2022-2023 数学京改版新中考精讲精练 考点13二次函数的图象与性质

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考点13二次函数的图象与性质 考点总结 1．二次函数的定义一般地，形如（、、是常数，）的函数叫二次函数．其中是自变量，、、分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．注意：和一元二次方程类似，二次项系数，而、可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 2．二次函数的画法五点绘图法：顶点、与坐标轴交点及对称点；一般我们选取的五点为：（1）顶点；（2）与轴的交点；或关于对称轴对称的点．（3）与轴的交点，；若与轴没有交点，则取两组关于对称轴的对称点．3．二次函数的图象与性质二次函数或（）的性质： （1）开口方向：a＞0，开口  向上   ；a＜0，开口  向下   ．（2）对称轴： （或）（3）顶点坐标： （或）（4）最值：时，有最小值（或）（如图1）；时，有最大值（或）（如图2）；（5）增减性：二次函数（）的变化情况①如图1所示，当时，对称轴左侧随着的增大而减小；对称轴右侧随着的增大而增大；②如图2所示，当时，对称轴左侧随着的增大而增大；对称轴右侧随着的增大而减小；    4．二次函数的解析式（1）一般式：（，，为常数，）；（2）顶点式： （，，为常数，）；（3）两根式： （，，是抛物线与轴两交点的横坐标）． 5．二次函数的变换（1）图象平移：上加下减常数项、左加右减自变量（2）图象对称：关于轴对称： ；关于轴对称：；关于原点对称： ． 6．二次函数图象与x轴交点个数图象与轴的交点根的情况根的判别式两个交点两个不等实根一个交点两个相等实根无交点无实根 7．二次函数图象与系数a，b，c的关系（1）决定抛物线的开口方向和开口大小．当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大．（2）和共同决定抛物线对称轴的位置：当时，抛物线的对称轴为轴；当、同号时，对称轴在轴的左侧；当、异号时，对称轴在轴的右侧．（3）的大小决定抛物线与y轴交点的位置（抛物线与轴的交点坐标为）．当时，抛物线与轴的交点为原点；当时，交点在轴的正半轴；当时，交点在轴的负半轴．真题演练 一、单选题1．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（    ）A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系2．如图，一架梯子AB靠墙而立，梯子顶端B到地面的距离BC为，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距离x满足的函数关系是（    ）A．正比例函数关系 B．一次函数关系C．二次函数关系 D．反比例函数关系3．如图，是函数（0≤x≤4）的图象，通过观察图象得出了如下结论：（1）当x>3时，y随x的增大而增大；（2）该函数图象与x轴有三个交点；（3）该函数的最大值是6，最小值是﹣6；（4）当x > 0时，y随x的增大而增大．以上结论中正确的有（   ）个A．1 B．2 C．3 D．44．四位同学在研究函数y=-x2+bx+c（b，c是常数）时，甲同学发现当x=1时，函数有最大值；乙同学发现函数y=-x2+bx+c的图象与y轴的交点为（0，-3）；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x=3时，函数的值为0．若这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是（    ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．已知二次函数，当和时对应的函数值相等，则下列说法中不正确的是（    ）A．抛物线的开口向上 B．抛物线与y轴有交点C．当时，抛物线与x轴有交点 D．若是抛物线上两点，则6．如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为； ②若点在这个二次函数图象上，则；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为； ④当时，，所有正确结论的序号是（    ）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④7．如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子滑车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．下图记录了原子滑车在该路段运行的与的三组数据、、，根据上述函数模型和数据，可推断出，此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离满足（    ）A． B． C． D．8．将抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（　　）A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x﹣3）2 D．y＝2（x+3）29．已知一个二次函数图象经过，，，四点，若，则的最值情况是(　　　)A．最小，最大 B．最小，最大C．最小，最大 D．无法确定10．如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（   ）A． B．C． D．二、填空题11．二次函数的图象与x轴无交点，写出一个满足条件的实数c的值为_________．12．有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线x＝4；乙：顶点到x轴的距离为2，请你写出一个符合条件的解析式：_________．13．京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐．如图，在平面直角坐标系中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点D的坐标为，为半圆的直径，且，半圆圆心M的坐标为．关于图形G给出下列四个结论，其中正确的是________（填序号）．①图形G关于直线对称；②线段的长为；③图形G围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；④当时，直线与图形G有两个公共点．14．写出一个图象开口向上，顶点在x轴上的二次函数的解析式_______．15．如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为_____．三、解答题16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x（a≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；（2）记y＝ax2+x（x≥0）的图象为G1，将图象G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，G1与G2组合为图形G．点M（t，y1），N（t+a，y2）为图形G上任意两点．①当t＝0时，都有y1＞y2，求a的取值范围；②当﹣≤t≤时，都有y1＞y2，直接写出a的取值范围．17．在平面直角坐标系中，点A是抛物线的顶点．（1）求点A的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若射线与x轴所成的锐角为，求m的值；（3）将点向右平移4个单位得到点Q，若抛物线与线段只有一个公共点，直接写出m的取值范围____．18．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上．（1）若，求该抛物线的对称轴；（2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由．