初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数单元测试习题

专题28.8第28章锐角三角函数单元测试（培优卷）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分120分，试题共26题，其中选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020•江城区二模）如图，在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝3，∠C＝90°，则sinB的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据勾股定理求出斜边AB，根据正弦的定义计算，得到答案．

【解析】由勾股定理得，AB5，

∴sinB，

故选：C．

2．（2020•宜兴市一模）cos30°的值是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案．

【解析】cos30°，

故选：B．

3．（2019秋•濉溪县期末）已知cosα，则锐角α的取值范围是（　　）

A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°

【分析】根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；

【解析】∵cos30°，cos45°，

∵，

∴30°＜α＜45°，

故选：B．

4．（2019秋•潍坊期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA，则cosB的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据正切的定义有tanA，可设BC＝12x，AC＝5x，根据勾股定理可计算出AB＝12x，然后根据余弦的定义得到cosB，代入可得结论．

【解析】如图，

∵∠C＝90°，tanA，

∴tanA，

设BC＝12x，AC＝5x，

∴AB13x，

∴cosB．

故选：A．

5．（2019秋•宽城区期末）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则tanA的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】构造直角三角形，根据正切函数的定义得结论．

【解析】如图所示，连接格点C、D，则CD⊥AB

在Rt△ACD中，

tanA

故选：D．

6．（2020•吉林一模）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则cosα的值是（　　）

A． B． C． D．2

【分析】如图，作AH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OA，根据三角函数的定义解决问题即可．

【解析】如图，作AH⊥x轴于H．

∵A（2，1），

∴OH＝2，AH＝1，

∴OA，

∴cosα，

故选：C．

7．（2019秋•寿光市期末）定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝2∠B．则sinB•sadA＝（　　）

A． B．1 C． D．2

【分析】证明△ABC是等腰直角三角形即可解决问题．

【解析】∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵∠A＝2∠B，

∴∠B＝∠C＝45°，∠A＝90°，

∴BCAC，

∴sin∠B•sadA•1，

故选：B．

8．（2019秋•东坡区期末）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（　　）

A． B． C． D．

【分析】设AB＝x，求出BC＝x，CD＝ADx，求出BD，再解直角三角形求出即可．

【解析】设AB＝x，

∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，

∴∠BAC＝∠ACB＝45°，

∴AB＝BC＝x，

由勾股定理得：ACx，

∵AC＝CD，

∴AC＝CDx，

∴BD＝BC+CD＝（1）x，

∴tan22.5°1，

故选：B．

9．（2020•香坊区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，D为AB上一点，且AD：DB＝3：2，过点D作DE⊥AC于E，连结BE，则tan∠CEB的值等于（　　）

A． B．2 C． D．

【分析】在Rt△AED中，sinA，可以假设AD＝15k，DE＝9k，则AE＝12k，利用平行线分线段成比例定理，求出BC，EC即可解决问题；

【解析】在Rt△AED中，∵sinA，

∴可以假设AD＝15k，DE＝9k，则AE＝12k，

∵AD：DB＝3：2，

∴DB＝10k，

∵DE∥BC，

∴，

∴，

∴BC＝15k，AC＝20k，

∴EC＝AC﹣AE＝8k，

∴tan∠CEB，

故选：D．

10．（2019•汶上县一模）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（　　）

A．40海里 B．40海里 C．40海里 D．40海里

【分析】过点P作PC⊥AB，则在Rt△APC中易得PC的长，再在直角△BPC中求出PB．

【解析】作PC⊥AB于C点，

∴∠APC＝30°，∠BPC＝45° AP＝80（海里）．

在Rt△APC中，cos∠APC，

∴PC＝PA•cos∠APC＝40（海里）．

在Rt△PCB中，cos∠BPC，

∴PB40（海里）．

故选：B．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020•拱墅区二模）若sinαcos60°，则锐角α＝　45°　．

【分析】根据30°，45°，60°角的三角函数值解答即可．

【解析】∵sinαcos60°，

∴α＝45°．

故答案为：45°．

12．（2020•犍为县二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA，则cosB的值是　　．

【分析】根据锐角三角函数关系得出设BC＝3x，AC＝4x，故AB＝5x，进而得出答案．

【解析】如图所示：∵∠C＝90°，tanA，

∴，

设BC＝3x，AC＝4x，故AB＝5x，

则cosB．

故答案是：．

13．（2020•立山区二模）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是　　．

【分析】连接AC，根据网格特点和正方形的性质得到∠BAC＝90°，根据勾股定理求出AC、AB，根据正切的定义计算即可．

【解析】连接AC，

由网格特点和正方形的性质可知，∠BAC＝90°，

根据勾股定理得，AC，AB＝2，

则tan∠ABC，

故答案为：．

14．（2020•道里区校级三模）在△ABC中，CD为高线，且AD＝3，BD＝12，如果CD＝6，那么∠ACB的平分线CE的长是　2或6　．

【分析】利用勾股定理求出AC、BC，再根据三角形的角平分线分对边所成的两条线段的比等于两邻边的比，求出AE：BE，然后求出AE，再分∠A是锐角和钝角两种情况讨论求出DE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可答案．

