2022-2023学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．下列关系中正确的个数是（    ）

①    ②    ③    ④

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据集合与元素的关系逐一判断即可.

【详解】解：，故①正确；

，故②正确；

，故③错误；

，故④正确，

所以正确的个数是3个.

故选：C.

2．设集合，．下列表示正确是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合与集合之间的关系即可得解.

【详解】元素与集合之间的关系用属于符号来表示，集合与集合之间的关系用包含符号来表示，故排除ACD，

又，，所以，故B正确.

故选：B.

3．设，，则下列命题正确的是（    ）．

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【解析】列举特殊数值，排除选项.

【详解】A.时，，故A不成立；

B.当时，，故B不成立；

C.当时，，故C不成立；

D.若，根据函数在的单调性可知，成立，故D正确.

故选：D

4．不等式解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可.

【详解】解：方程的解为，

所以不等式解集为.

故选：D.

5．已知函数则函数定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据被开方数非负和分母不等于零，列出不等式组即可求解.

【详解】要使函数有意义，则

，

解得且，

所以函数的定义域为，

故选：D．

6．命题p：存在一个整数n，使是4的倍数．则p的否定是（    ）

A．，不是4的倍数． B．，是4的倍数

C．，不是4的倍数 D．，是4的倍数

【答案】A

【分析】由命题的否定的定义判断．

【详解】特称命题的否定是全称命题，

因此命题的否定是：，不是4的倍数．

故选：A．

7．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为和.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（    ）

A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元

【答案】C

【分析】根据题意建立相应的函数模型，转化为求函数的最大值问题求解即可.

【详解】设公司在甲地销售辆，则在乙地销售辆，公司获利为，∴当或10时，最大，为120万元.故选C.

【点睛】本题主要考查函数模型的实际应用，利用数学知识建立相应的函数模型，将实际问题转化为数学问题，注意实际问题背景下的自变量取值范围，属于基础题.

二、多选题

8．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】AC

【分析】根据同一函数的定义域，对应法则相同，依次判断即可.

【详解】选项A，两个函数定义域都为，且，对应法则一样，故为同一函数；

选项B，定义域为，定义域为，不为同一函数；

选项C，两个函数定义域都为，且，对应法则一样，故为同一函数；

选项D，定义域为，定义域为，不为同一函数.

故选：AC

9．如果命题：是真命题，那么下列说法一定正确的是（    ）

A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件

C．q是p的必要条件 D．q是p的充分条件

【答案】AC

【分析】根据充分必要条件的概念即可得解.

【详解】因为命题“是真命题，

所以p是q的充分条件，q是p的必要条件，故AC正确，BD错误.

故选：AC

10．下列关于函数，的说法正确的是（    ）

A．当时，此函数的最大值为1，最小值为

B．当时，此函数的最大值为，最小值为1．

C．当时，此函数的最大值为1，最小值为

D．当时，此函数的最大值为最小值为1

【答案】AD

【分析】根据一次函数的单调性求出最值即可.

【详解】解：当时，函数为减函数，

所以当时，，当时，，故A正确，B错误；

当时，函数为增函数，

所以当时，，当时，，故C错误，D正确.

故选：AD.

11．已知函数，关于函数的结论正确的是（    ）

A．的值域为 B．

C．若，则x的值为 D．的解集为

【答案】ABC

【分析】根据分段函数的定义，分段求值域整合后得函数的值域可判断A，计算函数值判断B，分类讨论解函数方程后判断C，分类讨论解出不等式后判断D．

【详解】，B正确；

时，，时，，，

所以，即值域为，A正确；

时，，不合题意，舍去，时，，（舍去），所以，C正确 ；

当时，，，所以，

时，，，

综上，的解集为或，D错．

故选：ABC．

12．如图为二次函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．方程的解集为 B．不等式的解集为

C．不等式解集为 D．函数的最大值为

【答案】ACD

【分析】根据函数图像可知方程的解为，从而可求得，再根据一元二次方程的解法即可判断A，根据一元二次不等式的解法即可判断BC，根据二次函数的性质即可判断D.

