (α＋ eq \f(π,6) )＝cs αcs eq \f(π,6) －sin αsin eq \f(π,6) ＝ eq \f(3,5) × eq \f(\r(3),2) － eq \f(4,5) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(3\r(3)－4,10) .
答案：B
4．解析：因为θ为锐角，且sin θ＝ eq \f(3,5) ，所以cs θ＝ eq \r(1－sin2θ) ＝ eq \f(4,5) .
又sin(θ＋45°)＝sin θcs 45°＋cs θsin 45°
＝ eq \f(\r(2),2) (sin θ＋cs θ)＝ eq \f(\r(2),2) × eq \f(7,5) ＝ eq \f(7\r(2),10) .
答案：A
5．解析：对于A选项，cs eq \f(7π,6) ＝cs (π＋ eq \f(π,6) )＝－cs eq \f(π,6) ＝－ eq \f(\r(3),2) ，故错误；
对于B选项，cs 18°cs 42°－sin 18°sin 42°＝cs (42°＋18°)＝cs 60°＝ eq \f(1,2) ，故正确；
对于C选项，cs 22°sin 52°－sin 158°cs 52°＝cs 22°sin 52°－sin 22°cs 52°＝sin (52°－22°)＝sin 30°＝ eq \f(1,2) ，故正确；
对于D选项， eq \f(tan 30°＋tan 15°,1－tan 30°tan 15°) ＝tan (30°＋15°)＝tan 45°＝1，故错误．
答案：BC
6．解析：由题意得tan α＝－ eq \f(\r(3),2) ，
tan (α＋ eq \f(π,3) )＝ eq \f(－\f(\r(3),2)＋\r(3),1＋\f(\r(3),2)×\r(3)) ＝ eq \f(\r(3),5) .
答案： eq \f(\r(3),5)
7．解析：原式＝2( eq \f(\r(3),2) sin eq \f(π,12) ＋ eq \f(1,2) cs eq \f(π,12) )
＝2(sin eq \f(π,12) cs eq \f(π,6) ＋sin eq \f(π,6) cs eq \f(π,12) )
＝2sin ( eq \f(π,12) ＋ eq \f(π,6) )
＝2sin eq \f(π,4) ＝ eq \r(2) .
答案： eq \r(2)
8．解析：(1)由于角α的终边过点P( eq \f(3,5) ， eq \f(4,5) )，由三角函数的定义可得cs α＝ eq \f(3,5) ，
则cs (α＋π)＝－cs α＝－ eq \f(3,5) .
(2)由已知得tan α＝ eq \f(4,3) ，
则tan (α－β)＝ eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) ＝ eq \f(\f(4,3)－（－2）,1－\f(8,3)) ＝－2.
9．解析：因为α为锐角，sin α＝ eq \f(2\r(5),5) ，所以cs α＝ eq \r(1－sin2α) ＝ eq \r(1－（\f(2\r(5),5)）2) ＝ eq \f(\r(5),5) ，
又α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝ eq \f(3,5) ，
所以cs β＝cs [(α＋β)－α]＝cs (α＋β)cs α＋sin (α＋β)sin α＝－ eq \f(4,5) × eq \f(\r(5),5) ＋ eq \f(3,5) × eq \f(2\r(5),5) ＝ eq \f(2\r(5),25) .
答案：B
10．解析：设角α的终边与单位圆的交点为(a，b)，则角β的终边与单位圆的交点为(b，a)，
则cs α＝a＝sin β，sin α＝b＝cs β，A错B对；
取α＝ eq \f(π,6) ，β＝ eq \f(π,3) ，则角α与角β的终边关于直线y＝x对称，
此时cs (α－β)＝cs (－ eq \f(π,6) )≠0，C错；
sin (α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β＝sin2α＋cs2α＝1，D对．
答案：BD
11．解析：cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝ eq \f(1,5) ， ①
cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝ eq \f(3,5) ， ②
①＋②得：2cs αcs β＝ eq \f(4,5) ，解得：cs αcs β＝ eq \f(2,5) ；
①－②得：－2sin αsin β＝－ eq \f(2,5) ，解得：sin αsin β＝ eq \f(1,5) ，
∴tan αtan β＝ eq \f(sin αsin β,cs αcs β) ＝ eq \f(\f(1,5),\f(2,5)) ＝ eq \f(1,2) .
答案： eq \f(1,2)
12．解析：(1)因为α，β都为锐角，故0＜α，β＜ eq \f(π,2) ，0＜α＋β＜π，
故cs α＞0，sin (α＋β)＞0，
又sin α＝ eq \f(1,7) ，cs (α＋β)＝ eq \f(5\r(3),14) ，
故cs α＝ eq \r(1－sin2α) ＝ eq \f(4\r(3),7) ，sin(α＋β)＝ eq \r(1－cs2（α＋β）) ＝ eq \f(11,14) ，
∴sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cs α－cs (α＋β)sin α
＝ eq \f(11,14) × eq \f(4\r(3),7) － eq \f(5\r(3),14) × eq \f(1,7)
＝ eq \f(39\r(3),98) .
(2)由(1)知sin α＝ eq \f(1,7) ，cs (α＋β)＝ eq \f(5\r(3),14) ，cs α＝ eq \f(4\r(3),7) ，sin (α＋β)＝ eq \f(11,14) ，
∴cs β＝cs [(α＋β)－α]＝cs (α＋β)cs α＋sin (α＋β)sin α＝ eq \f(5\r(3),14) × eq \f(4\r(3),7) ＋ eq \f(11,14) × eq \f(1,7) ＝ eq \f(71,98) ，故cs β＝ eq \f(71,98) .
13．解析：设∠xOA＝θ，则sin θ＝ eq \f(3,5) ，cs θ＝ eq \f(4,5) ，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs （θ＋\f(π,3)），sin （θ＋\f(π,3)）)) ，
cs (θ＋ eq \f(π,3) )＝cs θcs eq \f(π,3) －sin θsin eq \f(π,3) ＝ eq \f(4,5) × eq \f(1,2) － eq \f(3,5) × eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(4－3\r(3),10) ，
sin (θ＋ eq \f(π,3) )＝sin θcs eq \f(π,3) ＋cs θsin eq \f(π,3) ＝ eq \f(3,5) × eq \f(1,2) ＋ eq \f(4,5) × eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(3＋4\r(3),10) ，
所以B( eq \f(4－3\r(3),10) ， eq \f(3＋4\r(3),10) ).
答案：( eq \f(4－3\r(3),10) ， eq \f(3＋4\r(3),10) )
练 基 础
提 能 力