2024届湖南省衡阳市田家炳实验中学高三上学期8月测试数学试题含答案

这是一份2024届湖南省衡阳市田家炳实验中学高三上学期8月测试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届湖南省衡阳市田家炳实验中学高三上学期8月测试数学试题 一、单选题1．已知集合，集合为素数}，为奇数}.则集合=（    ）A．{2，4，6，8，10} B．{2，4，6，8，9，10}C．{1，2，4，6，8，9，10} D．{1，3，5，7，2}【答案】C【分析】根据集合的描述写出集合A、B，再应用集合的交补运算求集合.【详解】由题设，，则，所以.故选：C2．已知复数，关于y轴对称的复数，则下列结论正确的是（    ）A．的虚部为 B．C．的共轭复数 D．为纯虚数【答案】D【分析】根据已知条件，结合复数概念，几何意义，四则运算，即可逐一选项判断.【详解】，根据复数的几何意义，可得，的虚部为1，故A错误，根据复数模计算公式，故B错误，由共轭复数的概念，，故C错误，，为纯虚数，故D正确.故选：D.3．甲、乙、丙、丁四位学生随机分3组由3位老师带领参加比赛.已知每组至少有一名学生.则甲乙分在同一组的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知及组合数求满足题设分组的方法数，再确定甲乙分在同一组的方法数，即可求概率.【详解】四位同学任选2人为一组，其它2人各自成组，有种，甲乙分在同一组有1种情况，其概率为.故选：A4．已知等差数列的首项与公差d均为正数，且，，成等差数列，则，，的公差为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，，成等差数列直接列式，求出和的关系，进而求出结果.【详解】因为是公差为的等差数列，所以，因为成等差数列，所以，所以，即，所以，又因为，所以，则，故选：C.5．平面向量，已知，，且与向量的夹角是钝角.则在向量上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量垂直及模的坐标公式求出向量的坐标，最后根据投影公式直接计算即可【详解】设，因为，，所以，即①.又，所以②，由①②解得或，设，因为与向量的夹角是钝角，所以，所以.则在向量上的投影向量为.故选：B.6．已知条件为真命题，条件函数在上有最小值.则是的（    ）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．不充分也不必要【答案】A【分析】命题为真命题，当时，成立，当时，结合二次函数性质可求解的范围；对于命题，函数在上有最小值，对正负讨论，结合函数单调性和基本不等式可得解的范围；再结合充分必要条件关系可判断答案.【详解】命题为真命题，当时，结论显然成立，当时，，由二次函数性质可得，且，计算得，，综上，命题为真命题，则；对于命题，当时，在上是增函数，在上没有最小值，不合题意，当时，函数在上存在最小值，利用基本不等式，当且仅当时即，等号成立，则，解得，命题成立，则；是的充分不必要条件.故选：A.7．球O内接三棱锥，平面，.若，球O表面积为.则三棱锥体积最大值为（    ）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】利用线面垂直的性质有，，根据线面垂直的判定得面，进而易得都为直角三角形，找到外接球的球心为的中点，根据已知求球体半径，结合和基本不等式求体积最大值.【详解】由平面，面，则，，又，，面，所以面，由面，故，所以都为直角三角形，且为它们的斜边，所以的中点为棱锥外接球球心，如下图示，即球体半径，由，则，即，而，又，，即，故，仅当取等号，所以.故选：B8．已知，，，使成立.则a的取值范围（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】将问题化为在上成立，利用指对数的单调性求对应最值，再求解不等式解集即可.【详解】由题设，使成立，所以在上成立，对于，有，对于，有，所以，即，可得.故选：B 二、多选题9．某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表 矩形菱形圆总数A531055B12613125该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据题意直接列不等式即可求解.【详解】因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板，所以，因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板，所以.故选：BC.10．已知函数.将图象向右平移得到函数的图象.则（    ）A．B．的图象关于对称C．的图象关于对称D．在单增【答案】AC【分析】应用差角正弦公式、倍角余弦公式可得，根据图象平移写出解析式，代入法验证对称性，由正弦型函数的性质判断单调性.