2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点30 投影与视图

考点30 投影与视图

考点总结

知识点一 投影

一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影。照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

         平行投影

概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影。

特征：

1.等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
2.等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.

平行投影变化规律:

1.在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.

2.在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.　即：

.
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

         中心投影

概念：由同一点 (点光) 发出的光线形成的投影叫做中心投影。
特征：

1.等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光近的物体它的影子短，离点光远的物体它的影子长.
　　　　　　　　　　　　　
2等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光越近，影子越长；离点光越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
考查题型（求点光的位置）

点光、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.

中心投影与平行投影的区别与联系：

         正投影

正投影的定义：如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.

1.线段的正投影分为三种情况.如图所示.
　　　　　　　　　　　　　

①       线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；、

②       线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；

③       线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.

2.平面图形正投影也分三种情况，如图所示.
　　　　　　　　　　　　
①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；

②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.
③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.

3.立体图形的正投影.
　　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.
 

知识点二 三视图

三视图的概念：

视图概念：从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.
正面、水平面和侧面概念：用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面.
三视图概念：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
三视图之间的关系

1.位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示.
　　　　　　　　　　　　　
2.大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.

画几何体三视图的基本方法：
画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：
1.确定主视图的位置，画出主视图；
2.在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
3.在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
注意：几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.

由三视图想象几何体的形状
　　由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.
利用三视图计算几何体面积

利用三视图先想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积。

真题演练

一．选择题（共13小题）

1．（2021•河北模拟）如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体搭成的，将小正方体A移走后，新的几何体的俯视图为（　　）

A． B． C． D．

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．

【解答】解：将小正方体A移走后，新的几何体的俯视图有两列，小正方形的个数分别为3、1．

故选：D．

2．（2021•开平区一模）如图，是某几何体的三视图，根据三视图，描述物体的形状是正确的是（　　）

A．圆柱体 

B．长方体 

C．圆台 

D．半圆柱和长方体组成的组合体

【分析】根据三视图，画出物体的形状，可得结论．

【解答】解：如图，根据三视图可知，物体的形状为：

故选：D．

3．（2014•宜宾）如图1放置的一个机器零件，若其主（正）视图如图2，则其俯视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】找到从上面看所到的图形即可．

【解答】解：从上面看可得到左右相邻的3个矩形．

故选：D．

4．（2016•北京）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．圆锥 B．三棱锥 C．圆柱 D．三棱柱

【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．

【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．

故选：D．

5．（2020•安顺）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断．

【解答】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误；

B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误；

C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项正确．

D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项错误；

故选：C．

6．（2019•潍坊）如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（　　）

A．俯视图不变，左视图不变 

B．主视图改变，左视图改变 

C．俯视图不变，主视图不变 

D．主视图改变，俯视图改变

【分析】利用结合体的形状，结合三视图可得出俯视图和左视图没有发生变化；

【解答】解：将正方体①移走后，

新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，俯视图和左视图没有发生改变；

故选：A．

7．（2018•河南）将图①中的小正方体沿箭头方向平移到图②位置，下列说法正确的是（　　）

A．图①的主视图和图②的主视图相同 

B．图①的主视图与图②的左视图相同 

C．图①的左视图与图②的左视图相同 

D．图①的俯视图与图②的俯视图相同

【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形，得出图①、图②的三视图即可．

【解答】解：找到图①、图②从正面、侧面和上面看所得到的图形，

可知图①的主视图与图②的左视图相同，图①的左视图与图②的主视图相同．

故选：B．

8．（2021•河北模拟）其几何体的三视图如图所示，这个几何体是（　　）

A．三棱柱 B．四棱锥 C．四棱柱 D．圆锥

【分析】由空间几何体的主视图、左视图所对应的三角形皆为正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，知空间几何体是正四棱锥．

【解答】解：∵空间几何体的主视图、左视图所对应的三角形皆为正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，

∴空间几何体是正四棱锥，

故选：B．

9．（2021•清苑区模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥

【分析】根据三视图易得此几何体为三棱柱．

【解答】解：根据几何体的三视图即可知道几何体是三棱柱．

故选：A．

10．（2021•桥西区模拟）如图是由4个相同的小正方体组成的两个几何体，下列描述正确的是（　　）

A．仅主视图不同 

B．仅俯视图不同 

C．仅左视图不同 

D．主视图、左视图和俯视图都相同

【分析】画出这两个组合体的三视图，比较得出答案．

【解答】解：这两个组合体的三视图如图所示：

因此这两个组合体只有俯视图不同，

故选：B．

11．（2021•吉林模拟）如图是由几个大小相同的小正方体组合而成的几何体，则下列视图中面积最小的是（　　）

A．主视图 B．俯视图 

C．左视图 D．主视图和俯视图

【分析】如图可知该几何体的主视图由5个小正方形组成，左视图是由3个小正方形组成，俯视图是由5个小正方形组成，易得解．

【解答】解：如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成，

左视图是由3个小正方形组成，

俯视图是由5个小正方形组成，

故三种视图面积最小的是左视图．

故选：C．

12．（2021•沂县二模）如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】直接利用正投影的定义得出答案．

【解答】解析：光线由上向下照射正五棱柱时的正投影与俯视图一致．

故选：C．

13．（2021•日照模拟）一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是带圆心的圆，根据图中所示数据，可求这个物体的体积为（　　）

A．π B．π C．π D．（1）π

【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形．可计算边长为2，据此即可得出物体的体积．

【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形．

∴正三角形的边长2．

∴圆锥的底面圆半径是1，

∴物体的体积为：π×12π．

故选：C．

二．填空题（共1小题）

14．（2018•齐齐哈尔）三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF＝8cm，EG＝12cm，∠EFG＝45°．则AB的长为　4　cm．

【分析】根据三视图的对应情况可得出，△EFG中FG上的高即为AB的长，进而求出即可．

【解答】解：过点E作EQ⊥FG于点Q，

由题意可得出：EQ＝AB，

∵EF＝8cm，∠EFG＝45°，

∴EQ＝AB8＝4（cm）．

故答案为：4．

三．解答题（共1小题）

15．（2020•丛台区校级一模）如图（1）是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．

（1）图（2）是根据a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图．

（2）已知h＝4．求a的值和该几何体的表面积．

【分析】（1）根据三视图的画法即可画出该几何体的左视图；

（2）根据俯视图和主视图即可求a的值，进而可求该几何体的表面积．

【解答】解：（1）如图所示，图中的左视图即为所求；

（2）根据俯视图和主视图可知：

a2+a2＝h2＝42，

解得a＝2．

几何体的表面积为：2ahaha2×2＝1624．

答：a的值为2，该几何体的表面积为1624．