【解答】解解：∵在Rt△ACD中，AC3，

在Rt△BCD中，BC6，

∵CE是△ABC的角平分线，

∴AE：BE＝AC：BC＝3：61：2，

①如图1，∠A是锐角时，AB＝AD+BD＝3+12＝15，

∴AE15＝5，

DE＝AE﹣AD＝5﹣3＝2，

在Rt△CDE中，CE2，

②如图2，∠A是钝角时，AB＝BD﹣AD＝12﹣3＝9，

∴AE9＝3，

DE＝AE+AD＝3+3＝6，

在Rt△CDE中，CE6，

综上所述，CE的长是2或6．

故答案为：2或6．

15．（2020•高密市二模）如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO，则点F的坐标是　（8，12）　．

【分析】过点F作直线FA∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥FA于点H，先由平行线的性质及互余关系证明∠FEA＝∠HFG＝∠FGO；再解Rt△AEF，求得AE及AF，然后判定四边形OGHA为矩形，则可求得FH；解Rt△FGH，求得FG及HG，则点F的坐标可得．

【解析】过点F作直线FA∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥FA于点H，则∠FAE＝90°，

∵FA∥OG，

∴∠FGO＝∠HFG．

∵∠EFG＝90°，

∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，

∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，

∵cos∠FGO，

∴cos∠FEA，

在Rt△AEF中，EF＝10，

∴AE＝EFcos∠FEA＝106，

∴根据勾股定理得，AF＝8，

∵∠FAE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°

∴四边形OGHA为矩形，

∴AH＝OG，

∵OG＝17，

∴AH＝17，

∴FH＝17﹣8＝9，

∵在Rt△FGH中，cos∠HFG＝cos∠FGO，

∴FG＝915，

∴由勾股定理得：HG12，

∴F（8，12）．

故答案为：（8，12）．

16．（2020•武汉模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E．当tan∠ABD，cos∠E，则的值是　　．

【分析】在△AHE中，设AE＝a，则AG＝AEsinα＝asinα，GE＝acosα，则GHAGasinα，则EH＝GE+GH＝acosαasinα，在Rt△AEG中，EC，再求出HC；在△BHC中，求得BC，在Rt△BCD中，求得CD，进而求解．

【解析】设直线AB交CE于点H，BD交CE于点N，

设∠E＝α，则cos∠Ecosα，则sinα，tanα＝4，

∵tan∠ABD，则tan∠BHN＝2，

∵AE⊥AC，BC⊥AC，

∴AE∥BC，

∴∠E＝∠ECB＝α，

∵∠NDC+∠NCD＝90°，∠NCB+∠NCD＝90°，

∴∠NCB＝∠NDC＝α，

在△AHE中，设AE＝a，则AG＝AEsinα＝asinα，GE＝acosα，

则GHAGasinα，则EH＝GE+GH＝acosαasinα，

在Rt△AEC中，EC，

则HC＝EC﹣EH（acosαasinα）；

在△BHC中，tan∠BHN＝2，tanα＝4，HC（acosαasinα），

同理可得：BC，

在Rt△BCD中，CDa（），

AD＝AC﹣CD＝4a，

则，

故答案为．

17．（2020•工业园区一模）如图，为测量湖面上小船A到公路BC的距离，先在点B处测得小船A在其北偏东60°方向，再沿BC方向前进400m到达点C，测得小船A在其北偏西30°方向，则小船A到公路BC的距离为　100　m．

【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D．证∠BAC＝90°，由直角三角形的性质得ACBC＝200m，求出∠DAC＝30°，得CDAC＝100m，ADCD＝100m即可，

【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D．如图，则∠ADC＝90°，

依题意得：∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣60°＝30°，BC＝400m，

∴∠BAC＝90°，

∴ACBC＝200m，

∵∠DAC＝90°﹣60°＝30°，

∴CDAC＝100m，ADCD＝100m，

即小船A到公路BC的距离为100m；

故答案为：100．

18．（2020•泰安一模）如图，为了测量矗立在高速公路上水平地面上的交通警示牌的高度CD，在与M相距4米的A处，测得警示牌下端D的仰角为45°，再笔直往前走8米到达B处，在B处测得警示牌上端C的仰角为30°，则警示牌CD的高度为　（44）　米（结果保留根号）．

