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2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练考点27 点、直线、圆的位置关系

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考点27 点、直线、圆的位置关系
考点总结

知识点一点和圆的位置关系
位置关系
图形
定义
性质及判定
点在圆外

点在圆的外部
d>r⇔点P在⊙O的外部.
点在圆上

点在圆周上
d=r⇔点P在⊙O的圆周上.
点在圆内

点在圆的内部
d 知识点二三点定圆的方法
1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．

2）经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个．

3）经过三点时：
情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；
情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．

三点定圆的画法：
1）连接线段AB,BC。
2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
知识点三三角形的外接圆
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
2）三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
3）外接圆圆心和三角形位置关系：
1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；
2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；
3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.

知识点四直线与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系
图形
定义
性质及判定
相离

直线与圆没有公共点
d>r⇔直线l与⊙O相离
相切

直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点
d=r⇔直线l与⊙O相切
相交

直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线
d 知识点五切线的性质及判定
性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
知识点六三角形内切圆
概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
内心和外心的区别：
外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。
作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。
性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。

内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。
作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。
性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。

直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：

知识点七圆内接四边形
圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。
性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
知识点八圆和圆的位置关系（基础）
设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：
位置关系
图形
定义
性质及判定
外离

两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．
d>R+r⇔两圆外离
外切

两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．
d=R+r⇔两圆外切
相交

两个圆有两个公共点．
R-r 内切

两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．
d=R-r⇔两圆内切
内含

两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．
0≤d 【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．
【圆和圆的位置关系小结】

真题演练
一．选择题（共10小题）
1．（2021•桥西区模拟）“已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d，可用公式d=|kx0-y0+b|12+k2计算．”根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为12，直线l的表达式为y＝﹣2x+5，M是直线l上的动点，N是⊙C上的动点，则MN的最小值是（　　）

A．255-12 B．255+12 C．910 D．110
【分析】求出点C（1，1）到直线y＝﹣2x+5的距离d即可求得MN的最小值．
【解答】解：过点C作CM⊥直线l，交圆C于N点，此时MN的值最小，
根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d=|-2-1+5|12+(-2)2=255．
∵⊙C的半径为12，
∴MN的最小值为：255-12，
故选：A．

2．（2020•乐亭县一模）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6．则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
【解答】解：∵x2﹣3x﹣4＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝4，
∵⊙O的半径为一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的根，
∴r＝4，
∵d＞r
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故选：A．
3．（2021•长安区二模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝28°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D＝（　　）
A．30° B．56° C．28° D．34°
【分析】连接OC，由切线的性质得∠OCD＝90°，再由圆周角定理得∠COD＝56°，最后由三角形内角和定理即可求出答案．
【解答】解：∵CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
由圆周角定理可知：∠COD＝2∠CBA＝56°，
∴∠D＝90°﹣∠OCD＝90°﹣56°＝34°，
故选：D．
4．（2021•石家庄模拟）如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为rm的圆形绿地（r＜a2），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O的切线相交于C，切点分别为D、E．现规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿ED）→D→A，则下列说法正确的是（　　）

A．①较长 B．②较长
C．①②一样长 D．以上皆有可能
【分析】分别写出①和②的路线组成，只需比较不同的部分，即EC+CD与ED的大小即可．
【解答】解：如图，①B→E→C→D→A，所走的路程为：
BE+EC+CD+DA；
②B→E→（沿ED）→D→A，所走的路程为：
BE+ED+DA；
连接OC、OD、OE，如图：

∵AC，BC是⊙O的切线，切点分别为D、E，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∴S四边形ODCE=12CD•OD+12CE•OE
=12（CD+CE）•r，
∵S扇形DOE=12ED•r，S四边形ODCE＞S扇形DOE，
∴12（CD+CE）•r＞12ED•r，
∴EC+CD＞ED，
∴BE+EC+CD+DA＞BE+ED+DA，
即①＞②．
故选：A．
5．（2021•滦南县二模）如图，一条公路环绕山脚的部分是一段圆弧形状（O为圆心），过A，B两点的切线交于点C，测得∠C＝120°，A，B两点之间的距离为60m，则这段公路AB的长度是（　　）

A．10πm B．20πm C．103πm D．60m
【分析】连接OA，OB，OC，根据切线的性质得到∠OAC＝∠OBC＝90°，AC＝BC，推出△AOB是等边三角形，得到OA＝AB＝60，根据弧长的计算公式即可得到结论．
【解答】解：连接OA，OB，OC，
∵AC与BC是⊙O的切线，∠C＝120°，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，AC＝BC，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝60，
∴公路AB的长度=60⋅π×60180=20πm，
故选：B．

6．（2021•保定模拟）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm．动点D从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点O从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t（s），以点O为圆心，OB长为半径的⊙O与BA交于另一点E，连接ED．当直线DE与⊙O相切时，t的取值是（　　）

