2022-2023 数学京改版新中考精讲精练 考点27锐角三角函数

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考点27锐角三角函数考点总结1、锐角三角函数的概念如图所示，在中，，的对边的边记为，叫做的对边，也叫做的邻边；的对边的边记为，叫做的对边，也叫做的邻边；直角所对的边记为，叫做斜边。     在中，如果锐角确定，那么的邻边与斜边的比、的对边与邻边之比也随之确定。（1）正弦：把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即
    ；（2）余弦：把锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即
    ；（3）正切：把锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即
    ；锐角的正弦、余弦、正切都是的三角函数．当锐角变化时，相应的三角函数值也随之变化．
2、锐角三角函数增减规律（1）的值随的增大而增大；（2）的值随的增大而减小；（3）的值随的增大而增大. 3、特殊角的三角函数值三角函数           4、解直角三角形定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 例，如图，在中，，（1）边的关系：；（2）角的关系：；（3）边角关系：三角函数的定义.  5、解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用—坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用—仰角俯角问题；解直角三角形的实际应用—方向角问题.真题演练 一、单选题1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，则sinA的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义计算，得到答案．【详解】解：在中，，，，由勾股定理得，，∴，故选：D．2．如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B， PO的延长线交于点C，连接OA，OB，BC．若，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合已知条件推知直角的直角边与斜边的关系可求，进而根据圆周角定理求出∠C．【详解】解：与相切于点，．，，∴，，∴故选：B．3．如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（   ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意可证出是直角三角形，利用直角三角形的边角关系用x表示出CF、DF，最后利用三角形的面积公式可知y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，观察选项图像即可得出答案．【详解】解：由题可知，等边三角形ABC的边长为2．∵ME⊥AB，，∴是直角三角形，，，，∵，∴，．又∵ DK⊥BC，∠MDK=∠FDK，∴．∵，∴，∴是直角三角形，∴，∴，∴，∴，即则y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，且过点．故选：A．4．如图，线段是的直径，为上两点，如果，那么的度数是(　　)A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B【分析】如图（见解析），连接BC，先根据圆周角定理可得，再根据正弦三角函数值可得，然后根据圆周角定理即可得．【详解】如图，连接BC线段是的直径在中，，由圆周角定理得：故选：B．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是（　　）A．AB和CD B．AB和EF C．CD和GH D．EF和GH【答案】D【分析】如图，当点M在线段AB上时，连接OM．根据正弦函数，余弦函数的定义判断sinα，cosα的大小．当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J．判断sinα，cosα的大小即可解决问题．【详解】如图，当点M在线段AB上时，连接OM．∵sinα=，cosα=，OP＞PM，∴sinα＜cosα，同法可证，点M在CD上时，sinα＜cosα，如图，当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J．∵sinα=，cosα=，OJ＜MJ，∴sinα＞cosα，同法可证，点M在GH上时，sinα＞cosα，故选：D．6．如图，的直径垂直于弦，垂足为，，，则的长为（    ）A．2.5 B．4 C．5 D．10【答案】C【分析】先根据垂径定理得出CE=DE=2，易得∠B=∠C，然后在Rt△ACE和Rt△BDE中分别利用∠C和∠B的正切求出AE与BE的长，进而可得答案．【详解】解：∵的直径垂直于弦，，∴CE=DE=2，在Rt△ACE中，∵，∴，∴AE=1，∵∠B=∠C，∴在Rt△BDE中，由，则，∴BE=4，∴AB=AE+BE=5．故选：C．7．把三边的长度都扩大为原来的倍，则锐角的余弦值（ ）A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的倍 D．不变【答案】D【分析】根据相似三角形的性质解答．【详解】三边的长度都扩大为原来的3倍，
则所得的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的大小不变，
∴锐角A的余弦值不变，
