2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点01 有理数

考点01有理数

考点总结

知识点一 有理数基础概念

    有理数（概念理解）

正数：大于0的数叫做正数。

负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。

有理数的分类（两种）（见思维导图）

    数轴  

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

    数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）

任何有理数都可以用数轴上的点表示。

    数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.

【注意】

1. 数轴是一条直线，可向两段无限延伸。
2. 在数轴上原点，正方向，单位长度的选取需根据实际情况而定。

    相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）

    绝对值

绝对值的概念：一班数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值。

绝对值的意义：

正数的绝对值是它本身；

负数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值是0。

（互为相反数的两个数的绝对值相等。）

    比较大小

1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。

2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

3）两个负数比较，绝对值大的反而小。

4）两个正数比较，绝对值大的反而大。

常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。

知识点二 有理数四则运算

    有理数的加法（重点）

有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值）

1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

2.异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

3.互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）

4.一个数同0相加，仍得这个数。

有理数的加法运算律：

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

即；

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

即。

    有理数的减法

有理数的减法法则：

减去一个数等于加上这个数的相反数。即。

注：两个变化：减号变成加号；减数变成它的相反数。

    有理数的加减混合运算

规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算

步骤：（1）减法化加法；

     （2）省略括号和加号；

     （3）运用加法运算律使计算简便；

     （4）运用有理数加法法则进行计算。

 注：运用加法运算律时，可按如下几点进行：

（1）同号的先结合；

（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；

（3）互为相反数的两数相结合；

（4）能凑成整数的两数相结合；

（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。

    有理数的乘法（重点）

有理数的乘法法则：

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

（2）任何数同0相乘，都得0.

倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。（数的倒数是）

多个有理数相乘的法则及规律：

（1）       几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；

负因数的个数是偶数时，积是正数。

确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。

（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0.

注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。

    有理数的乘法运算律

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

即。

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

即。

乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

即。

    有理数的除法

有理数除法法则：

（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。

（2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何不为0的数，都得0。

步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。

    有理数的乘除混合运算

运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行约分计算。

（注：带分数应首先化为假分数进行运算）

    有理数的四则混合运算

运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。

注：除法一般先化为乘法，带分数化为假分数，合理使用运算律

知识点三 有理数的乘方

    乘方（重点）

一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方。求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在中，叫做底数，叫做指数。读作的次方，也可以读作的次幂。

当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。

乘方的规律：

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.

有理数乘方的运算方法：

1. 根据乘方的符号规律确定结果的符号。
2. 计算结果的绝对值。

    有理数的混合运算

运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；

（2）同级运算,从左到右进行；

（3）如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序。

    科学记数法

把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数（即），是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。（用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1.）

把还原成原数时，只需把的小数点往前移动位。

    近似数和有效数字

在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.）

一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。

精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•路南区二模）对于n16叙述正确的是（　　）

A．n个n15相加 B．16个n相加 C．n个16相乘 D．n个16相加

2．（2021•河北模拟）计算0.03×10﹣10﹣0.01×10﹣10，结果用科学记数法表示为（　　）

A．0.02×10﹣10 B．0.2×10﹣11 C．2×10﹣12 D．2×10﹣8

3．（2021•开平区一模）用科学记数法表示为a×10n的形式，则下列说法正确的是（　　）

A．a，n都是负数 B．a是正数，n是负数 

C．a，n都是正数 D．a是负数，n是正数

4．（2021•路南区一模）﹣3的相反数可以表示为（　　）

A．±3 B．﹣（﹣3） C．﹣3 D．﹣|﹣3|

5．（2021•河北模拟）若﹣a＞|﹣3|，则a的值可以是（　　）

A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4

6．（2021•滦南县二模）如图是我市二月份某一天的天气预报，该天的温差是（　　）

A．3℃ B．5℃ C．8℃ D．13℃

7．（2021•滦南县二模）截至2月6日，唐山市红十字会接收了中溶科技、卓锐安全防护、三友集团等20多家企业捐赠的医用物资和生活物资共21批，价值356万元，将数据“356万”用科学记数法表示应为（　　）

A．3.56×102 B．3.56×102 C．3.56×106 D．0.356×107

8．（2021•河北模拟）近似数3.20精确的数位是（　　）

A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．十位

9．（2021•河北模拟）若一个整数8360…0用科学记数法表示为8.36×1010，则原数中“0”的个数为（　　）

A．5 B．8 C．9 D．10

10．（2021•河北模拟）比1小3的数是（　　）

A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．|﹣2|

二．填空题（共5小题）

11．（2021•滦州市一模）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．则前4个台阶上数的和是 　   　；第5个台阶上的数x＝　   　；从下到上前35个台阶上数的和＝　   　．

12．（2021•河北模拟）比较大小：|﹣|　   　．（填“＞”“＜”或“＝”）

13．（2021•河北模拟）发现：任意正整数的平方均可以写成若干个从1开始的连续正奇数的和．

验证：42＝1+3+5+　   　；

应用：若把20212写成若干个从1开始的连续正奇数的和，则处于最中间的奇数是 　   　．

14．（2021•路北区三模）已知2m＝8，3n＝1，则n﹣m＝　   　．

15．（2021•衡水模拟）已知m、n互为相反数，p、q互为倒数，x的绝对值为2，则代数式+2020pq+x2的值是 　   　．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•高阳县模拟）如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示一个有理数．

（1）已知●表示3，

①若输入数﹣5，求计算结果；

②若计算结果为8，求输入的数是几？

（2）若输入数为a，●表示数b，当计算结果为0时，请你写出一组a、b的值．

17．（2021•桥东区二模）对有序数对（m，n）规定运算：f（m，n）＝m2﹣n+2．例如，f（3，2）＝32﹣2+2＝9．

（1）求f（﹣2，5）的结果；

（2）若f（m，1）＝﹣2m，求m的值．

18．（2021•河北模拟）嘉淇准备完成题目：计算：27×（﹣）﹣□÷3+（﹣3）2.发现有一个数“□”印刷不清楚．

（1）他把“□”猜成18，请你计算：27×（﹣）﹣18÷3+（﹣3）2；

（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是﹣32．”通过计算说明原题中“□”是几？