2021-2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高二下学期3月质量检测数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高二下学期3月质量检测数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．江夏一中高一年级共16个班，高二年级共15个班，从中选出一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有的安排方法种数是
A．16B．15
C．31D．240
【答案】C
【解析】直接利用分类加法原理计算，即可得答案.
【详解】根据分类加法原理计算，.
故选：C.
【点睛】本题考查分类加法原理的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
2．4个班级学生从3个风景点中选择一处游览，不同的选择种数有
A．36种B．24种
C．64种D．81种
【答案】D
【解析】每个班级学生从3个风景点中选择一处游览，各有3种情况，利用分步乘法原理，即可得答案.
【详解】每个班级学生从3个风景点中选择一处游览，各有3种情况，
∴不同的选择种数有.
故选：D.
【点睛】本题考查分步乘法原理的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
3．二项式的展开式中第项是常数项，则的值是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二项展开式的通项公式，得第7项x的指数，利用指数为零，求出n的值．
【详解】二项式的展开式中第项为
，
由于第7项为常数项，则n﹣9＝0，解得n＝9
故选B．
【点睛】本题考查二项展开式的通项公式的理解与应用，属于基础题．
4．武汉疫情爆发后，某医院抽调3名医生，5名护士支援武汉的三家医院，规定每家医院医生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有（ ）
A．900种B．1200种C．1460种D．1820种
【答案】A
【分析】结合分步计数原理以及全排列和部分平均分组问题即可求出结果.
【详解】解：根据题意，分2步进行分析：
①将3名医生安排到三家医院，有种安排方法，
②将5名护士分为3组，安排到三家医院，有种安排方法，
则有种不同的安排方案，
故选：A.
5．四面体的顶点和各棱中点共10个点, 在其中取4个不共面的点, 则不同的取法共有
A．150种B．147种C．144种D．141种
【答案】D
【详解】试题分析： 从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的 情况有三类．第一类，取出的 4个点位于四面体的 同一个面上，有4种；第二类，取任一条棱上的 3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的 取法共有－4－6－3=141种
【解析】本题考查排列组合的应用．
点评：典型题，注意间接法与直接法的灵活运用，有时使用间接法简便．易错题，考虑问题要全面．
6．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，且是奇数，其中恰有两个数字是偶数，则这样的五位数的个数为（ ）．
A．7200B．6480C．4320D．5040
【答案】B
【解析】以偶数数字取不取0，分两类讨论，每类用先取后排的策略即可
【详解】第一类，偶数数字取0
先从1，3，5，7，9中取3个奇数，从2，4，6，8中取1个偶数，
有中取法，然后将个位数排一个奇数，十位、百位、千位
选一个出来排0，剩下3个数字全排列，即有种排法
所以本类满足条件的五位数有个
第二类，偶数数字不取0，
先从1，3，5，7，9中取3个奇数，从2，4，6，8中取2个偶数，
有中取法，然后将个位数排一个奇数，剩下4个数字全排列，
即有种排法
所以本类满足条件的五位数有个
综上：这样的五位数个数为
故选：B
【点睛】数字问题是排列中的一大类问题，特别注意带有数字零的题目，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏.
7．根据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为，连续2天有客人入住的概率为,在该房间第一天有客人入住的条件下,第二天也有客人入住的概率为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先设出所求的概率为P，根据题中的条件，可以列出P所满足的等量关系式，从而求得相应的结果.
【详解】设第二天也有客人入住的概率为P，根据题意有，解得，故选D.
【点睛】该题考查的是有关两个事件同时发生的概率问题，也可以看做是有关条件概率的问题，在解题的过程中，需要正确应用公式求得结果.
8．已知为满足（ ）能被9整除的正数的最小值，则的展开式中，系数最大的项为（ ）
A．第6项B．第7项C．第项D．第6项和第7项
【答案】B
【解析】利用二项式定理的展开式，可得能被9整除的正数的最小值是， ，
即，的展开式中的通项公式： ，只考虑为偶数的情况，
【详解】
，能被9整除的正数 的最小值是，．
，
的展开式中的通项公式： ，
只考虑为偶数的情况，， ，，
可知：系数最大的项为第7项．
故选：B．
【点睛】本题考查二项式定理的应用、整除的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
二、多选题
9．2名女生、4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有种.
