高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换当堂达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换当堂达标检测题，共4页。

A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(1,2) C．－ eq \f(\r(3),2) D．－ eq \f(1,2)
2．sin 20°cs 10°＋sin 10°sin 70°的值是( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(\r(3),2) C． eq \f(1,2) D． eq \f(\r(3),4)
3．已知角α为第二象限角，sin α＝ eq \f(3,5) ，则cs (α－ eq \f(π,6) )的值为( )
A． eq \f(4＋3\r(3),10) B． eq \f(4－3\r(3),10)
C． eq \f(3－4\r(3),10) D． eq \f(－4－3\r(3),10)
4．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝ eq \f(1,3) ，则cs (α－β)＝( )
A． eq \f(2,9) B．－ eq \f(2,9) C． eq \f(7,9) D．－ eq \f(7,9)
5．(多选)下列各式化简正确的是( )
A．cs 80°cs 20°＋sin 80°sin 20°＝cs 60°
B．cs 15°＝cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°
C.sin (α＋45°)sin α＋cs (α＋45°)cs α＝cs 45°
D.cs (α－ eq \f(π,6) )＝ eq \f(1,2) cs α＋ eq \f(\r(3),2) sin α
6．cs 165°＝________．
7．已知cs (α－ eq \f(π,3) )＝cs α，则tan α＝________．
8．已知sin α＝－ eq \f(3,5) ，cs β＝ eq \f(5,13) ，且α，β均为第四象限角，求cs (α－β).
9.已知sin (α＋ eq \f(π,4) )＝ eq \f(4,5) ，α∈( eq \f(π,4) ， eq \f(π,2) )，则cs α＝( )
A． eq \f(\r(2),10) B． eq \f(3\r(2),10) C． eq \f(\r(2),2) D． eq \f(7\r(2),10)
10．(多选)已知cs α＝ eq \f(3,5) ，cs (α＋β)＝－ eq \f(12,13) ，则cs β的值可能为( )
A．－ eq \f(56,65) B．－ eq \f(20,65) C．－ eq \f(16,65) D． eq \f(15,65)
11．化简： eq \f(2cs 10°－sin 20°,cs 20°) ＝________．
12．已知α，β为锐角，cs α＝ eq \f(1,7) ，cs (α＋β)＝－ eq \f(11,14) .
(1)求 eq \f(cs （α＋\f(π,2)）cs （α－π）,sin （α－\f(3π,2)）) 的值；
(2)求cs β的值．
13.已知2sin α－sin β＝ eq \r(3) ，2cs α－cs β＝1，则cs (α－β)＝( )
A．－ eq \f(1,8) B．－ eq \f(7,8)
C． eq \f(1,4) D． eq \f(\r(15),4)
课时作业(四十二) 两角差的余弦公式
1．解析：sin eq \f(8π,9) sin eq \f(2π,9) ＋cs eq \f(8π,9) cs eq \f(2π,9) ＝cs ( eq \f(8π,9) － eq \f(2π,9) )＝cs eq \f(2π,3) ＝－ eq \f(1,2) .
答案：D
2．解析：sin 20°cs 10°＋sin 10°sin 70°＝cs 70°cs 10°＋sin 70°sin 10°＝cs (70°－10°)＝cs 60°＝ eq \f(1,2) .
答案：C
3．解析：∵sin α＝ eq \f(3,5) ，α是第二象限角，
∴cs α＝－ eq \f(4,5) ，
∴cs (α－ eq \f(π,6) )＝cs αcs eq \f(π,6) ＋sin αsin eq \f(π,6) ＝－ eq \f(4,5) × eq \f(\r(3),2) ＋ eq \f(3,5) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(3－4\r(3),10) .
答案：C
4．解析：∵角α与角β的终边关于y轴对称，
∴sin α＝sin β＝ eq \f(1,3) ，cs α＝－cs β，
∴cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝－cs2α＋sin2α＝2sin2α－1＝ eq \f(2,9) －1＝－ eq \f(7,9) .
答案：D
5．解析：cs80°cs 20°＋sin 80°sin 20°＝cs (80°－20°)＝cs 60°，A正确；cs 15°＝cs (45°－30°)＝cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°，B正确；sin (α＋45°)sin α＋cs (α＋45°)cs α＝cs (α＋45°－α)＝cs 45°，C正确；cs (α－ eq \f(π,6) )＝cs αcs eq \f(π,6) ＋sin αsin eq \f(π,6) ＝ eq \f(\r(3),2) cs α＋ eq \f(1,2) sin α，D错误．
答案：ABC
6．解析：cs 165°＝cs (180°－15°)＝－cs 15°＝－cs (45°－30°)
＝－(cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°)
＝－( eq \f(\r(2),2) × eq \f(\r(3),2) ＋ eq \f(\r(2),2) × eq \f(1,2) )
＝－ eq \f(\r(6)＋\r(2),4) .