故选：D．8．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况，如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°．若直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为（　　）A．200 米 B．（200+200）米C．600 米 D．（200+20）米【答案】B【分析】在Rt△ACD中，由tan∠A＝，可知（米），在Rt△BCD中，由∠B＝45°知BD＝CD＝200米，根据AB＝AD+BD可得答案．【详解】解：由题意知，∠A＝30°，∠B＝45°，CD＝200米，在Rt△ACD中，∵tan∠A＝，∴（米），在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝200米，∴AB＝AD+BD＝200+200（米），故选：B．9．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为(     )A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ C．atanα+atanβ D．【答案】C【分析】在Rt△ABD和Rt△ABC中，由三角函数得出BC＝atanα，BD＝atanβ，得出CD＝BC+BD＝atanα+atanβ即可．【详解】在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝，tanβ＝，∴BC＝atanα，BD＝atanβ，∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ，故选C．10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（　　）A． B．2 C．5 D．10【答案】C【详解】分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．详解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，∴∠AOB=90°，∵BD=8，∴OB=4，∵tan∠ABD=，∴AO=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5，故选C． 二、填空题11．如图所示的正方形网格中有，则的值为___________．【答案】1【分析】利用网格特点，构建Rt△ACB，然后利用正切的定义求解．【详解】解：如图，在中，．故答案为：1．12．如图，小石同学在两点分别测得某建筑物上条幅两端两点的仰角均为，若点在同一直线上，两点间距离为3米，则条幅的高为_________米（结果可以保留根号）【答案】3【分析】过点C作CE∥AB，交BD于点E，可得四边形ABEC是平行四边形，在直角中，利用锐角三角函数的定义，即可求解．【详解】过点C作CE∥AB，交BD于点E，∵小石同学在两点分别测得某建筑物上条幅两端两点的仰角均为，∴∠CAO=∠DBO=60°，∴AC∥BD，∴四边形ABEC是平行四边形，∴CE=AB=3，∠DEC=60°，∵BO⊥DO，∴EC⊥DO，∴在直角中，CD=EC×tan60°=3，故答案是：3．
 13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点均在网格交点上，是的外接圆，则的值是____________．【答案】【分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，根据余弦的定义解答即可．【详解】解：如图，作直径BD，连接CD，
由勾股定理得，BD=，
在Rt△BDC中，cos∠BDC=，
由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC，
∴cos∠BAC=cos∠BDC=，
故答案为：．14．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为 __________________．【答案】【分析】作辅助线BD使∠ACB直角三角形BCD中，然后用正弦函数的定义即可．【详解】解：作如图所示的辅助线，则BD⊥AC，∵BC＝，BD＝，∴sin∠ACB＝，故答案为：．15．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，那么与的大小关系为：________（填“＞”“＝”或“＜”）．【答案】＞【分析】根据已知条件转化为比较与的大小比较，根据正切的概念进行比较即可；【详解】如图所示，∵，∴，∵，，∴比较与的大小，即比较与的大小，∵，，∵，∴，∴＞． 三、解答题16．已知：如图，点A，C，D在⊙O上，且满足∠C＝45°，连接OD，AD．过点A作直线AB∥OD，交CD的延长线于点B．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）如果OD＝CD＝2，求AB的长．【答案】（1）见解析；（2）2+．【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理可得∠DOA＝90°，进而可以证明结论；（2）过点D作DM⊥AM于点M，根据∠C＝45°．可得三角形MAD是等腰直角三角形，利用直角三角形的性质可得AB的长．【详解】（1）证明：如图，连接OA，∵∠C＝45°，∴∠DOA＝90°，∴AO⊥OD，∵ABOD，∴OA⊥AB，∵OA是半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：连接OC，∵OD＝CD＝2，∴△OCD为等边三角形， ∴，过点D作DM⊥AB交AB于点M， △DAM为等腰直角三角形，∵DA＝2，∴AM＝2，DM＝2，MB＝，∴AB＝2+．17．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据题意，推导得DE＝BC，DE∥BC，从而得BCDE是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线性质，证明BE＝DE，即可解决问题；（2）结合题意，根据特殊角度三角函数的性质，得∠ADB＝30°，根据直角三角形两锐角互余的性质，得；再结合菱形及三角形内角和性质，得直角△ACD，通过三角函数性质计算，即可解决问题．【详解】∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD＝90°，AE＝DE，∴BE＝DE，∴四边形BCDE是菱形．（2）连接AC∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，∴AB＝BC＝1，∵AD＝2BC＝2，∴sin∠ADB＝ ∴∠ADB＝30°，∴ ,∠ADC＝2∠ADB＝60°，∴∠DAC＝30°，∴ ∵在Rt△ACD中， AD＝2BC＝2，∴AC＝＝．18．计算：．【答案】【分析】直接利用二次根式的化简、负指数幂的性质、零指数幂以及三角函数的常用值分别进行化简后计算即可得出结果．【详解】解：原式，