2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点26 圆的基本性质

考点26 圆的基本性质

考点总结

知识点一 圆的基础概念

圆的概念：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．

特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．

确定圆的条件：

1         圆心；

2         半径，

3         其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．

补充知识：

1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；

2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；

3）半径相等的圆叫做等圆．

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．

弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，

小于半圆的弧叫做劣弧．

弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．

弦心距、半径、弦长的关系：（考点）

知识点二 垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

常见辅助线做法（考点）：

1）  过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；

2）  有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．

知识点一 圆的基础概念

圆的概念：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．

特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．

确定圆的条件：

4         圆心；

5         半径，

6         其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．

补充知识：

1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；

2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；

3）半径相等的圆叫做等圆．

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．

弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，

小于半圆的弧叫做劣弧．

弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．

弦心距、半径、弦长的关系：（考点）

知识点二 垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

常见辅助线做法（考点）：

3）  过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；

4）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．

知识点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等

知识点二 圆周角定理（考点）

圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．

   （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）

知识点三 圆内接四边形

圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。

性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•河北模拟）已知：直线AB及AB外一点P．如图求作：经过点P，且垂直AB的直线，作法：①以点P为圆心，适当的长为半径画弧，交直线AB于点C，D．②分别以点C、D为圆心，适当的长为半径，在直线AB的另一侧画弧，两弧交于点Q．③过点P、Q作直线．直线PQ即为所求．在作法过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（　　）

A．这两个适当的长相等 

B．①中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离 

C．②中“适当的长”指大于线段CD的长 

D．②中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离

【分析】利用基本作图进行判断．

【解答】解：①中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离；②中“适当的长”指大于线段CD的长的一半．

故选：B．

2．（2021•桥东区二模）下列由实线组成的图形中，为半圆的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据圆的有关定义进行解答．

【解答】解：根据半圆的定义可知，选项B的图形是半圆．

故选：B．

3．（2021•衡水模拟）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：

若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（　　）

A．d（25%）＝1 

B．当x＞50%时，d（x）＞1 

C．当x1＞x2时，d（x1）＞d（x2） 

D．当x1+x2＝100%时，d（x1）＝d（x2）

【分析】利用图象判断即可．

【解答】解：A、d（25%）1，本选项不符合题意．

B、当x＞50%时，0≤d（x）＜2，本选项不符合题意．

C、当x1＞x2时，d（x1）与d（x2）可能相等，可能不等，本选项不符合题意．

D、当x1+x2＝100%时，d（x1）＝d（x2），本选项符合题意．

故选：D．

4．（2021•永德县模拟）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，P为弦AB上的动点，则线段OP长的取值范围是（　　）

A．3≤OP≤5 B．4＜OP＜5 C．4≤OP≤5 D．3＜OP＜5

【分析】连接OA，过点O作OH⊥AB于H，根据垂径定理求出AH，根据勾股定理求出OH，根据垂线段最短解答即可．

【解答】解：连接OA，过点O作OH⊥AB于H，

则AH＝HBAB＝3，

由勾股定理得，OH4，

当点P与点A（或点B）重合时，OP最大，当点P与点H重合时，OP最小，

∴线段OP长的取值范围是4≤OP≤5，

故选：C．

5．（2021•衡水模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若CD＝BP＝8，则⊙O的直径为（　　）

A．10 B．8 C．5 D．3

【分析】连接OD，先根据垂径定理求出PD的长，再根据勾股定理即可得出OD的长．

【解答】解：连接OD，

∵CD⊥AB，CD＝8，

∴PDCD8＝4，

在Rt△ODP中，设OD＝x，则OB＝x，

∵PD＝4，OP＝BP﹣OB＝8﹣x，

∴OD2＝PD2+OP2，

即x2＝42+（8﹣x）2，

解得x＝5，

∴⊙O的直径为10．

故选：A．

6．（2021•迁西县模拟）如图是某个球放进盒子内的截面图，球的一部分露出盒子外，已知⊙O交矩形ABCD的边AD于点E，F，已知AB＝EF＝2，则球的半径长为（　　）