【详解】解：由图可知，方程的解为，

则，即，

对于A，方程即为，解得或，

所以方程的解集为，故A正确；

对于B，不等式即为，

由A选项知，不等式的解集为，故B错误；

对于C，不等式即为，解得，

所以不等式解集为，故C正确；

对于D，，

当时，函数取得最大值，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知，．若，则___________．

【答案】0

【分析】利用集合相等的定义求解，再根据集合元素的互异性即可.

【详解】因为,所以,解得或,

若与集合中元素的互异性矛盾, 若满足集合中元素的互异性,

所以.

故答案为：0

14．已知x>2，x+（a>0）最小值为3.则a=__________.

【答案】##0.25

【分析】利用基本不等式可得，结合条件即得.

【详解】∵，，

∴，

当且仅当，即取等号，

∴，解得.

故答案为：.

15．把长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小的面积之和是________．

【答案】2 cm2．

【详解】试题分析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4﹣x）cm，则可得到这两个正三角形面积之和，利用二次函数的性质求出其最小值．

解：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4﹣x）cm，两个三角形的面积和为

S=x2+（4﹣x）2=x2﹣2x+4．

令S′=x﹣2=0，则x=2，所以Smin=2．

故答案为2 cm2．

点评：本题考查等边三角形的面积的求法，二次函数的性质及最小值的求法．

16．已知函数是上的减函数,则实数的取值范围是___________．

【答案】

【分析】由于分段函数单调递减,只需每一段都是单调递减,接口的地方也满足单调递减即可.

【详解】解:由题知是上的减函数,

,

解得:,

综上:.

故答案为:

四、解答题

17．已知集合，．

(1)求：，．

(2)求：，．

【答案】(1)或，或；

(2)R，或或

【分析】根据集合的交、并、补运算求解即可.

【详解】（1）由题意，，

故或，或；

（2）由题意，或，，或，

故，或或.

18．若不等式的解集是.

（1）解不等式；

（2）为何值时，的解集为空集.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】（1）转化条件为，和1是方程的两根，进而可得，再解一元二次不等式即可得解；

（2）转化条件为的解集为，再由一元二次不等式恒成立可得，即可得解.

【详解】（1）由题意可知，和1是方程的两根，

所以，解得，

所以不等式即为， 解得或，

所以所求不等式的解集为或；

（2）若的解集为空集，

则的解集为，

则，

所以.

【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

19．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为．

(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到0.1千辆/时）？

(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？

【答案】(1)千米/时，千辆/时

(2)

【分析】（1）函数解析式的分子分母同时除以v，然后利用基本不等式求出函数的最大值以及取得最大值时v的值．

（2）由条件列出不等式，求解即可．

【详解】（1）依题意，

当且仅当，即（千米/时）时，等号成立．

最大车流量千辆/时．

（2）由条件得，整理得，解得，

故汽车的平均速度应该在范围内．

20．已知p：．q：．且p是q的必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】

【详解】由得：，即.

所以，设集合，，

因为p是q的必要条件，所以，

所以包含集合，

即满足不等式，

设，要使满足不等式，

则有，即，所以，

故所求实数a的取值范围是.

21．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x，m为何值时，函数f(x)是：

（1）正比例函数；

（2）反比例函数；

（3）幂函数．

【答案】（1）m＝1；（2）m＝－1；（3）m＝－1±.

【分析】根据正比例函数、反比例函数和幂函数的概念求解.

【详解】（1）若函数f(x)为正比例函数，

则

∴m＝1.

（2）若函数f(x)为反比例函数，

则

∴m＝－1.

（3）若函数f(x)为幂函数，

则m2＋2m＝1，

∴m＝－1±.

【点睛】本题主要考查正比例函数、反比例函数和幂函数的概念，属于基础题.

22．已知函数．

(1)求函数的值域；

(2)判断函数的奇偶性．

(3)证明：函数的在上单调递减．

【答案】(1)

(2)为偶函数

(3)证明见解析

【分析】（1）首先求出函数的定义域，再由基本不等式计算可得；

（2）根据奇偶性的定义判断即可；

（3）利用定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.

【详解】（1）解：对于函数，则，解得，所以函数的定义域为，

则，所以，当且仅当，即时取等号，

所以函数的值域为；

（2）解：为偶函数，

证明：因为的定义域为，关于原点对称，

且，故为偶函数；

（3）证明：设任意的且，

则

因为且，

所以，，，

所以，即，

即的在上单调递减.