高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线优秀随堂练习题

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3.2.1双曲线及其标准方程 -B提高练一、选择题1.（2020·山东菏泽三中高二期末）与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)　　 　　　　　　　　　　　　　　A.-y2=1 B.-y2=1            C.-y2=1           D.x2-=1【答案】C【解析】由题意得,双曲线焦点在x轴上,且c=,设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则有a2+b2=c2=3,=1,解得a2=2,b2=1,故所求双曲线的标准方程为-y2=1.2.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是(　　)A.双曲线的一支 B.圆             C.椭圆 D.双曲线【答案】A【解析】设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).3.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若P在双曲线上,且=0,则||= (　　)A.2 B. C.2 D.【答案】C【解析】由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(-,0),F2(,0).设点P(x,y),则=(--x,-y),=(-x,-y).∵=0,∴x2+y2-10=0,即x2+y2=10.∴||===2.4.（2020·武汉市蔡甸区实验高级中学月考）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（   ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由题意双曲线和椭圆有相同的焦点， ，，当且仅当即时等号成立，故的最小值为，故选：B. 5．（多选题）（2020·江苏省镇江中学高二期末）在平面直角坐标系中，动点P到两个定点和的斜率之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则（    ）A．曲线E经过坐标原点 B．曲线E关于x轴对称C．曲线E关于y轴对称 D．若点在曲线E上，则【答案】BC【解析】设，则，则，（）. 故轨迹为焦点在轴上的双曲线去除顶点.故曲线不经过原点，错误；曲线E关于x轴对称，关于y轴对称，正确；若点在曲线E上，则或，错误；故选：.6. （多选题）（2020·广东宝安高二开学考试）已知点在双曲线上，、是双曲线的左、右焦点，若的面积为，则下列说法正确的有（    ）A．点到轴的距离为 B．C．为钝角三角形 D．【答案】BC【解析】因为双曲线，所以.又因为，所以，所以选项A错误；将代入得，即.由对称性，不妨取的坐标为，可知.由双曲线定义可知，所以，所以选项B正确；由对称性，对于上面点，在中，.且，则 为钝角，所以为钝角三角形，选项C正确；由余弦定理得，，所以选项D错误.故选：BC.二、填空题7.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为　　　　　. 【答案】【解析】因为F是双曲线C:x2-=1的右焦点,所以F(2,0).因为PF⊥x轴,所以可设P的坐标为(2,yP).因为P是C上一点,所以4-=1,解得yP=±3,所以P(2,±3),|PF|=3.又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1,所以S△APF=×|PF|×1=×3×1=.8.（2020·首都师范大学附属中学期中）若方程所表示的曲线为，给出下列四个命题：①若为椭圆，则实数的取值范围为；②若为双曲线，则实数的取值范围为；③曲线不可能是圆；④若表示椭圆，且长轴在轴上，则实数的取值范围为.其中真命题的序号为________.（把所有正确命题的序号都填在横线上）【答案】②【解析】方程所表示的曲线为①若为椭圆，则 解得且，故①不正确.②若为双曲线,则，解得，故②正确.③当时，曲线是圆，故③不正确.④若表示椭圆，且长轴在轴上，则，则，故故④不正确.故答案为：② 9.（2020·全国高二课时练习）已知圆与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________.【答案】【解析】由圆的方程知：与y轴的交点坐标为，∵圆与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上∴双曲线的焦点在y轴上，且，又∵A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分∴，即有，∴此双曲线的标准方程10.平面上两点F1,F2满足|F1F2|=4,设d为实数,令D表示平面上满足||PF1|-|PF2||=d的所有P点组成的图形,又令C为平面上以F1为圆心、6为半径的圆.下列结论中,其中正确的有　　　　　(写出所有正确结论的编号). ①当d=0时,D为直线;           ②当d=1时,D为双曲线;③当d=2时,D与圆C交于两点;    ④当d=4时,D与圆C交于四点;⑤当d>4时,D不存在.【答案】①②⑤【解析】①当d=0时,D为线段F1F2的垂直平分线,∴①正确;②当d=1时,∵||PF1|-|PF2||=d<|F1F2|=4,由双曲线的定义知D为双曲线,∴②正确;③当d=2时,D是双曲线,且c=2,a=1,∵C为平面上以F1为圆心、6为半径的圆,∴D与圆C有4个交点,∴③错误;④当d=4时,D是两条射线,∴D与圆C有2个交点,∴④错误;⑤当d>4时,由双曲线的定义知,不表示任何图形,∴D不存在,∴⑤正确.三、解答题11.在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线方程.【解析】因为△MPN的周长为48,且tan∠PMN=,所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.由3k+4k+5k=48,得k=4.所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20. 以MN所在直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.设所求双曲线方程为=1(a>0,b>0).由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a2=4.由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100,所以b2=c2-a2=100-4=96,故所求方程为=1.12.如图，某野生保护区监测中心设置在点处，正西、正东、正北处有三个监测点，且，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，点接收到信号的时间比点接收到信号的时间早秒（注：信号每秒传播千米）.（1）以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；（2）若已知点与点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心的距离；（3）若点监测点信号失灵，现立即以监测点为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径至少是多少公里？【解析】（1）设观察员可能出现的位置的所在点为因为点接收到信号的时间比点接收到信号的时间早秒故故点的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为由题可知，解得，故点的轨迹方程为.（2）因为，设的垂直平分线方程为则，则的垂直平分线方程为联立可得，故故观察员遇险地点坐标为与检测中心的距离为.（3）设轨迹上一点为，则又因为，可得代入可得：当且仅当时，取得最小值.故扫描半径至少是.