A． B． C． D．

【分析】由题意得⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，连接OF，易求得FH的长，设⊙O的半径为r，则OH＝2﹣r，然后在Rt△OFH中，由勾股定理得r2﹣（2﹣r）2＝12，解此方程即可求得答案．

【解答】解：由题意得：⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，连接OF，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∵IG⊥BC，

∴IG⊥AD，

∴FHEF＝1，

设⊙O的半径为r，则OH＝2﹣r，

在Rt△OFH中，由勾股定理得：r2﹣（2﹣r）2＝12，

解得：r，

即球的半径长为，

故选：C．

7．（2020•广州）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（　　）

A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm

【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．

【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：

∵AB＝48cm，

∴BDAB48＝24（cm），

∵⊙O的直径为52cm，

∴OB＝OC＝26cm，

在Rt△OBD中，OD10（cm），

∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），

故选：C．

8．（2021•新华区模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，D为⊙O上的一点，且C、D两点分别在AB的异侧，则∠D的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

【分析】连接BD，由圆周角定理得∠ADB＝90°，再证，然后由圆周角定理求解即可．

【解答】解：连接BD，如图所示：

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵C为半圆的中点，

∴，

∴∠ADC＝∠BDC∠ADB＝45°，

故选：B．

9．（2021•高阳县模拟）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，D是优弧AB上一点，则sinD＝（　　）

A． B． C． D．

【分析】作直径BC，连接AC，根据圆周角定理求出∠C＝∠D，再解直角三角形求出sinC即可．

【解答】解：作直径BC，连接AC，

∵∠C和∠D都是对的圆周角，

∴∠D＝∠C，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°，

∵⊙O的半径为5，

∴BC＝10，

∵弦AB＝8，

∴sinD＝sinC，

故选：A．

10．（2021秋•临河区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为（　　）

A．70° B．120° C．140° D．110°

【分析】根据圆周角定理求出∠BAC，根据圆内接四边形的性质计算即可．

【解答】解：∵BC＝CD，

∴，

∵∠DAB＝40°，

∴∠BAC∠DAB＝20°，

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠BAC＝70°，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠D＝180°﹣∠B＝110°，

故选：D．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•石家庄模拟）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是　　，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是　　，最大值是　　．

【分析】连接OB，根据垂径定理求出BC，根据勾股定理计算求出OC，根据勾股定理求出OD，求出点D到AB的距离的最值．

【解答】解：连接OB，

∵OC⊥AB，

∴BCAB，

由勾股定理得，OC，

由勾股定理得，OD，

当点D在直线OC上时，点D到AB的距离的最小或最大，

∴点D到AB的距离的最小值为，点D到AB的距离的最大值为，

故答案为：；；．

12．（2021•石家庄模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为　2　；△CDE面积的最大值为　7　．

【分析】连接OC，由垂径定理得OC⊥AB，再由圆周角定理得点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直角作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，利用一次函数解析式确定E（0，﹣3），D（4，0），则DE＝5，然后证△DPH∽△DEO，利用相似比求出PH的长，得MP、NH的长，当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，然后计算出S△NED和S△MED得到S的范围，即可求解．

【解答】解：连接OC，如图，

∵点C为弦AB的中点，

∴OC⊥AB，

∴∠ACO＝90°，

∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），

以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，

当x＝0时，yx﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），

当y＝0时，x﹣3＝0，

解得x＝4，则D（4，0），

∴OD＝4，

∴DE5，

∵A（2，0），

∴P（1，0），

∴OP＝1，

∴PD＝OD﹣OP＝3，

∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，

∴△DPH∽△DEO，

∴PH：OE＝DP：DE，

即PH：3＝3：5，

解得PH，

∴MP＝PH+1，NH＝PH﹣1，

∴S△NED52，S△MED57，

设△CDE面积为S，

当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，

∴S的范围为2≤S≤7，

∴△CDE面积的最小值为2，△CDE面积的最大值为7，

故答案为：2；7．

13．（2021•路南区二模）如图所示，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，连结GF、FE，当∠D＝60°时，∠GFE＝　30　°．

