2022-2023学年湖南省衡阳市第一中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省衡阳市第一中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则集合A的子集的个数为（    ）

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】D

【分析】用列举法表示集合A，再写出其子集即可作答.

【详解】集合，

则集合A的子集有：，共8个，

所以集合A的子集的个数为8.

故选：D

2．设R，则“>1”是 “>1”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】因为，则，而，可以有，即不一定成立，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

3．下列函数中，是偶函数且在(0，+∞)上是减函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由偶函数的定义及函数的单调性对选项逐个判断，即可得到结果.

【详解】对于A选项，的定义域为，故不具有奇偶性，A错误；

对于B选项，为奇函数，定义域为，故B错误；

对于C选项，为偶函数，并且在(0，+∞)上是减函数，故C正确；

对于D选项，为非奇非偶函数，故D错误.

故选：C.

4．不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，分和解一元二次不等式作答.

【详解】依题意，当时，不等式化为：，即，则有，

当时，不等式化为：，即，则有，

所以不等式的解集为.

故选：C

5．设非空集合，满足，且，则下列选项中错误的是（    ）

A．，有 B．，使得

C．，使得 D．，有

【答案】D

【分析】由已知条件可得，Q⫋P，再结合特殊值法，即可求解．

【详解】∵P∩Q＝Q且P≠Q，∴Q⫋P，∴ABC正确；

不妨设Q＝{1，2}，P＝{1，2，3}，

3∉，但3∈P，故D错误．

故选：D

6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答.

【详解】函数的定义域为，则，因此在中，，

函数有意义，必有，解得，

所以函数的定义域为.

故选：C

7．若正数，b满足，则的最小值为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】C

【分析】根据给定条件，变形式子，再利用“1”的妙用求解作答.

【详解】正数，b满足，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为8.

故选：C

8．已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题意得，，则为奇函数且在上单调递增，不等式对任意实数恒成立，则在恒成立，分离参数，又因为（当且仅当时，取等号），则，故选D.

【点睛】本题主要考查函数的恒成立问题的转化，基本不等式的应用，解题的关键是由已知函数的解析式判断出函数的单调性及函数的奇偶性，利用参变分离法是解决不等式恒成立问题常用方法.

二、多选题

9．函数，若函数在[2，+∞)上是增函数.则a的取值有可能是（    ）

A．0 B．-  C． D．

【答案】ACD

【分析】分和时两种类型讨论，利用一次函数二次函数的性质，求解函数在区间内为增函数的条件.

【详解】解：当时，，在R上是增函数，符合题意；

当时，∵函数在上是增函数，

  ，解得，

则有时，函数在上是增函数.

故选：ACD

10．已知b<a<0，则下列结论正确的是（    ）

A．<1 B．ab< C． D．

【答案】BC

【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断作答.

【详解】因为，则有，A错误；

因为，则有，B正确；

因为，则有，即，C正确；

因为，则有，D错误.

故选：BC

11．已知a，b都是正实数，且.则下列不等式成立的有（    ）

A． B．+ C． D．

【答案】ACD

【分析】根据给定条件，利用均值不等式即可判断每个选项

【详解】，且，

对于A，，当且仅当时取等号，A正确；

对于B，，当且仅当时取等号，B错误；

对于C，，当且仅当时取等号，C正确；

对于D，由选项A知，，当且仅当时取等号，D正确.

故选：ACD

12．已知函数在上单调递减，则a的取值范围错误的是（    ）

A．0<a B． C．0<a D．0<a

【答案】BCD

【分析】根据给定的函数，利用单调性结合函数有意义的条件求出参数a的取值范围即可求解作答.

【详解】因为函数在上单调递减，则在处取得最小值，此时取最小，

因此，解得，

所以a的取值范围是，显然选项A正确，选项BCD都是错误的.

故选：BCD

三、填空题

13．若幂函数在单调递减，则___________

【答案】

【解析】幂函数具有的形式

【详解】为幂函数

故，故或

或

在单调递减，故

故答案为：

14．已知函数 且，则正数的值为______ .

【答案】##

【分析】根据函数的单调性进行求解即可.

【详解】当时，函数单调递增，有，

当时，函数单调递增，有，

因为，

所以有，

故答案为：

15．已知函数在上是奇函数，且在上是减函数，且f(1)=0，则使得的x的取值范围是________.

【答案】

【分析】根据给定条件，确定函数在上单调性，再利用奇函数及单调性解不等式作答.

【详解】函数在上是奇函数，且在上是减函数，则在上是减函数，

，当时，，则有，

当时，，则有，

所以使得的x的取值范围是.

