2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点04 实数

考点04 实数

考点总结

知识点一 平方根

算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a，即

算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作

平方根概念：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根或二次方根，即，那么x叫做a的平方根。

平方根的性质与表示：

表示：正数a的平方根用表示， 叫做正平方根，也称为算术平方根， 叫做a的负平方根。

性质：一个正数有两个平方根： （根指数2省略）且他们互为相反数。

0有一个平方根，为0，记作

负数没有平方根

平方根与算术平方根的区别与联系：

知识点二 立方根和开立方

立方根概念：如果一个数的立方等于，即那么x叫做的立方根或三次方根，

表示方法：数a的立方根记作，读作三次根号a

立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０.

开立方概念：求一个数的立方根的运算。

开平方的表示：        （a取任何数）

这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

注意:０的平方根和立方根都是０本身。

次方根(扩展)

概念：如果一个数的次方（是大于１的整数）等于，这个数就叫做的次方根。

当为奇数时，这个数叫做的奇次方根。

当为偶数时，这个数叫做的偶次方根。

性质： 正数的偶次方根有两个：；０的偶次方根为０：；负数没有偶次方根。

正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。

知识点三 实数

无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。

实数概念：有理数和无理数统称为实数

实数的分类：

1.按属性分类：                      2.按符号分类

实数和数轴上的点的对应关系（重点）：

实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．

的画法：画边长为1的正方形的对角线

在数轴上表示无理数通常有两种情况：

1.尺规可作的无理数，如

2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……

实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法

实数的三个非负性及性质： 

1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。

2.非负数有三种形式 

①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；

②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0；

③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0

3.非负数具有以下性质

①非负数有最小值零；

②非负数之和仍是非负数；

③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•石家庄模拟）若一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，则这个正数是（　　）

A．1 B．3 C．4 D．9

【分析】依据平方根的性质列方出求解即可．

【解答】解：∵一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，

∴2a﹣1﹣a+2＝0．

解得：a＝﹣1．

∴2a﹣1＝﹣3．

∴这个正数是9．

故选：D．

2．（2021•滦南县二模）5的平方根是（　　）

A． B．﹣ C．± D．5

【分析】根据平方根定义求出即可．

【解答】解：5的平方根是±，

故选：C．

3．（2021•烟台模拟）﹣8的立方根为（　　）

A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4

【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．

【解答】解：∵﹣2的立方等于﹣8，

∴﹣8的立方根等于﹣2．

故选：B．

4．（2021•裕华区校级模拟）的值是（　　）

A． B． C． D．2

【分析】根据算术平方根的定义即可求解．

【解答】解：的值是2．

故选：B．

5．（2020•绍兴）实数2，0，﹣2，中，为负数的是（　　）

A．2 B．0 C．﹣2 D．

【分析】根据负数定义可得答案．

【解答】解：实数2，0，﹣2，中，为负数的是﹣2，

故选：C．

6．（2021•定兴县一模）下列四个数：3，﹣0.5，，﹣中，绝对值最大的数是（　　）

A．3 B．﹣0.5 C． D．﹣

【分析】根据实数的大小比较解答即可．

【解答】解：下列四个数：3，﹣0.5，，﹣中，绝对值最大的数是3，

故选：A．

7．（2021•清苑区模拟）若a＝，b＝，则实数a，b的大小关系为（　　）

A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≥b

【分析】直接利用a，b接近的有理数，进而分析得出答案．

【解答】解：∵＜＜，

∴2＜＜3，

∵＜＜，

∴3＜＜4，

∴a＜b．

故选：B．

8．（2021•河北模拟）若–▢是正无理数，则▢可以是（　　）

A．﹣ B．﹣ C．0 D．3.14

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解答】解：A、﹣（﹣）＝是正无理数，若–▢是正无理数，则▢可以是﹣，故此选项符合题意；

