2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点29 相似形

考点29 相似形

考点总结

知识点一 相似图形及比例线段

相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.

相似多边形：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。

特征：对应角相等，对应边成比例。

比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。

知识点二 相似三角形

相似图形的概念：形状相同的图形叫做相似图形。

相似图形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”，读作“相似于”。

相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比

相似三角形的判定:

判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.

判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　

判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

判定方法（五）：斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。

相似三角形的性质：

1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；

2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比；

相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

3.相似三角形的面积比等于相似比的平方．

相似三角形与实际应用：

关键：巧妙利用相似三角形性质，构建相似三角形求解。

知识点三 位似

位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

注意：

1.位似图形是相似图形的一种特殊形式。

2.位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点，位似图形的对应边互相平行或者共线。

位似中心的位置：形内、形外、形上。

画位似图形的步骤：

1.确定位似中心.

2.确定原图形的关键点.

3.确定位似比.

4.根据对应点所在直线经过位似中心且到位似中心的距离之比等于位似比，作出关键点的对应点，再按照原图的顺序连接各点 ( 对应点都在位似中心同侧，或两侧 ) .

在直角坐标系中的位似图形坐标关系：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形的位似图形，使它与原图形的相似比为k，若原图形上点的坐标为(x，y)，则位似图形上与它对应的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).

平移、轴对称、旋转、位似的区别：

1.平移：和原图形一模一样 （和原图形全等且能与原图形重合）
2.轴对称：面积和原图形一样 也是全等，和平移的不同点就是轴对称之后的图形不能与原图形重合，虽然它们全等）
3.旋转：面积和原图形一样，也是全等，和轴对称的不同点是轴对称只有一个和原图形轴对称的图形，而旋转可以旋转出无数个。
4.位似：位似出的图形只和原图形的角相等 边就不一定相等了。

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•河北模拟）如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】利用相似多边形的性质，构建方程求解即可．

【解答】解：由题意，两个矩形相似，

∴或，

解得x＝3或0（0不符合题意舍弃），

故选：A．

2．（2020•秦皇岛一模）在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（　　）

A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．12倍

【分析】复印前后的多边形按照比例放大与缩小，因此它们是相似多边形，本题按照相似多边形的性质求解．

【解答】解：由题意可知，相似多边形的边长之比＝相似比＝2：6＝1：3，

所以面积之比＝（1：3）2＝1：9．

所以复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的9倍．

故选：C．

3．（2021•河北模拟）已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（　　）

A．只有（1）相似 B．只有（2）相似 

C．都相似 D．都不相似

【分析】对于图（1），先利用三角形内角和计算出第三个角，然后根据两个三角形中有两组角对应相等的三角形相似；对于（2）图，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行判断．

【解答】解：对于图（1）：180°﹣75°﹣35°＝70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以（1）图中的两个三角形相似；

对于（2）图：由于，∠AOC＝∠DOB，所以△AOC∽△DOB．

故选：C．

4．（2009•新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．

【解答】解：根据题意得：AB，AC，BC＝2，

∴AC：BC：AB：2：1：：，

A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；

B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；

C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；

D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．

故选：C．

5．（2021•迁西县模拟）如图，BE与CD交于点A，∠C＝∠E，AC＝2，BC＝4，AE＝1.5，则DE＝（　　）

A．2 B．3 C．3.5 D．4

【分析】证明△CAB∽△EAD，利用对应边成比例，即可解决问题．

【解答】解：∵∠C＝∠E，∠CAB＝∠DAE，

∴△CAB∽△EAD，

∴，

∴，

∴DE＝3，

故选：B．

6．（2021•竞秀区一模）如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N．设△BPQ，△DKM，△CNH的面积依次为S1，S2，S3．若S1+S3＝20，则S2的值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

【分析】由条件可证明△BPQ∽△DKM∽△CNH，且能求得其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合条件可求得S2．

【解答】解：∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，

∴AB＝BD＝CD，AE∥BF∥DG∥CH，

∴四边形BEFD，四边形DFGC是平行四边形，∠BQP＝∠DMK＝∠CHN，

∴BE∥DF∥CG

∴∠BPQ＝∠DKM＝∠CNH，

∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，

∴，，

∴△BPQ∽△DKM∽△CNH，

∴，

∴，，

∴S2＝4S1，S3＝9S1，

∵S1+S3＝20，

∴S1＝2，

∴S2＝8．

故选：B．

7．（2020•潍坊）如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（　　）

A．21 B．28 C．34 D．42

【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB，AE，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CF，AB＝CD，