【分析】根据CD＝CM﹣DM，想办法求出CM、DM即可解决问题．

【解析】在Rt△ADM中，

∵AM＝4，∠MAD＝45°，

∴DM＝AM＝4，

∵AB＝8，

∴MB＝AM+AB＝12，

在Rt△BCM中，∵∠MBC＝30°，

∴MC＝MBtan30°＝4，

∴DC＝MC﹣DM＝（44）（米）

答：警示牌的高度CD为（44）米，

故答案为：（44）．

三．解答题（共8小题，满分66分）

19．（2018秋•兴化市期末）计算：

（1）sin230°+sin60°﹣sin245°+cos230°；

（2）．

【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案；

（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．

【解析】（1）原式＝（）2（）2+（）2

；

（2）原式．

20．（2019秋•下城区期末）如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝25，AC＝39，sinB，求tanC和BC的长．

【分析】过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，由sinB，求出AD＝15，在Rt△ACD中，由勾股定理得出CD36，则tanC，在Rt△ABD中，由勾股定理得出BD20，即可得出BC的长．

【解析】过点A作AD⊥BC于D，如图所示：

在Rt△ABD中，AB＝25，sinB，

∴，

∴AD＝15，

在Rt△ACD中，CD36，

∴tanC，

在Rt△ABD中，BD20，

∴BC＝BD+CD＝20+36＝56．

21．（2020•金水区校级模拟）如图所示，王林到某景区参观大佛（AB），他在E点直立测得大佛顶端的仰角为37°，当其再次前行6.43米在G点测得大佛顶端的仰角为45°，若已知大佛（AB）的高度为21米，请你依据数据计算王林同学的身高为多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【分析】作DH⊥AB于H，设王林同学的身高为x米，则HB＝x米，得出AH＝（21﹣x）米，根据正切的定义列出方程，解方程求出x，即可得到答案．

【解析】作DH⊥AB于点H，

则有∠ADH＝37°，∠AFH＝45°，DF＝EG＝6.43米，DE＝FG＝HB，

设王林同学的身高为x米，则HB＝x米，

∴AH＝（21﹣x）米，

在Rt△AFH中，

∵∠AFH＝45°，

∴HF＝AH＝（21﹣x）米，

∴DH＝21﹣x+6.43＝（27.43﹣x）米

在Rt△ADH中，

∵tan37°0.75，

解之得：x＝1.7

答：王林同学的身高约为1.7米．

22．（2019•徐汇区二模）如图，已知⊙O的弦AB长为8，延长AB至C，且BCAB，tanC．求：

（1）⊙O的半径；

（2）点C到直线AO的距离．

【分析】（1）过O作OD⊥AB于D，根据垂径定理求出AD＝BD＝4，解直角三角形求出OD，根据勾股定理求出即可；

（2）根据三角形的面积公式求出即可．

【解析】（1）过O作OD⊥AB于D，则∠ODC＝90°，

∵OD过O，

∴AD＝BD，

∵AB＝8，

∴AD＝BD＝4，

∵BCAB，

∴BC＝4，

∴DC＝4+4＝8，

∵tanC，

∴OD＝4，

在Rt△ODA中，由勾股定理得：OA4，

即⊙O的半径是4；

（2）过C作CE⊥AO于E，

则S△AOC，

即，

解得：CE＝6，

即点C到直线AO的距离是6．

23．（2020•福建模拟）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，DE⊥BC于E，连接BD，设AD＝m，DC＝n，BE＝p，DE＝q．

（1）若tanC＝2，BE＝3，CE＝2，求点B到CD的距离；

（2）若m＝n，BD，求四边形ABCD的面积．

【分析】（1）要求点B到CD的距离，于是作垂线构造直角三角形，又知tanC＝2，BE＝3，CE＝2，可以得到BF＝2FC，设未知数根据勾股定理列方程可以求解．

（2）m＝n，即AD＝DC，通过作垂线，构造全等三角形将问题转化为求正方形BEDG的面积即可．

【解析】（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，则∠BFC＝90°

∵DE⊥BC，

∴∠DEC＝∠DEB＝90°，

在Rt△DEC中，∵tanC＝2，EC＝2，

∴DE＝4，

在Rt△BFC中，∵tanC＝2，∴BF＝2FC，

设BF＝x，则FCx，∵BF2+FC2＝BC2，

∴x2+（）2＝（3+2）2，

解得：x，即：BF，

答：点B到CD的距离是．

（2）过点D作DG⊥AB，交BA的延长线相交于点G，

∵四边形ABCD的内角和是360°，∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴∠C+∠BAD＝180°，

又∵∠BAD+∠GAD＝180°，

∴∠C＝∠GAD，

∵∠DEC＝∠G＝90°，AD＝CD

∴△DEC≌△DGA，（AAS）

∴DE＝DG，

∴四边形BEDG是正方形，

∴S四边形ABCD＝S正方形BEDGBD2＝9．

答：四边形ABCD的面积是9．

24．（2020•荆门）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．

（1）求∠ABE的度数；

（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．

（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.73）

【分析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点F，由平行线的性质得出∠ABD＝∠NAB＝30°，求出∠DBE＝105°，则可得出答案；