【分析】先根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠GAD＝∠D＝60°，然后根据圆周角定理求解．

【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠GAD＝∠D＝60°，

∴∠GFE∠GAE60°＝30°．

故答案为30．

14．（2020•秦皇岛一模）如图，已知⊙O的半径为4，OA⊥BC，∠CDA＝22.5°．

（1）∠AOB的度数为　45　度；

（2）弦BC的长为　4　．

【分析】（1）利用垂径定理，圆周角定理解决问题即可．

（2）求出BT，根据垂径定理即可解决问题．

【解答】解：（1）∵OA⊥CB，

∴，

∴∠AOB＝2∠ADC＝2×22.5°＝45°，

故答案为45．

（2）设OA交BC于T．

∵OA⊥BC，

∴CT＝TB，

∵∠OTB＝90°，∠O＝45°，OB＝4，

∴TB＝OT＝2，

∴BC＝2BT．

15．（2020•遵化市模拟）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长　　．

【分析】OA交BC于E，如图，先根据垂径定理得到，CE＝BE，再根据圆周角定理得到∠AOB＝60°，然后在Rt△OBE中利用含30度的直角三角形三边的关系求出BE，从而得到BC的长．

【解答】解：OA交BC于E，如图，

∵OA⊥BC，

∴，CE＝BE，

∴∠AOB＝2∠CDA＝2×30°＝60°，

在Rt△OBE中，OEOB＝1，

∴BEOE，

∴BC＝2BE＝2，

故答案为：2．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•裕华区校级模拟）如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．

（1）求该圆弧所在圆的半径；

（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．

【分析】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；

（2）利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．

【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，

在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，

∴R2＝（R﹣8）2+162，

解得R＝20；

（2）OH⊥FE于H，则OH＝CE＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，

在Rt△OHF中，HF16，

∵HE＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，EF＝HF﹣HE＝16﹣12＝4（米），

∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米．

17．（2020•南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．

求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；

（2）AF＝EF．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠B，根据平行线的性质得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根据平行线的判定得出BD∥CF，根据平行四边形的判定得出即可；

（2）求出∠AEF＝∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF＝180°，根据平行线的性质得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可．

【解答】证明：（1）∵AC＝BC，

∴∠BAC＝∠B，

∵DF∥BC，

∴∠ADF＝∠B，

∵∠BAC＝∠CFD，

∴∠ADF＝∠CFD，

∴BD∥CF，

∵DF∥BC，

∴四边形DBCF是平行四边形；

（2）连接AE，

∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，

∴∠AEF＝∠B，

∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，

∴∠ECF+∠EAF＝180°，

∵BD∥CF，

∴∠ECF+∠B＝180°，

∴∠EAF＝∠B，

∴∠AEF＝∠EAF，

∴AF＝EF．

18．（2020•曲靖模拟）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC＝30°．

（1）求∠BOC的度数；

（2）求证：四边形AOBC是菱形．

【分析】（1）根据垂径定理得出，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数；

（2）根据等边三角形的判定得出BC＝BO＝CO，进而利用（1）中结论得出AO＝BO＝AC＝BC，即可证明结论．

【解答】（1）解：∵点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，

∴，

∵∠ADC＝30°，

∴∠AOC＝∠BOC＝2∠ADC＝60°，

∴∠BOC的度数为60°；

（2）证明：∵，

∴AC＝BC，

AO＝BO，

∵∠BOC的度数为60°，BO＝CO

∴△BOC为等边三角形，

∴BC＝BO＝CO，

∴AO＝BO＝AC＝BC，

∴四边形AOBC是菱形．