故答案为：

16．定义在R上的函数f(x)满足x，yR，且f(0)0， f(a)=0 (a>0). 则下列结论正确的序号有________.①f(0)=1；②；③；④.

【答案】①②④

【分析】根据给定的函数等式，对变量赋值依次计算判断各个命题作答.

【详解】x，yR，且f(0)0，

对于①，取，得，因此，①正确；

对于②，取，得，，因此，，②正确；

对于③，取，得，而f(a)=0，

则有，由②知，

于是，因此，，③错误；

对于④，取，得，因为f(a)=0，，因此，④正确.

故答案为：①②④

【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可.

四、解答题

17．已知函数．

(1)求的定义域，并判断函数的奇偶性；

(2)用定义证明函数在上是减函数．

【答案】(1)；奇函数

(2)证明过程见详解

【分析】（1）由分式的性质直接写出定义域，由函数的奇偶性定义判断证明即可；

（2）利用单调性定义证明即可．

【详解】（1）依题意可得，所以的定义域为，

函数为奇函数，证明如下：

由，

又的定义域为，

所以函数为奇函数；

（2）令，则，

又，，则，

所以，故函数在上是减函数．

18．已知集合，，且．

(1)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围；

(2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围。

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）命题可转化为，又，列出不等式控制范围，即得解；

（2）命题可转化为，先求解，且时，实数的范围，再求解对应范围的补集，即得解

【详解】（1）因为命题：“，”是真命题，所以，又，

所以，解得

（2）因为，所以，得．

又命题：“，”是真命题，所以，

若，且时，则或，且

即

故若，且时，有

故实数的取值范围为

19．设函数 (a为常数）.

(1)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围；

(2)在（1）的条件下，求在上的最小值.

【答案】(1)；

(2)最小值.

【分析】（1）根据给定的函数，利用分段函数的单调性列出不等式，求解作答.

（2）利用（1）的结论，按对称轴与区间的关系，分类求解作答.

【详解】（1）因为函数在R上是增函数，则有，解得，

所以a的取值范围是.

（2）函数图象的对称轴为，由（1）知，而，

当时，函数在上单调递增，当时，，

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，

当时，函数在上单调递减，当时，，

所以函数在上的最小值.

20．已知函数 (a0).

(1)若函数的定义域为R，求a的取值范围；

(2)若是偶函数，试研究函数的单调性.

【答案】(1)；

(2)在上单调递减，在上单调递增.

【分析】（1）根据给定条件，利用二次函数值不小于0恒成立，列出不等式求解作答.

（2）利用函数的奇偶性求出a，再探讨函数单调性作答.

【详解】（1）依题意，函数的定义域为R，即，恒成立，而，

因此，解得，

所以a的取值范围是.

（2）函数是偶函数，即函数是偶函数，

则二次函数的对称轴是y轴，因此，有，

函数定义域为R，二次函数在上单调递减，在上单调递增，

若，有，则，

即，则函数在上单调递减；

若，有，则，

即，则函数在上单调递增，

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

21．某厂家拟举行促销活动，经调查测算该产品的年销售量(即该厂的年产量)t万件与年促销费用x万元满足关系式 ( k为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是1万件，已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每万件产品的销售价格定为万元.

(1)将该产品的年利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；

(2)该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的年利润最大?

【答案】(1)

(2)促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.

【分析】（1）当时，，可得k的值，即得t关于x的解析式；由销售价格可得利润，整理即可．

（2）由利润函数，利用基本不等式求最大值即可．

【详解】（1）由题意知，当时，，有， ∴，

每万件产品的销售价格定为万元，则利润函数 ：

，.

（2），

由，∴，当且仅当 即（万元）时，（万元）．

所以，该厂家促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．

22．已知________，且函数.①函数在上的值域为；②函数在定义域上为偶函数.请你在①②两个条件中选择一个条件，将上面的题目补充完整.

(1)求a，b的值；

(2)求函数在R上的值域；

(3)设，若，使得成立，求c的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据所选条件，利用函数的单调性和奇偶性求a，b的值；

（2）根据函数解析式，利用函数奇偶性结合基本不等式，求函数在R上的值域；

（3）由已知条件，分类讨论即可求解.

【详解】（1）选①函数在上的值域为，

，函数在上单调递增，可得，解得．

选②函数在定义域上为偶函数，

可得，解得.

所以.

（2），函数定义域为R，因 ， 则为奇函数．

当时，，由，当且仅当，即时等号成立，所以；

当时，因为为奇函数，所以；

当时，；

所以的值域为 .

（3）若，使得成立，则有，即，

当时，，不合题意；

当时，在上单调递增，，解得；

当时，在上单调递减，，解得；

所以c的取值范围为.