2021-2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期9月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期9月月考数学试题

一、单选题

1．下列关系中正确的个数是（     ）

①，②，     ③，   ④

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】不是整数，是实数，不是正整数，是无理数

【详解】①错误②正确③错误④正确

故选：B

2．设集合，下列表示正确是（     ）

A．， B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意求得集合，结合集合的交运算和并运算，以及集合之间的包含关系，即可判断和选择.

【详解】因为，，则，

对：因为不是的子集，故错误；

对：因为不是的子集，故错误；

对：是的非真子集，故错误；

对：.故正确.

故选：.

3．铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（     ）

A．a + b + c ≤M B．a +b +c >M C．a + b + c ≥M D．a + b+ c <M

【答案】A

【分析】根据长、宽、高的和不超过Mcm可直接得到关系式.

【详解】长、宽、高之和不超过Mcm，

.

故选：A.

4．不等式解集为（       ）

A．{x|1<x<2} B．{x|－2<x<1 } C．{x|x>2或x<1} D．

【答案】D

【分析】利用一元二次不等式的解法即得.

【详解】∵，

∴，

∴不等式解集为．

故选：D.

5．已知，则的最值为（     ）

A．最小值2 B．最大值2 C．最小值3 D．最大值3

【答案】C

【分析】配凑目标式，利用基本不等式，即可求得目标式的最值.

【详解】因为，故，当且仅当时取得最小值3；

令，对函数，其在单调递减，在单调递增，无最大值.

故时，无最大值.

故选：C.

6．已知，，且，一次函数单调递增.则是的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据题意求得命题对应参数的取值范围，从集合的角度即可判断充分性和必要性.

【详解】对命题：因为，故可得；

对命题：一次函数单调递增，故可得，

因为是的真子集，故是的充分不必要条件.

故选：.

7．命题p:存在一个自然数n使n2>2n+5成立.则p的否定的符号形式及其真假为（       ）

A．n∈N，n2≤2n+5.   真 B．n∈N，n2≤2n+5.   假

C．n∈N，n2>2n+5.   假 D．n∈N，n2>2n+5.   真

【答案】B

【分析】对特称命题的否定为全称命题，再求解真伪即可.

【详解】由于p：存在一个自然数n使得 ，

∴其否定符号为：   ，

当n=5时， ，所以是假命题；

故选：B.

8．已知抛物线C为二次函数图象，直线l为一次函数的图象.当时，l 始终不在C的上方.则k的取值范围是（       ）

A．k ≤2－5 B．k ≥2－5 C．k ≤－1 D．k ≥－1

【答案】C

【分析】由题可得在上恒成立，然后分离参数求的最值即得.

【详解】由题可知当时，恒成立，

∴在上恒成立，

又,当且仅当，即取等号，

∴.

故选：C.

二、多选题

9．下列命题与说法正确的是（        ）

A．设a、b∈R，若，则. B．是<的必要不充分条件

C．若且.则的最大值为1 D．若，则a >>b

【答案】CD

【分析】利用特例可判断A，利用不等式的性质及充分条件，必要条件的定义可判断B，利用基本不等式可判断C，利用不等式的性质可判断D.

【详解】对于A，，但，故A错误；

对于B，由，，可得，而由推不出，故是的充分不必要条件，故B错误；

对于C，∵，，当且仅当，即取等号，

∴，即的最大值为1，故C正确；

对于D，∵，∴，即，故D正确.

故选：CD.

10．下列说法正确的是（        ）

A．由所有实数组成集合，由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合.均不存在.

B．，由5个2组成的集合.则

C．，FE，则可能有4个.

D．， 用列举法表示集合E为.

【答案】BC

【分析】根据集合之间的关系，以及集合的表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：由所有实数组成的集合是空集，

由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合是，都存在，故错误；

对：，由5个2组成的集合，根据集合中元素的互异性，

故，故正确；

对：，因为FE，

故为含有且是的子集，

共有4个，故正确；

对：，故错误.

故选：.

11．下列说法正确的是（        ）

A．已知命题p: 2个三角形三个内角对应相等，q:2个三角形全等.则“若q，则p”是q成立的性质定理.

B．集合M={x|2x-6>0}，N={x|-1<3x+2<8}.则x∈ 是x∈N的必要不充分条件.

C．已知全集U=AB={1，2，3…，8}，A∩ ={1，4，5，6}.则B={2，3，7，8}}

D． “x∈{y|y为两条对角线相等的四边形}，x为矩形”的否定为假命题.

【答案】ABC

【分析】根据逻辑联结词的含义进行判断即可.

【详解】对于A，若q则必然有p，显然p是q成立时所具有的性质，故正确；

对于B，    ，

则 ，∴若 则 ，反之，并不能推出，

若故B正确；

对于C，∵ ，能推出 ，

由于 ，∴，故C正确；

对于D，两条对角线相等的四边形也可以是等腰梯形，故原命题为假，其否定即为真，故D错误；

故选：ABC

12．下列说法正确的是（       ）

A．集合，M=

B．若a>0，b>0且ab=a+b+3，则ab的最小值为9

C．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象.则解集为{x|1≤x≤4}

D．不等式解集为R，则k取值范围为.

【答案】BCD

【分析】利用二次不等式的解法可判断ACD，利用基本不等式可判断B.