∴△ABE∽△DFE，

∴，

∵DE＝3，DF＝4，

∴AE＝6，AB＝8，

∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，

∴平行四边形ABCD的周长为：（8+9）×2＝34．

故选：C．

8．（2021•滦南县二模）如图，某数学活动小组为测量校园内移动信号转播塔AB的高度，他们先在水平地面上一点E放置了一个平面镜，镜子与铁塔底端B的距离BE＝16m，当镜子与观测者小芳的距离ED＝2m时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A，已知小芳的眼睛距地面的高度CD＝1.5m，铁塔AB的高度为（　　）（根据光的反射原理，∠1＝∠2）

A．9m B．12m C．15m D．18m

【分析】利用镜面对称，注意寻找相似三角形，根据比例求出AB．

【解答】解：由镜面对称可知：△CDE∽△ABE，

∴，

∴，

∴AB＝12（米）．

故选：B．

9．（2021•开平区一模）如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点，以O为位似中心，在网格图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC位似，且位似比为1：2；连接A，A′，C，C′则四边形AA'C'C的周长（　　）

A．8 B． C． D．

【分析】根据位似图形的概念、勾股定理计算，得到答案．

【解答】解：由题意得：AA′＝2，CC′＝2，A′C′2，AC4，

则四边形AA'C'C的周长＝2+2+2464，

故选：D．

10．（2021•路南区三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（　　）

A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（1，1），

【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比．

【解答】解：如图所示：位似中心F的坐标为：（2，2），

k的值为：．

故选：B．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•河北模拟）如图，在Rt△ABC的直角边AC上有一任意点P（不与点A、C重合），过点P作一条直线，将△ABC分成一个三角形和一个四边形，则所得到的三角形与原三角形相似的直线最多有　4　条．

【分析】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可．

【解答】解：如图所示，

①过点P作AB的垂线段PD，则△ADP∽△ACB；

②过点P作BC的平行线PE，交AB于E，则△APE∽△ACB；

③过点P作AB的平行线PF，交BC于F，则△PCF∽△ACB；

④作∠PGC＝∠A，则△GCP∽△ACB．

故答案为：4．

12．（2021•河北模拟）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABDE的方法证明了勾股定理（如图），连接DM并延长交AB于点N，已知AB＝10，BC＝6，

（1）CM＝　2　；

（2）BN＝　　．

【分析】（1）根据勾股定理得出AC，进而解答即可；

（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．

【解答】解：（1）由题意可知，四个全等的直角三角形，

∴AM＝BC，

∵AB＝10，BC＝6，∠ACB＝90°，

∴AC，

∴CM＝AC﹣AM＝AC﹣BC＝8﹣6＝2；

故答案为：2；

（2）过M作MF⊥AB于F，

在△AMF与△ABC中，∠ACB＝∠AFM＝90°，∠MAF＝∠BAC，

∴△AMF∽△ABC，

∴，

∴，

∴，，

设BN为x，则AN为10﹣x，

∴，

在△NMF和△NDB中，∠NMF＝∠NDB，∠MFN＝∠DBN＝90°，

∴△NMF∽△NDB，

∴，

即，

∴x，

∴BN．

故答案为：．

13．（2021•唐山一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC边的中点，DE、AC相交于点F，若△CEF的面积为6，则△ADF的面积为 　24　．

【分析】根据E为BC边的中点可得出CE和AD的比，进而根据面积比等于相似比的平方可得出△ADF的面积．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为BC边的中点，

∴，

∴S△CFE：S△ADF＝1：4，

又∵△CEF的面积为6，

∴△ADF的面积为24．

故答案为：24．

14．（2020•东营）如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝　18　．

【分析】利用相似三角形的性质求出△PAD的面积即可解决问题．

【解答】解：∵PA＝3PE，PD＝3PF，

∴，

∴EF∥AD，

∴△PEF∽△PAD，

∴（）2，

∵S△PEF＝2，

∴S△PAD＝18，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴S△PADS平行四边形ABCD，

∴S1+S2＝S△PAD＝18，

故答案为18．

15．（2020•路北区一模）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AC上．

（1）作∠ADE，使∠ADE＝∠ACB，DE交AB于点E；（尺规作图，保留作图痕迹）

（2）若BC＝5，点D是AC的中点，则DE的长为　　．

【分析】（1）利用基本作图，作∠ADE＝∠ACB即可；

（2）先利用平行线的判定得到DE∥BC，则判断DE为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．

【解答】解：（1）如图：

∠ADE为所作；

（2）∵∠ADE＝∠ACB，

∴DE∥BC，

∵点D是AC的中点，

∴DE为△ABC的中位线，

∴DEBC．

故答案为：．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•安次区一模）如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．

