人教版九年级下册28.1 锐角三角函数课时作业

这是一份人教版九年级下册28.1 锐角三角函数课时作业，共18页。试卷主要包含了414，3≈1，7B．3，53，求出AO＝BO＝25，5，，2，等内容，欢迎下载使用。
 专题28.6锐角三角函数的应用—坡度坡角问题姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2019秋•柯桥区期末）如图，王老师沿着倾斜角为α的山坡从B点到A点直行50米，已知tanα，则他上升的高度AC为（　　）A．50米 B．100米 C．50米 D．100米【分析】由tanα设AC＝x，则BC＝2x，根据AC2+BC2＝AB2列出关于x的方程，解之即可得．【解析】∵tanα，∴设AC＝x，则BC＝2x，∵AB＝50，且AC2+BC2＝AB2，∴x2+4x2＝（50）2，解得：x＝50或x＝﹣50（舍），即AC＝50米，故选：A．2．（2020•哈尔滨模拟）一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500米，则它上升的最大高度为（　　）A．500sinα B． C．500cosα D．【分析】在三角函数中，根据坡度角的正弦值＝垂直高度：坡面距离即可解答．【解析】如图，∠A＝α，AE＝500．则EF＝500sinα．故选：A．3．（2019秋•常德期末）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC＝4m，则迎水坡宽度AC的长为（　　）A．m B．4m C．2m D．4m【分析】根据坡比的定义列出关系式即可解决问题．【解析】由题意：BC：AC＝1：，∵BC＝4m，∴AC＝4m，故选：B．4．（2020春•鄞州区期末）如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，即BC：AC＝1：2，若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为（　　）A．4米 B．6米 C．6米 D．24米【分析】根据坡面AB的坡比以及AC的值，求出BC，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．【解析】∵大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，AC＝12米，∴，∴BC＝6，∴AB6（米）．故选：C．5．（2020春•东阳市期末）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（　　）A．6m B．3m C．9m D．6m【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【解析】∵迎水坡AB的坡比为1：，∴，即，解得，AC＝3，由勾股定理得，AB6（m），故选：A．6．（2020秋•南岗区校级月考）如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝tan∠CAB＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（　　）A．5 m B．10m C．5m D．8 m【分析】先根据tan∠CAB＝1：得出∠BAC＝30°，结合BC＝5m可得AB＝2BC＝10m．【解析】∵tan∠CAB，∴在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，又∵BC＝5m，∴AB＝2BC＝10m，故选：B．7．（2020春•温州期末）如图，商用手扶梯AB的坡比为1：，已知扶梯的长AB为12米，则小明乘坐扶梯从B处到A处上升的高度AC为（　　）A．6米 B．6米 C．12米 D．12米【分析】根据坡比的定义可知，设AC＝x，则BCx，由勾股定理求出AB＝2x＝12，得出x＝6即可．【解析】∵商用手扶梯AB的坡比1：，设AC＝x米，则BCx米，∴AB2x＝12，解得：x＝6，∴AC＝6米，故选：A．8．（2019秋•寿光市期末）如图，一个直角梯形的堤坝坡长AB为6米，斜坡AB的坡角为60°，为了改善堤坝的稳固性，准备将其坡角改为45°，则调整后的斜坡AE的长度为（　　）A．3米 B．3米 C．（32）米 D．（33）米【分析】作AH⊥BC于H，根据正弦的定义求出AH，根据等腰直角三角形的性质求出AE．【解析】作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，sin∠ABH，cos∠ABH，则AH＝AB•sin∠ABH＝63，∵∠E＝45°，∴AEAH33，故选：A．9．（2020•市中区一模）在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝6米，∠D＝30°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（　　）米．A．10 B．1012 C．12 D．1012【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．【解析】如图，延长AB交DC的延长线于点E，，由BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2．设BE＝x米，CE＝2x米．在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2，即x2+（2x）2＝（12）2，解得x＝12（米），∴BE＝12（米），CE＝24（米），DE＝DC+CE＝6+24＝30（米），由tan30°，得，解得AE＝10（米）．由线段的和差，得AB＝AE﹣BE＝（1012）（米），故选：B．10．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下HD长的人行道，问人行道HD的长度是（　　）米．（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：1.414，1.732）A．2.7 B．3.4 C．2.5 D．3.1【分析】根据题意可得AB＝CB＝10，AH＝10，设DH＝x米，则AD＝AH﹣DH＝（10﹣x）米，BD＝AD+AB＝（20﹣x）米，再根据特殊角的三角函数列式即可计算人行道HD的长．