【详解】对于A，，故A错误；

对于B，∵a>0，b>0且，

∴，当且仅当时取等号，

∴，

∴，即，故B正确；

对于C，由题可得解集为{x|1≤x≤4}，故C正确；

对于D，当时，不等式，解集为R，

当时，不等式解集为R，

则，解得，

∴不等式解集为R，则k取值范围为，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为_________.

【答案】

【分析】数形结合，根据二次函数的图象，求得参数，再求一元二次不等式即可.

【详解】根据二次函数的图象可知，为方程的两根，

故，即，

则即，也即，

，解得或.

故不等式解集为.

故答案为：.

14．已知，.若，则______.

【答案】

【分析】根据集合与集合相等列式即可求解

【详解】因为

所以解之得：

故答案为：

15．已知x>2，x+（a>0）最小值为3.则a=__________.

【答案】0.25

【分析】利用基本不等式可得，结合条件即得.

【详解】∵，，

∴，

当且仅当，即取等号，

∴，解得.

故答案为：.

16．已知真分数（b>a>0）满足>>>，….根据上述性质，写出一个全称量词命题或存在量词命题（真命题）________

【答案】，（答案不唯一）

【分析】结合条件及全称量词命题、存在量词命题的概念即得.

【详解】∵真分数（b>a>0）满足>>>，…

∴，.

故答案为：，.

四、解答题

17．已知M由0，2，4，6，8组成的集合，.

(1)用列举法表示集合N，用描述法表示集合M（书写格式要规范）

(2)若x∈B而x ∉ A，则称B不是A的子集.结合集合M，N写出5个含M中3个元素但不是M的子集的集合.

【答案】(1)；且（答案不唯一）；

(2)（答案不唯一）.

【分析】（1）利用集合的列举法，描述法即得；

（2）结合条件及子集的概念即得.

【详解】(1)∵，

∴，

∵M由0，2，4，6，8组成的集合，

∴且（答案不唯一）；

(2)由题可得含M中3个元素但不是M的子集的集合为：

18．（1）已知a，b，c，d均为正数.求证：

（2）已知.求证：<的充要条件为x>y

【答案】详见解析.

【分析】（1）利用基本不等式即证；

（2）利用不等式的性质，由，可得<，由<，，可得，即证.

【详解】（1）∵a，b，c，d均为正数，

∴当且仅当时取等号，

同理可得，

∴，当且仅当时取等号；

（2）充分性，因为，，，

∴<，

必要性，因为<，，

所以，

综上，<的充要条件为 x > y.

19．已知全集，集合2，，.

(1)求，，

(2)如图①，阴影部分表示集合，求.

(3)如图②，阴影部分表示集合，求.

【答案】(1)，，或；

(2)或；

(3)或.

【分析】（1）求解不等式组解得集合，再根据集合的并运算和补运算即可求得结果；

（2）根据阴影部分可知，根据已知集合求解即可；

（3）根据阴影部分可知，根据已知集合求解即可.

【详解】(1)2，，

，或.

(2)因为

根据题意可得或.

(3)因为，

根据题意可得或.

20．立德中学高一年级共有200名学生，报名参加学校团委与学生会组织的社团组织，据统计，参加艺术社团组织的学生有103人，参加体育社团组织的学生有120人（并非每个学生必须参加某个社团）.求在高一年级的报名学生中，同时参加这2个社团的最多有多少人？最少有有多少人？

【答案】103；23.

【分析】由题可知当艺术社团组织的学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的人数最多，当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少.

【详解】由题意：当艺术社团组织的103名学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的学生最多，且有103人；

当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少，且有人，

所以同时参加这2个社团的最多有名学生，最少有名学生.

21．已知集合，

(1)求，B

(2)若集合，且为假命题.求m的取值范围.

【答案】(1)；或；

(2)或.

【分析】（1）利用二次不等式的解法可化简集合A，B，进而即得；

（2）由题可得为真命题，即，然后分，讨论即得.

【详解】(1)∵集合，

或，

∴，或，

∴或；

(2)∵为假命题，

∴为真命题，即，

又，，

当时，，即，；

当时，由可得，

，或，

解得，

综上，m的取值范围为或.

22．如图，计划在一面墙进行粉刷与装饰.墙长为18m.用彩带围成四个相同的长方形区域.

(1)若每个区域的面积为24m2，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域长和宽分别是多少米？求彩带总长最小值？

(2)若每个区域矩形长为x(m)如图， 宽为长的一半.每米彩带价格为5元，墙的粉刷与装饰费用每平方米为10元.总费用不超过180元.问每个区域应如何设计？

【答案】(1)每个区域的长和宽分别为6m和4m，彩带总长最小值为48m；

(2)每个区域矩形长为m，宽为m.

【分析】（1）设每个区域的长和宽分别为m和m,根据题意可得,则彩带总长为,再运用基本不等式求解的最小值即可.

（2）由题可得总费用，结合条件即得.

【详解】(1)设每个区域的长和宽分别为m和m,根据题意可得,

则彩带总长为，

当且仅当，即且时等号成立，

所以每个区域的长和宽分别为6m和4m时,彩带总长最小，且最小值为48m.

(2)由题知每个区域矩形长为 x m，宽为m， m，

则长方形区域的面积为，彩带总长为，

∴总费用，又总费用不超过180元，

∴，又，

∴，

故每个区域矩形长不超过m，费用不超过180元.