【详解】由，故，A对；由，故不是对称轴，B错；由，故是对称中心，C对；由，则，而在上不单调，D错.故选：AC11．高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（    ）  A．学生成绩众数估计为75分B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分C．在内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01D．从和内各抽1名学生，抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13【答案】AB【分析】根据频率分布直方图估计出众数，第75百分位数可判断AB；利用频率估计概率，古典概型等知识可判断CD.【详解】由频率分布直方图得，成绩在的频率最高，所以估计成绩的众数为75分，故A正确；因为，所以估计第75百分位成绩为80分，故B正确；因为成绩在内的人数为，所以随机抽取一名学生访谈，甲被抽取的概率为，故C错误；记从抽取的1名学生为a，从抽取的1名学生为b，从抽取的2名学生为c,d,则从这4人中抽取2人，所有的可能结果为ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种，其中不同组的有ab，ac，ad，bc，bd，共5种，所以这2人来自不同组的概率为，故D错误；故选：AB.12．已知P为直角坐标平面的动点，关于P的轨迹方程正确的（    ）A．点，直线的方程，若等于到的距离，P点轨迹方程.B．圆M方程:，圆N方程:，动圆P分别圆M、N相切，P点轨迹方程.C．点，与点P距离满足，P的方程.D．圆M方程：，，点N为圆M上动点，的垂直平分线交于点P，P点轨迹方程.【答案】CD【分析】A选项，利用抛物线的定义可判断，B选项，动圆P分别圆M、N相切，有两种情况，动圆P与圆M外切，而与圆N内切，或动圆P分别圆M、N均外切，进而可判断，C选项，由设点坐标将式子坐标化，即可得点的方程，D选项，作出图像，由题意，为定值，结合双曲线的定义可判断.【详解】对于A选项，等于到的距离，根据抛物线的定义知，点的轨迹是抛物线，点是焦点，为准线，即，点P的轨迹方程，所以选项A错误.对于B选项，动圆P分别圆M、N相切，有两种情况，动圆P与圆M外切，而与圆N内切，或动圆P分别圆M、N均外切，如图，  若动圆P与圆M外切，而与圆N内切，设圆的半径为，则，，，根据椭圆定义可得P点轨迹方程，若动圆P分别圆M、N均外切，点的轨迹是以点为端点的射线（除去端点）.故B错误.对于C选项，由，设点，将上式坐标化可得，，化简得，.故C正确.对于D选项，如下图，由题意，，根据双曲线的定义，易求得点的轨迹方程为.故D正确. 故选：CD. 三、填空题13．长风工厂产品质量指标服从正态分布.质量指标介于98至102之间的产品为良品.为使这种产品的良品率达到，则需要调整生产工艺，使得至多为     .（若，则）【答案】【分析】由题设知，结合正态分布的性质求范围即可.【详解】由，又，而，所以，故，即，则至多为.故答案为：14．，当；，则     【答案】（答案不唯一）【分析】根据对数函数的性质写出一个满足要求的函数即可.【详解】对于且定义域为，则，x、y为正数，满足，，显然满足条件.故答案为：（答案不唯一）15．已知函数，圆C：，点P、Q分别在函数图像与圆C上，则的最小值为   .【答案】/【分析】由题意，将问题转化为求点P与圆心距离的最小值，减去半径即得答案.【详解】由圆C：得圆心，半径，  设，则，令，则，由于，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，所以，所以.故答案为：.16．已知函数在单调递减，则的取值范围为   .【答案】【分析】由题意在上恒成立，对函数求导，将问题化为在上恒负求参数范围即可.【详解】由，要使在单调递减，即在上恒成立，令，则开口向下且对称轴为，则在上递减，所以，只需，故，所以的取值范围为.故答案为： 四、解答题17．点（）在函数图象上.数列{}满足.(1)证明：数列{}为等差数列.(2)数列{}满足.求为{}前n项和及当，求n的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)5 【分析】（1）由指对数运算可得，作差法及等差数列定义证明结论即可；（2）由（1）得，应用错位相减法、等比数列前n项和公式求得，再根据不等式能成立求n的最小值.【详解】（1）由题设，则，故，所以数列{}是公差为3的等差数列.（2）由（1）知：，故，所以①，则②，所以①－②得：，即，所以，则，又恒成立，所以递减，而，故时恒成立，，所以n的最小值5.18．已知的内角的对边分别为，向量，且，三角形ABC外接圆面积为．(1)求 ；(2)求三角形ABC周长的最大值．【答案】(1)(2)9 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示得，代入已知等式，结合正余弦边角关系得，最后由三角形内角性质求角的大小；（2）由（1）得，再由外接圆面积列方程可得，结合基本不等式求周长最大值，注意取值条件.