2022-2023 数学京改版新中考精讲精练 考点10函数与平面直角坐标系

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考点总结
1、点的坐标
对于平面内任意一点，过点向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数，分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序数对叫做点的坐标，记作．坐标轴上的点不属于任何象限．
2、点到坐标轴的距离
点到轴的距离是点的纵坐标的绝对值，即；
点到轴的距离是点的横坐标的绝对值，即．
3、各象限中及坐标轴上点的坐标
各象限中点的坐标
点在第一象限，；
点在第二象限，；
点在第三象限，；
点在第四象限，．
坐标轴上点的坐标
点在轴上，为任意实数；
点在轴上，为任意实数；
点既在轴上，又在轴上，，即点的坐标为．
平行于坐标轴的直线上的点
平行于轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标不相等；
平行于轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标不相等．
4、点的变换
（1）两点关于轴对称两点坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）两点关于轴对称两点坐标横坐标互为相反数，纵坐标相同；
（3）两点关于原点对称两点坐标横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
（4）左右平移：向右平移，横坐标增大，纵坐标不变；向左平移，横坐标减小，纵坐标不变；
（5）上下平移：向上平移，纵坐标增大，横坐标不变；向下平移，纵坐标减小，横坐标不变。
5、 函数的概念
（1）变量与常量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．
（2）函数概念
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数．
（3）函数值
是的函数，如果当时，那么叫做当自变量的值为时的函数值．
（4）函数的三种表示方法：列表法；解析式法；图象法．
6、 函数的解析式
（1）函数的解析式
像这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．
（2）自变量的取值范围
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．
7、 函数的图象
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
画函数图象的步骤：
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来，并表示出图象的趋势）．
真题演练
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，下列函数的图象不过点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用x=1时，求函数值进行一一检验是否为1即可
【详解】
解：当x=1时，，图象过点，选项A不合题意；
当x=1时，，图象过点，选项B不合题意；
当x=1时，，图象不过点，选项C合题意；
当x=1时，，图象过点，选项D不合题意；
故选择：C．
2．为满足人民对美好生活的向往，造福子孙后代，环保部门要求相关企业加强污水治理能力，污水排放未达标的企业要限期整改．甲、乙两个企业的污水排放量W与时间t的关系如图所示，我们用表示t时刻某企业的污水排放量，用的大小评价在至这段时间内某企业污水治理能力的强弱．已知甲、乙两企业在整改期间排放的污水排放量与时间的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，乙企业的污水排放量高；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；
④在，，这三段时间中，甲企业在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①③④C．②④D．①③
【答案】D
【分析】
根据图象位置的高低和倾斜程度，逐条判断即可．
【详解】
解：①在这段时间内，甲企业的图象比乙企业的图象倾斜角度大，故①正确；
②在时刻，甲企业的污水排放量高，故②错误；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量在达标量以下，故③正确；
④在，，这三段时间中，甲企业在的图象倾斜角度最大，故④错误．
故答案为：D．
3．如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同．用t表示小球滚动的时间，表示小球的速度．下列图象中，能表示小球在斜坡上时与的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据一次函数k的几何意义判断即可
【详解】
解：∵一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同
∴ =定值
∴v与t是正比例函数的关系．
故选：
4．已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值：
对于y与x的函数关系有以下4个描述①可能是正比例函数关系；②可能是一次函数关系；③可能是反比例函数关系；④可能是二次函数关系．所有正确的描述是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】C
【分析】
根据表格中x和y值得变化规律判断即可．
【详解】
解：根据表格数据判断xy=6，故有可能为反比例函数；x从-3到3，y的值在增加，然后x从3到6，y值在减小，所以也有可能是二次函数．
故选：C
5．在一场篮球赛中，某队甲、乙两队员的位置分别在如图所示的两点，队员甲抢到篮板后，迅速将球抛向对方股场，队员乙看到后同时快跑到点处恰好接住了球，则图中分别表示球、乙队员离点的距离（单位：米）与甲队员地球后的时间（单位：秒）关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