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】由题意，先排男生，再插入女生，可得选项B正确，或用减法，先进行全排列再减去女生相邻的情况，可得选项C正确．
【详解】由题意，可先排男生，再插入女生，可得两名女生不相邻的排法共有，故B正确；
也可先进行全排列，则2名女生相邻情况为，则2名女生不相邻的排法有，故C正确；
故选：BC.
【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.
10．有四位学生参加三项不同的竞赛，则下列说法正确的是（ ）
A．每位学生必须参加一项竞赛，则不同的参赛方法有64种
B．每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有81种
C．每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有24种
D．每位学生只参加一项竞赛，每项竞赛至少有一位学生参加，则不同的参赛方法有36种
【答案】CD
【分析】根据题意，依次分析选项,利用分步乘法计数原理求解.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，每位学生必须参加一项竞赛，则每位学生都有三种参赛方法，故四位学生有种．A不正确；
对于B，每项竞赛只许有一位学生参加，每一项可以挑4名不同的学生，故有种．B不正确；
对于C，原问题等价于从4个学生中挑选3个学生去参加三个项目的竞赛，每人参加一项，故共有种，C正确；
对于D，先把四个学生分成三组，再分配到三个比赛中，故共有种．D正确；
故选：CD．
11．将四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，不允许有空盒子，下列结果正确的有（ ）
A．B． C．D．18
【答案】BC
【分析】根据题意，分析可得三个盒子中有1个中放2个球，有2种解法：
(1)分2步进行分析：①、先将四个不同的小球分成3组，②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案；
(2)分2步进行分析：①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，由分步计数原理计算可得答案，综合2种解法即可得答案．
【详解】根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：
(1)分2步进行分析：
①、先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法；
②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法；
则没有空盒的放法有种；
(2)分2步进行分析：
①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种情况；
②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有种放法；
则没有空盒的放法有种；
故选：BC．
12．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则（ ）
A．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有种
B．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有种
C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种
D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种
【答案】ACD
【分析】由题意知本题是一个组合问题，抽出的三件产品恰好有一件不合格品，则包括一件不合格品和两件合格品，共有种结果，则A正确B错误；根据题意，“至少有1件不合格品”可分为“有1件不合格品”与“有2件不合格品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案C正确； “至少有1件次品”的对立事件是“三件都是合格品”，用事件总数减去“三件都是合格品”的种数可得D正确．
【详解】由题意知，抽出的三件产品恰好有一件不合格品,
则包括一件不合格品和两件合格品,
共有种结果，则选项A正确，B不正确；
根据题意,"至少有1件不合格品"可分为"有1件不合格品"与"有2件不合格品"两种情况,
"有1件不合格品"的抽取方法有种,
"有2不合格次品"的抽取方法有种,
则共有种不同的抽取方法,选项C正确；
"至少有1件不合格品"的对立事件是"三件都是合格品"，
"三件都是合格品"的抽取方法有种,
抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有，选项D正确；
故选：ACD.
三、填空题
13．在同一个平面内有一组平行线共6条，另一组平行线共7条，这两组平行线相互不平行，则它们共能构成________个平行四边形.（用数字作答）
【答案】315
【分析】从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形,利用分步计数原理即得解.
【详解】从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形：
因此共能构成：个平行四边形.
【点睛】本题考查了排列组合问题的实际应用，考查了学生转化与划归，综合分析的能力，属于中档题.
14．在考试中,需回答三个问题,考试规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是_____.
【答案】-300,-100,100,300
【详解】若答对0个问题得分；若答对1个问题得分；若答对2个问题得分；若问题全答对得分.
故答案为，，，.
点睛：本题考查的是离散型随机变量及其分布列，要理解题中的含义.
15．已知，则=____.
【答案】32
【解析】对多项式进行变形得，再研究展开式中的项，即可得答案.
【详解】对多项式进行变形得，
∴，
当时，.
故答案为：.
