数学选择性必修 第三册第五章 数列5.1 数列基础5.1.2 数列中的递推当堂检测题

5.1.2 数列中的递推 -B提高练

一、选择题

1．（2021·四川绵阳南山中学高一期中）数列的首项，且，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为，且，所以，，，，，，所以数列是以为周期的周期数列，所以.

2．（2021·上海高二月考）著名的波那契列{an}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1=a2=1，an+2=an+1+an(n∈N*)，那么1+a3+a5+a7+a9+…+a2021是斐波那契数列中的（    ）

A．第2020项 B．第2021项 C．第2022项 D．第2023项

【答案】C

【详解】因为，所以

，故选：C．

3．（2021·全国高二专题练）设是数列的前项和，若，则（    ）．

A．4043 B．4042 C．4041 D．2021

【答案】A

【详解】法一：；

法二：，当时，，

当时，.

当时，也适合上式，，则.故选：A.

4．（2021·河南高二月考）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（    ）

A．55 B．58 C．60 D．62

【答案】A

【详解】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，

∴，又∵;;

;;

;,故选：A.

5．（多选题）（2021·山东泰安一中高二月考）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第月月底小王手中有现款为，则下列论述正确的有（    ）(参考数据：)

A．

B．

C．2020年小王的年利润为40000元

D．两年后，小王手中现款达41万

【答案】BCD

【详解】对于A选项，元，故A错误

对于B选项，第月月底小王手中有现款为，则第月月底小王手中有现款为，由题意故B正确；

对于C选项，由得

所以数列是首项为公比为1.2的等比数列，

所以，即

所以2020年小王的年利润为元，故C正确；对于D选项，两年后，小王手中现款为元，即41万，故D正确.故选： BCD.

6. （多选题）（2021·扬州大学附属中学东部分校高二月考）已知数列中，前n项和为，且，则的值不可能为（    ）

A．2 B．5 C．3 D．4

【答案】BD

【详解】∵，∴时，，

化为：，由于数列单调递减，

可得：时，取得最大值2．∴的最大值为3．故选：BD．

二、填空题

7．（2021·上海市七宝中学高二月考）已知正整数数列满足,则当时，___________.

【答案】4

【详解】由题意，，，，，，…，

数列从第二项起是周期数列，周期为3，所以．

8．设为数列的前项和，且，，则______.

【答案】54

【详解】由已知，，，，

所以.

 9．（2021·福建莆田一中高二期中）已知数列的前项和，那么它的通项公式是___________.

【答案】

【详解】当时，，

当时，，

且当时，，

据此可得，数列的通项公式为：.

10.（2021·全国高二课时练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点的个数是__________．

【答案】144

【详解】由题意及图形知，不妨构造数列表示第行实心圆点的个数的变换规律，

其中每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点，每个空心圆点下一行均为实心圆点．故从第三行开始，每行的实心圆点数均为前两行实心圆点数之和．

即，且时，，故第1行到第13行中实心圆点的个数分别为：

0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144．

三、解答题

11.（2021·全国高二课时练）根据下列数列的首项和递推公式，写出数列前项，并由此归纳出它的通项公式.

（1），；

（2），.

【详解】（1），，

，，，，，

所以，数列的通项公式为；

（2），.

，，，，.

所以，数列的通项公式为.

12. （2021·江西南昌市高二月考）已知数列中，，，．

（1）求，的值；

（2）求的前2021项和．

【答案】（1）；；（2）．

【详解】

（1）当时，，所以；

当时，，所以；

（2）当时，，所以；

由知：，所以，故数列是以4为周期的周期数列，

即，，，，

所以．