分别描述球和球员B距离A的距离即可确定正确的选项．
【详解】
解：队员A抢到篮板球后，篮球距离队员A的距离为0，球员B距离球员A有段距离，
队员A抢到篮板球后，迅速将球抛向对方半场的点C处，球员B也跑向C处接住篮球，此时球员B和篮球距离球员A的距离相等，
综合以上C选项符合，
故选：C．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则点N的坐标为（ ）
A．（1，2）B．（4，2）C．（2，4）D．（2，1）
【答案】D
【分析】
根据三角形的中位线的性质和点的坐标，解答即可．
【详解】
过N作NE⊥y轴，NF⊥x轴，
∴NE∥x轴，NF∥y轴，
∵点A(0，2)，B(4，0)，点N为线段AB的中点，
∴NE=2，NF=1，
∴点N的坐标为(2，1)，
故选：D．
7．以方程组的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】
先求出方程组的解，然后即可判断点的位置．
【详解】
解：解方程组，得，
∴点（1.5，0.5）在第一象限．
故选：A．
8．若点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3B．m＜1C．m＞1D．1＜m＜3
【答案】A
【分析】
根据第二象限点的坐标特征：横坐标为负数，纵坐标为正数解题即可
【详解】
解：∵点P在第二象限，
，
解不等式①得：m＞3；
解不等式②得：m＞1．
∴m的取值范围是m＞3．
故选：A．
9．如图，平面直角坐标系xOy中，有、、、四点．若有一直线l经过点且与轴垂直，则l也会经过的点是（ ）
A．点B．点
C．点D．点
【答案】D
【分析】
直接利用点的坐标，正确结合坐标系分析即可．
【详解】
如图所示：有一直线通过点（-1，3）且与y轴垂直，故也会通过D点．
故选：D．
10．如图，动点在平面直角坐标系中，按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，2)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，1)，第4次接着运动到点(4，0)，……，按这样的运动规律，经过第27次运动后，动点的坐标是( )
A．(26，0)B．(26，1)C．(27，1)D．(27，2)
【答案】C
【分析】
根据图形中前几次运动后，动点P的坐标，归纳类推出规律，由此即可得出答案．
【详解】
由图可归纳出以下两条规律：（n为正整数）
（1）第n次运动后，动点P的横坐标为n
（2）在运动过程中，动点P的纵坐标是以为循环变换的
则经过第27次运动后，动点的横坐标为27
经过第27次运动后，动点的纵坐标与第3次运动后，动点的纵坐标相同，即为1
综上，所求的动点P的坐标是
故选：C．
二、填空题
11．五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向（横向、竖向或者是斜着的方向）上连成五子者为胜．如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，以点为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子的坐标为，为了不让白方获胜，此时黑方应该下在坐标为____________的位置处．
【答案】或
【分析】
根据五子连棋的规则，白方已把（4，6）（5，5）（6，4）三点凑成在一条直线，黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜，据此即可确定点的坐标．
【详解】
解：根据题意可知因为白方已把（4，6）（5，5）（6，4）三点凑成在一条直线，黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜，即（3，7）或（7，3），
故答案为：（3，7）或（7，3）．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，B（3，0），△AOB是等边三角形，动点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BO匀速运动，动点Q同时从点A出发以同样的速度沿OA延长线方向匀速运动，当点P到达点O时，点P，Q同时停止运动．过点P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．设运动时间为t秒，得出下面三个结论，① 当t =1时，△OPQ为直角三角形；② 当t =2时，以AQ，AE为边的平行四边形的第四个顶点在∠AOB的平分线上；③ 当t为任意值时，．所有正确结论的序号是________．
【答案】①③
【分析】
由题意根据等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定和性质进行综合分析判断即可.
【详解】
解：①如图1中，取OQ的中点H，连接PH．
∵t=1，
∴AQ=PB=1，
∵B（3，0），
∴OB=3，
∵△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=3，
∴OQ=4，
∵，
∴OH=OP=2，
∵∠HOP=60°，
∴△HOP是等边三角形，
∴PH=OH=HQ，
∴，
∴△OPQ是直角三角形．故①正确，
②当t=2时，如图2中，
由题意PB=AQ=2，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB=90°，
∵∠PBE=60°，
∴，
∴AE=AB-BE=3-1=2，
∴AE=AQ=2，
∵四边形AEMQ是平行四边形，AQ=AE，
∴四边形AEMQ是菱形，
∵∠QAE=120°，
∴∠MAE=∠MAQ=60°，
∴△MAE是等边三角形，
∴MA=ME＜BM，
∴点M不在AB的垂直平分线上，
∴点M不在∠AOB的角平分线上，故②错误，
③如图3中，作PM∥OA交AB于M．
∵PM∥OA，
∴∠BMP=∠BAO=60°，∠BPM=∠AOB=60°，
∴△PMB是等边三角形，
∴PB=PM=AQ，
∵PE⊥BM，
∴EM=BM，
∵∠AQD=∠MPD，∠ADQ=∠MQP，AQ=PM，
∴△ADQ≌△MDP（AAS），
∴AD=DM，
∴，故③正确.