【详解】（1）由题设，则，所以，则，所以，而，故且，所以，，则.（2）由（1）知：，则，若外接圆半径为，则，即，所以，则，仅当时等号成立，故三角形ABC周长的最大值为9.19．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面、分别是、中点，  (1)求证：平面；(2)若与面所成角为，，求面PFB与面EDB夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）若为中点，连接，先证四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定证结论；（2）线面垂直的性质证，结合已知线面角大小求相关线段长，且，构建空间直角坐标系，求面、面的法向量，进而求面面角的余弦值.【详解】（1）若为中点，连接，又分别是、中点，所以，又底面是正方形，所以，故四边形为平行四边形，则，由面，面，则平面.（2）  由底面，底面，则，又，，面，则面，与面所成角为，面，即，，由且底面为正方形，易知，且，以为原点，构建空间直角坐标系，则，所以，令为面的一个法向量，则，令，即，令为面的一个法向量，则，令，即，所以，即面PFB与面EDB夹角的余弦值.20．为了研究不同性别学生与患色盲的关系，在男、女学生各取100名进行调查.统计的列联表如下.从这200名学生随机抽取1人. 男女合计色盲639非色盲9497191合计100100200(1)若抽取的1名学生患色盲，求该生是男生的概率？(2)根据小概率值=0.05独立性检验来分析性别与患色盲是否有关？(3)从患色盲样本中依次抽取2人.记X为每次抽取女生的人数，求X的分布列与期望.（，n=a+b+c+d）    0.1    0.05    0.01  2.706    3.841    6.635【答案】(1)(2)性别与患色盲无关(3)分布列见解析， 【分析】（1）利用表中的数据根据古典概型的概率公式求解即可，（2）利用公式求解，然后根据临界值表中进行判断即可，（3）由题意可知可能取0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出X的分布列与期望.【详解】（1）由题意可知抽取的1名学生患色盲，则该生是男生的概率为，（2）假设：性别与患色盲无关因为，根据小概率=0.05独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为性别与患色盲无关，（3）由题意可知可能取0，1，2，则，，，所以的分布列为012所以21．已知椭圆为其左、右焦点，为上点..当，面积最大.(1)求椭圆C的离心率.(2)过P与椭圆C相切的切线方程为，求椭圆C的方程.(3)在（2）中.过P的直线交C的另一点，A为C的左顶点.求面积的最大值.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由椭圆的性质确定面积最大时的位置，焦点三角形中应用余弦定理求离心率即可；（2）将直线与椭圆联立得到关于的一元二次方程，根据及椭圆参数关系和离心率求出参数，即可得椭圆方程；（3）将问题化为求是直线的平行线与椭圆的切点，与直线最远距离，利用三角形面积公式求最大面积.【详解】（1）由椭圆性质知：面积最大，则为椭圆的上下顶点，此时，且，所以，可得.（2）由题意，过P与椭圆C相切的切线为，代入，所以，整理得，所以，则，即，且，由（1）知，则，，故.（3）由（2）知：，则直线，如下图，  要使面积最大，只需与直线距离最远即可，保证是直线的平行线与椭圆的切点，且直线与直线距离最远，令，联立椭圆并整理得：，所以，则，由图易知：当，即时，直线与直线距离最远，则，即与直线距离最远为，而，所以面积的最大值为.22．已知，. (1)证明：当，有且只有2个零点；(2)讨论是否存在使有极小值？并说明理由.（注：讨论过程要完整，有明确的结论）【答案】(1)证明见解析(2)存在使有极小值 【分析】（1）先讨论函数单调性，然后结合零点存在定理即可证明；（2）求导，利用导数研究函数单调性，然后根据极值的定义即可求解.【详解】（1）因为，所以定义域为，，因为，所以令得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以有最大值为，因为，所以，所以，因为当时，单调递减，且，所以在上只有一个零点；因为当时，单调递增，且，所以在上只有一个零点；综上，当，有且只有2个零点.（2）令，则定义域为，，令，则，因为，所以令得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，当，即时，，即恒成立，所以单调递减，此时不满足题意；当，即时，由于当时，，当时，，所以有两个解，即有两个解，且从递增到一个正数，然后再递减到，所以存在极小值，即存在使得有极小值.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．