答案：－ eq \f(\r(6)＋\r(2),4)
7．解析：cs (α－ eq \f(π,3) )＝cs αcs eq \f(π,3) ＋sin α·sin eq \f(π,3) ＝ eq \f(1,2) cs α＋ eq \f(\r(3),2) sin α＝cs α，所以 eq \f(\r(3),2) sin α＝ eq \f(1,2) cs α，所以 eq \f(sin α,cs α) ＝ eq \f(\r(3),3) ，即tan α＝ eq \f(\r(3),3) .
答案： eq \f(\r(3),3)
8．解析：由已知得：cs α＝ eq \f(4,5) ，sin β＝－ eq \f(12,13) ，所以cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝ eq \f(4,5) × eq \f(5,13) ＋(－ eq \f(3,5) )×(－ eq \f(12,13) )＝ eq \f(20,65) ＋ eq \f(36,65) ＝ eq \f(56,65) .
9．解析：由α∈( eq \f(π,4) ， eq \f(π,2) )，得α＋ eq \f(π,4) ∈( eq \f(π,2) ， eq \f(3π,4) )则cs (α＋ eq \f(π,4) )＝－ eq \r(1－sin2（α＋\f(π,4)）) ＝－ eq \f(3,5) ，
csα＝cs [(α＋ eq \f(π,4) )－ eq \f(π,4) ]＝cs (α＋ eq \f(π,4) )cs eq \f(π,4) ＋sin (α＋ eq \f(π,4) )sin eq \f(π,4) ＝－ eq \f(3,5) × eq \f(\r(2),2) ＋ eq \f(4,5) × eq \f(\r(2),2) ＝ eq \f(\r(2),10) .
答案：A
10．解析：因cs α＝ eq \f(3,5) ，则sin α＝± eq \r(1－cs2α) ＝± eq \f(4,5) ，又cs(α＋β)＝－ eq \f(12,13) ，则sin (α＋β)＝± eq \r(1－cs2（α＋β）) ＝± eq \f(5,13) ，cs(α＋β)cs α＝－ eq \f(12,13) × eq \f(3,5) ＝－ eq \f(36,65) ，而cs β＝cs [(α＋β)－α]＝cs (α＋β)cs α＋sin (α＋β)sin α，
sin α与sin (α＋β)同号，即sin (α＋β)sin α＝ eq \f(20,65) ，则cs β＝－ eq \f(16,65) ，
sin α 与sin (α＋β)异号，即sin (α＋β)sin α＝－ eq \f(20,65) ，则cs β＝－ eq \f(56,65) ，
所以cs β的值可能为－ eq \f(56,65) 或－ eq \f(16,65) .
答案：AC
11．解析：原式＝ eq \f(2cs （30°－20°）－sin 20°,cs 20°)
＝ eq \f(2cs 30°cs 20°＋2sin 30°sin 20°－sin 20°,cs 20°)
＝ eq \f(\r(3)cs 20°＋sin 20°－sin 20°,cs 20°)
＝ eq \f(\r(3)cs 20°,cs 20°) ＝ eq \r(3) .
答案： eq \r(3)
12．解析：(1)因为α为锐角，
所以sin α＞0，sin α＝ eq \r(1－cs2α) ＝ eq \r(1－（\f(1,7)）2) ＝ eq \f(4\r(3),7) ，
eq \f(cs（α＋\f(π,2)）cs （α－π）,sin （α－\f(3π,2)）) ＝ eq \f(－sin α·（－cs α）,cs α) ＝sin α
＝ eq \f(4\r(3),7) .
(2)因为α，β为锐角，所以0＜α＋β＜π，sin (α＋β)＞0，
所以sin (α＋β)＝ eq \r(1－cs2（α＋β）) ＝ eq \r(1－（－\f(11,14)）2) ＝ eq \f(5\r(3),14) ，
所以csβ＝cs [(α＋β)－α]＝cs (α＋β)cs α＋sin (α＋β)sin α，
＝－ eq \f(11,14) × eq \f(1,7) ＋ eq \f(5\r(3),14) × eq \f(4\r(3),7) ＝ eq \f(1,2) .
13．解析：由2sin α－sin β＝ eq \r(3) ，2cs α－cs β＝1，
两边平方后相加得4sin2α＋4cs2α＋cs2β＋sin2β－4sinαsin β－4cs αcs β＝4，
即5－4sin αsin β－4cs αcs β＝4得sin αsin β＋cs αcs β＝ eq \f(1,4) ，
所以cs (α－β)＝ eq \f(1,4) .
答案：C
练 基 础
提 能 力
培 优 生