（2）在Rt△BEF中，解直角三角形求出EF，BF，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AD，BD，证明四边形BDCF为矩形，得出DC，FC，求出CE的长，则可得出答案．

【解析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点F，

由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，

∵AN∥BD，

∴∠ABD＝∠NAB＝30°，

而∠DBE＝180°﹣∠GBE＝180°﹣75°＝105°，

∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝30°+105°＝135°；

（2）BE＝5×2＝10（海里），

在Rt△BEF中，∠EBF＝90°﹣75°＝15°，

∴EF＝BE×sin15°≈10×0.26＝2.6（海里），

BF＝BE×cos15°≈10×0.97＝9.7（海里），

在Rt△ABD中，AB＝20，∠ABD＝30°，

∴AD＝AB×sin30°＝2010（海里），

BD＝AB×cos30°＝201010×1.73＝17.3（海里），

∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，

∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，

∴四边形BDCF为矩形，

∴DC＝BF＝9.7，FC＝BD＝17.3（海里），

∴AC＝AD+DC＝10+9.7＝19.7（海里），

CE＝EF+CF＝2.6+17.3＝19.9（海里），

设快艇的速度为v海里/小时，则v9.85（海里/小时）．

答：快艇的速度为9.85海里/小时，C，E之间的距离约为19.9海里．

25．（2019秋•石景山区期末）在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素．对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题：

（1）观察图①～图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是　③④　．

（2）如图⑤，在△ABC中，已知∠A＝37°，AB＝12，AC＝10，能否求出BC的长度？如果能，请求出BC的长度；如果不能，请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【分析】（1）图①已知一个角与这个角所对的边，则另两个角可以任意变动；图②已知三个角，则三个边可以任意变动；图③、图④已知两个角，则第三个角是固定的，并已知一个边，过第三个角的顶点向已知两个角的公共边作垂线即可求出其余未知两个边的长；

（2）过点C作CD⊥AB于点D，CD＝AC•sinA＝6，AD＝AC•cosA＝8，BD＝AB﹣AD＝4，由勾股定理得出BC2．

【解析】（1）∵图①已知一个角与这个角所对的边，则另两个角可以任意变动，

∴图①不能求出其余未知元素；

∵图②已知三个角，则三个边可以任意变动，

∴图②求出其余未知元素；

∵图③、图④已知两个角，则第三个角是固定的，并已知一个边，过第三个角的顶点向已知两个角的公共边作垂线即可求出其余未知两个边的长，

∴图③、图④可以求出其余未知元素；

 故答案为：③④；

（2）过点C作CD⊥AB于点D，如图⑤所示：

在Rt△ADC中，∠A＝37°，

∴CD＝AC•sinA＝10×sin37°≈10×0.60＝6，

AD＝AC•cosA＝10×cos37°≈10×0.80＝8，

∴BD＝AB﹣AD＝12﹣8＝4，

∴在Rt△CDB中，BC2，

即BC的长度为2．

26．（2020•太和县模拟）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．

（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；

（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cosA的值；

（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．

【分析】（1）根据已知条件得到CP＝4，求得BP＝2，根据三角形重心的性质即可得到结论；

（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，根据平行线分线段成比例定理得到，求得，设CP＝k，则PA＝3k，得到PA＝PB＝3k根据三角函数的定义即可得到结论；

（3）根据直角三角形的性质得到CD＝BDAB，推出△PBD∽△ABP，根据相似三角形的性质得到∠BPD＝∠A，推出△DPE∽△DCP，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解析】（1）∵P为AC的中点，AC＝8，

∴CP＝4，

∵∠ACB＝90°，BC＝6，

∴BP＝2，

∵D是边AB的中点，P为AC的中点，

∴点E是△ABC的重心，

∴BEBP；

（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，

∴，

∵BD＝DA，

∴FD＝DC，BF＝AC，

∵CE＝2，ED＝3，则CD＝5，

∴EF＝8，

∴，

∴，

∴，

设CP＝k，则PA＝3k，

∵PD⊥AB，D是边AB的中点，

∴PA＝PB＝3k

∴BC＝2k，

∴AB＝2k，

∵AC＝4k，

∴cosA；

（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，

∴CD＝BDAB，

∵PB2＝2CD2，

∴BP2＝2CD•CD＝BD•AB，

∵∠PBD＝∠ABP，

∴△PBD∽△ABP，

∴∠BPD＝∠A，

∵∠A＝∠DCA，

∴∠DPE＝∠DCP，

∵∠PDE＝∠CDP，

∴△DPE∽△DCP，

∴PD2＝DE•DC，

∵DE＝3，DC＝5，

∴PD．