【点睛】本题考查二项式定理求展开式指定项的系数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
16．某医疗队甲、乙、丙等8名护士站成一排照相，其中甲、乙2人之间要站2人，乙、丙2人之间也要站2人，则共有______种不同的排列方式．（用数字作答）
【答案】480
【分析】先将除甲、乙、丙3人之外的5个人进行全排列，然后根据题意利用插空法进行求解即可．
【详解】先让其余5个人排成一排，共有种排法，再把甲、乙、丙3人插入，3人的顺序只能为甲、乙、丙或丙、乙、甲，当甲的位置确定后，乙、丙的位置也能确定．对于甲来说，甲可选的位置是其余5人排好后形成的6个空位中最左端（或最右端）2个中的1个，所以在其余5人排好后的每一种情况下甲可选的位置共有4个，故不同的排列方式有（种）．
故答案为：
四、解答题
17．江夏一中将要举行校园歌手大赛，现有2男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结果用数字作答）
(1)如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
(2)如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先排2位男选手，再将3位女选手排到2为男选手形成的三个空上即可；
（2）先排好2男3女参加活动的所有可能出场顺序，再取一半即可.
【详解】(1)解：根据题意，先排2位男选手，有种，
再将3位女选手排到2为男选手形成的三个空上，有种，
所以，如果3个女生都不相邻，有种不同的出场顺序.
(2)解：先排好2男3女参加活动的所有可能出场顺序，有种，
其中女生甲在女生乙的前面的占了一半，
所以，女生甲在女生乙的前面，有种不同的出场顺序.
18．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）转化为求展开式各项系数和（2）利用赋值法求展开式偶次项的系数数和
【详解】(1)即展开式各项系数和，
在展开式中, 令,可得
(2)设,
则
19．已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品．
(1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第6次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？
(2)若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？
【答案】（1）840；（2）936.
【解析】（1）若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第6次才找到最后一件次品，则第2次，第6次，与第3至第5次选出1次，在这三个位置进行次品全排列，剩下的三个位置再对正品进行全排列，即可得答案.；
（2）分检测3次可测出3件次品，检测4次可测出3件次品，检测5次测出3件次品，对检测5次时再分为两类：一类是恰好第5次测到次品，一类是前5次测到都是正品，即可得答案.
【详解】（1）若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第6次才找到最后一件次品，则第2次，第6次，与第3至第5次选出1次，在这三个位置进行次品全排列，剩下的三个位置再对正品进行全排列，所以共有：．
（2）检测3次可测出3件次品，不同的测试方法有种，
检测4次可测出3件次品，不同的测试方法有种；
检测5次测出3件次品，分为两类：一类是恰好第5次测到次品，一类是前5次测到都是正品，不同的测试方法共有种．
∴满足条件的不同测试方法的种数为．
【点睛】本题考查分步计数问题，考查排列组合的实际应用，考查用排列组合数表示方法数，是中档题．
20．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题：
（1）求的值；
（2）求展开式中常数项；
（3）计算式子的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，可得，由此求得的值．
（2）在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项．
（3）令代入计算可得．
【详解】解：（1）二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，即，解得或（舍去）．
（2）解：由（1）知，∴，
∴，
由，得，∴展开式中常数项．
（3）解：令得．
21．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
（1）求当天商店不进货的概率；
（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）由古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求解即可；
（2）求出X的可能取值，再用古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求出概率，即可求解
【详解】（1）记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，
则；
（2）由题意知，X的可能取值为2，3.
P(X＝2) ＝P(当天商品销售量为1件)＝；
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)
＝，
故X的分布列为：
22．某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法，（用数字回答）
（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；
（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；
（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加.
【答案】（1）4096种；（2）360种；（3）1560种.
【分析】（1）根据分步计数原理直接计算可得，然后可得结果.
（2）依据题意，计算，可得结果.
（3）先分组，可得，后排列，可得，简单计算可得结果.
【详解】（1）每人都可以从这四个项目中选报一项，各有4种不同的选法，
由分步计数原理知共有种．
（2）每项限报一人，且每人至多报一项，因此可由项目选人，
第一个项目有6种不同的选法，第二个项目有5种不同的选法，
第三个项目有4种不同的选法，第四个项目有3种不同的选法，
由分步计数原理得共有报名方法种．
（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加，
因此需将6人分成4组，有种．
每组参加一个项目，
由分步计数原理得共有种．
【点睛】本题考查分步计数原理的计算，分清楚哪个有剩余哪个不剩余以及常用先分组后排列方法，审清题意，细心计算，属基础题.
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
X
2
3
P