B、﹣是有理数，故此选项不符合题意；

C、0是有理数，故此选项不符合题意；

D、3.14是有理数，故此选项不符合题意．

故选：A．

9．（2021•新华区校级一模）下列实数中的无理数是（　　）

A．﹣ B．π C．0.57 D．

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解答】解：A．﹣是分数，属于有理数；

B．π是无理数；

C．0.57是有限小数，即分数，属于有理数；

D．是分数，属于有理数；

故选：B．

10．（2021•湖北模拟）下列各数中，是无理数的是（　　）

A．3.1415 B． C． D．

【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数进行判断，＝2是有理数；

【解答】解：＝2是有理数，是无理数，

故选：D．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•兴化市模拟）的立方根是 　﹣　．

【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．

【解答】解：∵（﹣）3＝﹣，

∴﹣的立方根根是：﹣．

故答案是：﹣．

12．（2021•河北模拟）若，则a2+4ab+4b2＝　3　．

【分析】根据完全平方公式、算术平方根、实数的乘方解决此题．

【解答】解：∵，

∴．

∴a2+4ab+4b2＝3．

故答案为：3．

13．（2021•长安区二模）已知＝3，则a的值为　9　．

【分析】直接根据算术平方根的定义求解．

【解答】解：∵32＝9，

∴＝3，

故答案为：9．

14．（2021•河北模拟）若＝20，则a＝　1　．

【分析】根据算术平方根的定义和零次幂的意义解答即可．

【解答】解：∵＝20＝1，

∴a＝1．

故答案为：1．

15．（2021•福田区模拟）的算术平方根是 　2　．

【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．

【解答】解：∵＝4，

∴的算术平方根是＝2．

故答案为：2．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•玉田县二模）如图，数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别为a、b、c三个数，其中b＜0，且b的倒数是它本身，且a、c满足（c﹣4）2+|a+3|＝0．

（1）计算：a2﹣2a﹣的值；

（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数．

【分析】（1）利用非负数的性质求出a与c的值，代入原式计算即可求出值；

（2）根据a，b的值，确定出中点坐标，进而求出与C重合的点即可．

【解答】解：（1）∵（c﹣4）2+|a+3|＝0，

∴c﹣4＝0，a+3＝0，

解得：a＝﹣3，c＝4，

则原式＝a2﹣2a﹣＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）﹣＝9﹣（﹣6）﹣2＝13；

（2）∵b＜0，且b的倒数是它本身，

∴b＝﹣1，

∵a＝﹣3，

∴﹣3和﹣1重合，﹣3和﹣1的中点为﹣2，

∵c＝4，

∴与点C重合的点表示的数是﹣8；

故答案为：（1）13；（2）﹣8．

17．（2021•桥西区校级模拟）比较x2+y2与2xy的大小．尝试：用“＜”，“＝”或“＞”填空．

①当x＝2，y＝2时；x2+y2　＝　2xy；

②当x＝1，y＝3时，x2+y2　＞　2xy；

③当x＝y＝4时，x2+y2　＝　2xy；

验证：若x，y取任意实数，x2+y2与2xy有怎样的大小关系？试说明理由；

应用：当xy＝1时，请直接写出x2+4y2的最小值．

【分析】①代入求值，再比较即可；

②代入求值，再比较即可；

③代入求值，再比较即可；

验证：将（x﹣y）2≥0变形即可得答案；

应用：利用x2+y2≥2xy可直接得到结果．

【解答】解：①x＝2，y＝2时，x2+y2＝8，2xy＝8，

∴x2+y2＝2xy，

故答案为：＝；

②x＝1，y＝3时，x2+y2＝10，2xy＝6，

∴x2+y2＞2xy，

故答案为：＞；

③x＝y＝4时，x2+y2＝32，2xy＝32，

∴x2+y2＝2xy，

故答案为：＝；

验证：x2+y2≥2xy，理由如下：

∵（x﹣y）2≥0，

∴x2﹣2xy+y2≥0，

∴x2+y2≥2xy；

应用：由验证知：x2+4y2≥2×x•2y

即x2+4y2≥4xy，

∵xy＝1，

∴x2+4y2≥4，

∴x2+4y2的最小值是4．

18．（2020•河北模拟）对于题目：实数a，b，c的大小如图中数轴所示，化简：|a﹣c|﹣|a﹣b|+|c﹣b|+2c．

张皓程的解法如图所示：

（1）张皓程从第　①　步开始出错．

（2）请你写出正确的解答过程．

【分析】由图可得：c＜0＜a＜b，且|b|＞|a|＞|c|，则可以化简所求式子．

【解答】解：（1）因为c＜0＜a＜b，且|b|＞|a|＞|c|，

所以a﹣c＞0，a﹣b＜0，c﹣b＜0，

所以|a﹣c|﹣|a﹣b|+|c﹣b|+2c＝（a﹣c）+（a﹣b）﹣（c﹣b）+2c

所以是第①步出错，原因是去绝对值符号时，负数没有变号；

故答案为：①；

（2）因为c＜0＜a＜b，且|b|＞|a|＞|c|，

所以a﹣c＞0，a﹣b＜0，c﹣b＜0，

|a﹣c|﹣|a﹣b|+|c﹣b|+2c

＝（a﹣c）+（a﹣b）﹣（c﹣b）+2c

＝a﹣c+a﹣b﹣c+b+2c

＝2a．