（1）求证：△BDP∽△CPE．

（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值．

（3）当DE∥BC时请用BP表示BD，并求出BD的最大值．

【分析】（1）由∠DPE＝60°知道∠DPB+∠EPC＝120°，然后利用等边三角形的内角为60°知∠BDP+∠DPB＝120°，从而得到∠BDP＝∠EPC，再结合∠B＝∠C＝60°，得证三角形相似；

（2）由△PDE为正三角形知DP＝EP，结合（1）所得的三角形相似，得到三角形全等，从而得到BD+CE的值；

（3）利用平行线的性质得到BD＝CE，再利用相似三角形的性质列出关于BD和BP的比例关系，再化简得到结果，最后利用二次函数的性质求最大值．

【解答】（1）证明：∵∠DPE＝60°，

∴∠DPB+∠EPC＝120°，

∵等边三角形ABC的内角为60°，

∴∠BDP+∠DPB＝120°，

∴∠BDP＝∠EPC，

∵∠B＝∠C＝60°，

∴△BDP∽△CPE．

（2）解：∵△PDE为正三角形，

∴DP＝EP，

∵△BDP∽△CPE，

∴△BDP≌△CPE，

∴BD＝CP，BP＝CE，

∴BD+CE＝CP+BP＝BC＝8．

（3）解：∵DE∥BC，

∴BD＝CE，

∵△BDP∽△CPE，

∴，

∴，

∴BD，

∴BP4时，BD最大值4．

17．（2021•顺平县二模）如图，B、D为线段AH上两点，△ABC、△BDE和△DGH都是等边三角形，连接CE并延长交AH的延长线于点F，点G恰好在CF上，△ABC的外接圆⊙O交CF于点M．

（1）求证：AC2＝CM•CF．

（2）设等边△ABC、△BDE和△DGH的面积分别为S1，S2，S3.试判断S1，S2，S3之间的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）连接MB，易证∠CMB＝∠CBF，则可以得到△CMB∽△CBF，根据相似三角形对应边的比相等即可得证；

（2）由题意可得出AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，根据平行线分线段成比例定理即可得证．

【解答】解：（1）连接MB，如图，

则∠CMB＝180°一∠A＝120°．

∵∠CBF＝60°+60°＝120°．

∴∠CMB＝∠CBF．

∵∠BCM＝∠FCB，

∴△CMB∽△CBF，

∴，即CB2＝CM⋅CF，

∵AC＝CB，

∴AC2＝CM⋅CF，

（2）S1，S2，S3之间的数量关系为；

理由：由题意可得AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，

∴，

∵，，

∴，即，

∴所以所求的数量关系是．

18．（2021•衡水模拟）如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，AB与CD交于点P．

（1）如图1，当CD⊥AB于P时．

①若P为OB中点，求∠A的度数；

②若AB＝10，CD＝8，求BP的长；

（2）如图2，分别过点A、B作CD的垂线，垂足分别为E、F，若AB＝10，CD＝8，求AE﹣BF的值．

【分析】（1）①连接OC，证明△OBC是等边三角形，再由∠A∠BOC，求得∠A的度数；

②先由垂径定理得到CP的长，再由三角形相似求BP的长；

（2）过点O作CD的垂线，则垂足平分EF，再连接OC求出圆心到CD的距离，再证明AE与BF的差等于这个距离的2倍．

【解答】解：（1）①如图1，连接OC.

∵CD⊥AB，P为OB中点，

∴OC＝BC；

∵OC＝OB，

∴OC＝BC＝OB，

∴∠BOC＝60°，

∴∠A∠BOC＝30°．

②∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，CD＝8，

∴CPCD＝4；

∵∠APC＝∠CPB＝∠ACB＝90°，

∴∠PAC＝90°﹣∠PCA＝∠PCB，

∴△PAC∽△PCB，

∴，

∴PB•AP＝CP2，

∵AB＝10，AP＝10﹣BP，

∴BP（10﹣BP）＝42，

解得BP＝2或BP＝8（不合题意，舍去），

∴BP的长为2．

（2）如图2，连接OC，作CH⊥CD于点H，连接并延长FO交AE于点G．

∵AE⊥CD，BF⊥CD，

∴AE∥OH∥BF，

∴∠A＝∠FBO，

在△AOG和△BOF中，

，

∴△AOG≌△BOF（ASA），

∴AG＝BF，OG＝OF，

∴EH＝FH，

∵∠OHC＝90°，OC＝105，CH8＝4，

∴OH3，

AE﹣BF＝AE﹣AG＝GE＝2OH＝6．