A．169 B．32 C．43 D．3
【分析】作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得BH＝CH＝4，利用切线的判定方法，当BE⊥DE，直线DE与⊙O相切，则∠BED＝90°，然后利用△BED∽△BHA，通过相似比可求出t的值．
【解答】解：作AH⊥BC于H，如图，BE＝2t，BD＝8﹣2t，
∵AB＝AC＝5，
∴BH＝CH=12BC＝4，
当BE⊥DE，直线DE与⊙O相切，则∠BED＝90°，
∵∠EBD＝∠ABH，
∴△BED∽△BHA，
∴BEBH=BDBA，即2t4=8-2t5，解得t=169．
故选：A．

7．（2021•保定模拟）如图，过⊙O上一点P的切线与直径AB的延长线交于点C，点D是圆上一点，且∠BDP＝27°，则∠C的度数为（　　）

A．27° B．33° C．36° D．40°
【分析】连接OP，利用同弧所对的圆心角与圆周角的关系∠POC＝54°，根据切线的性质得出答案．
【解答】解：连接OP，

∵PC与⊙O相切于点P，与直径AB的延长线交于点C，
∴∠PDO＝90°，
∵∠BDP＝27°，
∴∠POC＝54°，
∴∠C＝36°，
故选：C．
8．（2020•哈尔滨）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD，OA，若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为（　　）

A．25° B．20° C．30° D．35°
【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB为圆O的切线，
∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，
∵∠ADC＝35°，
∴∠AOB＝2∠ADC＝70°，
∴∠ABO＝90°﹣70°＝20°．
故选：B．
9．（2020•台州）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（　　）

A．6 B．213+1 C．9 D．323
【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，
P2Q2最大值＝5+3＝8，由此不难解决问题．
【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，
此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠C＝90°，
∵∠OP1B＝90°，
∴OP1∥AC
∵AO＝OB，
∴P1C＝P1B，
∴OP1=12AC＝4，
∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1＝1，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，
P2Q2最大值＝5+3＝8，
∴PQ长的最大值与最小值的和是9．
故选：C．

10．（2020•长春模拟）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（　　）

A．55° B．45° C．35° D．25°
【分析】根据切线的性质得到∠OPB＝90°，证出OP∥BC，根据平行线的性质得到∠POB＝∠CBD，于是得到结果．
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴OP∥BC，
∴∠CBD＝∠POB＝35°，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．（2021•石家庄一模）如图，已知AB＝AC＝BE＝CD，AD＝AE，点F为△ADE的外心，若∠DAE＝40°，则∠BFC＝　140　°．

【分析】由等腰三角形的性质得出∠BEA＝∠BAE＝70°，求出∠ABE＝40°，连接AF，EF，DF，由三角形外心的性质求出∠EBF＝∠FCB＝20°，由三角形内角和定理可得出答案．
【解答】解：∵∠DAE＝40°，AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠AED=12（180°﹣40°）＝70°，
∵AB＝BE，
∴∠BEA＝∠BAE＝70°，
∴∠ABE＝40°，
连接AF，EF，DF，

∵点F为△ADE的外心，
∴AF＝EF，AF＝DF，
∴点F在AE的垂直平分线上，
同理点B在AE的垂直平分线上，
∴∠ABF＝∠EBF，
∴∠EBF=12∠ABE＝20°，
同理∠FCB＝20°，
∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣20°﹣20°＝140°．
故答案为：140．
12．（2021•衡水模拟）如图，⊙O内接△ABC中，CD⊥AB，cos∠ACD=35，BC＝2，则⊙O半径为　53　．

【分析】连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，根据圆周角定理得到∠E＝∠A，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，
∴∠E＝∠A，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠ECB，
∴cos∠ACD＝cos∠ECB=BCCE=35，
∵BC＝2，
∴CE=103，
∴⊙O半径为53，
故答案为：53．

13．（2021•乐亭县一模）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为　7　；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为　21　．

【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；
（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是⊙O的直径，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，∵l⊥PA，
∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l的距离最大，
最大值为AO+AP＝5+2＝7；
（2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，
线段MN是⊙O的直径，
∵l⊥PA，
∴∠APO＝90°，
∵AP＝2，OA＝5，
∴OP=OA2-PA2=21，
故答案为：7，21．

14．（2020•唐山二模）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝　22　．弓形ACB的面积为　π﹣2　．

【分析】在优弧AB上取点D，连接AD、BD、OA、OB，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理求出∠AOB，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：在优弧AB上取点D，连接AD、BD、OA、OB，
∵四边形ADBC为圆内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠ACB＝45°，
由圆周角定理得，∠AOB＝2∠D＝90°，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴AB=2OA＝22，
弓形ACB的面积=90π×22360-12×2×2＝π﹣2，
故答案为：22；π﹣2．

15．（2020•邯郸模拟）以坐标原点O为圆心，作半径为1的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O有交点，则b的取值范围是　-2≤b≤2　．
【分析】求出直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
【解答】解：当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是（0，b），
当y＝0时，x＝b，则A的交点是（b，0），
则OA＝OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C．则OC＝1．
则OB=2OC=2．即b=2；
同理，当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=-2．
则若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是-2≤b≤2．
故答案为-2≤b≤2．