故答案为：①③．
13．如图，直线，在某平面直角坐标系中，x轴∥，y轴∥，点A的坐标为(，2)，点B的坐标为(2，)，那么点C在第____象限．
【答案】一
【分析】
根据题意作出平面直角坐标系，根据图象可以直接得到答案．
【详解】
解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，
如图，依题意可画出直角坐标系，
∴点A位于第二象限，点B位于第四象限，
∴点C位于第一象限．
故答案是：一．
14．某产品的盈利额（即产品的销售价格与固定成本之差）记为，购买人数记为，其函数图象如图（1）所示．由于目前该产品盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2），图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象．
给出下列四种说法：
①图（2）对应的方案是：提高销售价格，并提高成本；
②图（2）对应的方案是：保持销售价格不变，并降低成本；
③图（3）对应的方案是：提高销售价格，并降低成本；
④图（3）对应的方案是：提高销售价格，并保持成本不变；
其中正确的说法是____．
【答案】②④
【分析】
解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．
【详解】
解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，
故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即④对；
故答案为：②④．
15．函数中，自变量的取值范围是_____．
【答案】
【分析】
根据被开方式是非负数列式求解即可.
【详解】
依题意，得，
解得：，
故答案为．
三、解答题
16．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，两点．
（1）求的值；
（2）已知点，过点作轴的垂线，分别交直线 和反比例函数的图象于点，若线段的长随的增大而增大，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由点，在反比例函数的图象上，代入反比例函数的方程组，解方程组即可；
（2）由A（-1，2）B（2，-1）可求直线与反比例函数，当x=a时两交点M（a，-a+1），N（a，）利用两点距离公式可求MN=，当时化简MN=设x1，x2是上任意两个数且，对应的MN值分别y1，y2，，可得，MN在随着a的增大而减小，当时化简得MN=，设x1，x2是上任意两个数且，对应的MN值分别y1，y2，，可得，，MN=随着a的增大而增大即可．
【详解】
解：（1）∵点，在反比例函数的图象上，
∴，
解得：；
（2）∵A（-1，2）B（2，-1）在直线上，
∴，
解得，
直线，
反比例函数，
当x=a时M（a，-a+1），N（a，），
MN=，
当时MN=，
设x1，x2是上任意两个数且，x1，x2对应的MN值分别y1，y2，
，
，
∵，
，
∴，MN=随着a的增大而减小，
∴MN在随着a的增大而减小，
当时MN=，
设x1，x2是上任意两个数且，x1，x2对应的MN值分别y1，y2，
，
，
∵，
，
∴，MN=随着a的增大而增大，
∴的取值范围是．
17．利用初中阶段我们学习函数知识的方法探究一下形如的函数：
（1）由表达式，得出函数自变量x的取值范围是__________；
（2）由表达式还可以分析出，当时，，随增大而增大；当时，____________0，随增大而__________．
（3）如图中画出了函数的图象，请你画出时的图象；
（4）根据图象，再写出的一条性质__________．
【答案】（1）任意实数；（2），增大；（3）见解析；（4）图象关于原点对称
【分析】
（1）由表达式，根据立方的定义得出函数自变量的取值范围是任意实数；
（2）由表达式分析即可求解；
（3）根据函数图象的画法描点，连线即可得时的图象；
（4）观察图象可得图象关于原点对称．
【详解】
（1）由表达式，得出函数自变量的取值范围是任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）由表达式还可以分析出，当时，，随增大而增大．
故答案为：，增大；
（3）画出时的图象如图：
（4）观察图象可得：的一条性质：图象关于原点对称．
故答案为：图象关于原点对称．
18．在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度．
（1）已知点N（2，0），在点，，中，对线段ON的可视度为60º的点是______．
（2）如图2，已知点A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）．
①直接写出点E对四边形ABCD的可视度为______°；
②已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值．
【答案】（1）M1，M2；（2）①90；②或
【分析】
（1）结合勾股定理，等边三角形的判定和性质以及锐角三角函数求角的度数，从而作出判断；
（2）①根据等腰直角三角形的判定和性质求解；
②根据可视度的定义结合勾股定理分情况讨论求解
【详解】
解：（1）∵点N（2，0），点，，中，
∴M3N⊥x轴，
∴，
∴，
，
∴△是等边三角形
∴
∴对线段ON的可视度为60º的点是M1，M2
故答案为：M1，M2．
（2）①连接EA，ED
由题意可得AG=EG=2，DG=GE=2
∴△AGE和△EDG均为等腰直角三角形
∴∠AED=90°
∴点E对四边形ABCD的可视度为90°
故答案为：90；
②解：由题意可知，四边形ABCD是正方形，点F在直线y=4上．
如图所示，点F对正方形ABCD的可视度为45°，
当点F是以点D为圆心，4为半径的圆和直线y=4的交点时，
过点D作DN⊥EF于点N，则有DN=2，DF=4，可得NF=．
∴a=．
当点F是以点A为圆心，4为半径的圆和直线y=4的交点时，
同理可得，a=．
综上，a的值为或．
x
…
3
6
…
y
…
2
1
…