三．解答题（共3小题）
16．（2021•唐山一模）如图，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．
（1）求x为何值时，PQ⊥AC；
（2）设△PQD的面积为y（cm2），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；
（3）当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；
（4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）．

【分析】（1）若使PQ⊥AC，则根据路程＝速度×时间表示出CP和CQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；
（2）首先画出符合题意的图形，再根据路程＝速度×时间表示出BP，CQ的长，根据等边三角形的三线合一求得PD的长，根据30度的直角三角形的性质求得PD边上的高，再根据面积公式进行求解；
（3）根据三角形的面积公式，要证明AD平分△PQD的面积，只需证明O是PQ的中点．根据题意可以证明BP＝CN，则PD＝DN，再根据平行线等分线段定理即可证明；
（4）根据（1）中求得的值即可分情况进行讨论．
【解答】解：（1）当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，
当Q在AC上时，由题意得，BP＝xcm，CQ＝2xcm，PC＝（4﹣x）cm；
∵AB＝BC＝CA＝4cm，
∴∠C＝60°；
若PQ⊥AC，则有∠QPC＝30°，
∴PC＝2CQ，
∴4﹣x＝2×2x，
∴x=45；

（2）y=-32x2+3x，
如图，当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QN⊥BC于N；
∵∠C＝60°，QC＝2x，
∴QN＝QC×sin60°=3x；
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD=12BC＝2，
∴DP＝2﹣x，
∴y=12PD•QN=12（2﹣x）•3x=-32x2+3x；

（3）当0＜x＜2时，在Rt△QNC中，QC＝2xcm，∠C＝60°；
∴NC＝xcm，
∴BP＝NC，
∵BD＝CD，
∴DP＝DN；
∵AD⊥BC，QN⊥BC，
∴AD∥QN，
∴OP＝OQ，
∴S△PDO＝S△DQO，
∴AD平分△PQD的面积；

（4）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，
由（1）可知，当x=45时，以PQ为直径的圆与AC相切；
当点Q在AB上时，8﹣2x=x2，解得x=165，
故当x=45或165时，以PQ为直径的圆与AC相切，
当0≤x＜45或45＜x＜165或165＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．

17．（2021•新华区校级一模）如图，C是AB上一点，点D、E分别位于AB的异侧，AD∥BE，且AD＝BC，AC＝BE．
（1）求证：CD＝CE．
（2）当AC＝23时，求BF的长．
（3）若∠A＝α，∠ACD＝25°，且△CDE的外心在该三角形的外部，请直接写出α的取值范围．

【分析】（1）由平行线的性质，结合条件可证明△ADC≌△BCE，可证明CD＝CE；
（2）由（1）中的三角形全等可得∠CDE＝∠CED，∠ACD＝∠BEC，可证明∠BFE＝∠BEF，可证明△BEF为等腰三角形；
（3）由外心的位置可知△CDE是钝角三角形，可得0°＜∠CDE＜45°，再利用三角形的内角和可得α的范围．
【解答】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BCE中，
AD=BC∠A=∠BAC=BE，
∴△ADC≌△BCE（SAS），
∴CD＝CE；
（2）解：由（1）可知CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
由（1）可知△ADC≌△BCE，
∴∠ACD＝∠BEC，
∴∠CDE+∠ACD＝∠CED+∠BEC，
即∠BFE＝∠BED，
∴BE＝BF，
即BF＝BE＝AC＝23；
（3）∵△CDE的外心在该三角形的外部，
∴△CDE是钝角三角形，
∵∠CDE＝∠CED，
∴0°＜∠CDE＜45°，
∵AD∥BE，
∴∠ADE＝∠BED，即∠ADE＝∠AFD，
∴∠ADE=12（180°﹣α）＝90°-12α，
∵∠AFD＝∠CDE+25°，
∴α+∠ADC+∠CDE+25°＝180°，
即∠CDE＝65°-12α，
∴0°＜65°-12α＜45°，
解得：40°＜α＜130°．
18．（2021•遵化市模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，过点B的弦BD⊥OC交⊙O于点D，垂足为F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）当∠DCB＝60°，且BC＝6cm时，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OC，证明∠OCD＝90°．根据垂径定理得OD垂直平分BC，所以DB＝DC．从而△OBD≌△OCD，得∠OCD＝∠OBD＝90°；
（2）阴影面积＝S扇形OBC﹣S△OBC．根据切线长定理知△BCD为等边三角形，可求∠BOC的度数，运用相关公式计算即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OC⊥BD，且O为圆心，
∴OC平分BD，
∴BC＝DC，
在△BOC和△DOC中，
BC=DCOC=OCOB=OD，
∴△BOC≌△DOC（SSS），
∴∠CDO＝∠CBO＝90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵DB、DC为切线，B、D为切点，
∴DB＝DC．又∠DCB＝60°，
∴△BCD为等边三角形．
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∠OBM＝90°﹣60°＝30°，BM＝3．
∴OM＝BM•tan30°=3，OB=2OM=23．
∴S阴影部分＝S扇形OBC﹣S△OBC=120×π×(23)2360-12×6×3=4π-33．