【解析】根据题意可知：∠CBA＝90°，∠CAB＝45°，∴∠ACB＝45°，∴AB＝CB＝10，AH＝10，设DH＝x米，则AD＝AH﹣DH＝（10﹣x）米，∴BD＝AD+AB＝（20﹣x）米，在Rt△DCB中，∠CDB＝30°，∴tan30°，即，解得x≈2.7．所以人行道HD的长度是2.7米．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为　6　米（结果保留根号）．【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．首先证明DE＝CF，解直角三角形求出CF，再根据直角三角形30度角的性质即可解决问题．【解析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE＝CF，在Rt△CFB中，CF＝BC•sin45°＝3（米），∴DE＝CF＝3（米），在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2DE＝6（米），故答案为：6．12．（2012•天水）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度是1：（坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AB的长是　10m　．【分析】Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．【解析】Rt△ABC中，BC＝5米，tanA＝1：；∴AC＝BC÷tanA＝5 米，∴AB10米．故答案为10m．13．（2020•九江一模）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是　6　m．【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．【解析】在Rt△ABC中，BC＝5米，tanA＝1：；∴AC＝BC÷tanA＝3米，∴AB6米．故答案为：6．14．（2020•泰州模拟）如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为　36　米．【分析】因为其坡比为1：，则坡角为30度，然后运用正弦函数解答．【解析】因为坡度比为1：，即tanα，∴α＝30°．则其下降的高度＝72×sin30°＝36（米）．15．（2020•孝南区二模）某人沿着坡度i＝1：的山坡向上走了300m，则他上升的高度为　150　m．【分析】先作出直角△ABC，可得AC＝300m，BC：AB＝1：，然后再解直角三角形即可求解．【解析】如图所示．∵BC：AB＝1：．∴∠A＝30°．∵AC＝300m，∴BC＝300×sin30°＝150（m）．故答案为：150．16．（2020•吴中区二模）如图，是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝88cm，宽AB＝51cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°，（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退　11　cm．（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，1.41，结果精确到个位）【分析】过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M，过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H，则四边形EPHM与四边形BCNH都为矩形，证明△EFM是等腰直角三角形，得出EMEF≈46.53，求出AO＝BO＝25.5，GN≈17，OH＝57.5，即可得出结果．【解析】过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M，过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H，如图所示：则四边形EPHM与四边形BCNH都为矩形，∴PH＝EM，∵EF+FG＝166cm，FG＝100cm，∴EF＝66cm，∵∠FGK＝80°，∴∠GFK＝10°，∵∠EFG＝125°，∴∠EFM＝180°﹣125°﹣10°＝45°，∴△EFM是等腰直角三角形，∴EMEF66≈46.53，∵AB＝51，O为AB中点，∴AO＝BO＝25.5，∵PH＝EM≈46.53，∵GN＝100•cos80°≈17，CG＝15，∴OH＝25.5+15+17＝57.5，OP＝OH﹣PH＝57.5﹣46.53≈11，∴他应向前约11cm，故答案为：11．17．（2020•松江区一模）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为　1：1.5　．【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．【解析】斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5，故答案为：1：1.5．18．（2020•泰安）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移　10　m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°≈1.2）【分析】在BC上取点F，使∠FAE＝50°，作FH⊥AD，根据坡度的概念求出BE、AE，根据正切的定义求出AH，结合图形计算，得到答案．【解析】在BC上取点F，使∠FAE＝50°，过点F作FH⊥AD于H，∵BF∥EH，BE⊥AD，FH⊥AD，∴四边形BEHF为矩形，∴BF＝EH，BE＝FH，∵斜坡AB的坡比为12：5，∴，设BE＝12x，则AE＝5x，由勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即（5x）2+（12x）2＝262，解得，x＝2，∴AE＝10，BE＝24，∴FH＝BE＝24，在Rt△FAH中，tan∠FAH，∴AH20，∴BF＝EH＝AH﹣AE＝10，∴坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡，故答案为：10．三．解答题（共6小题，满分46分）19．（2020•松江区二模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i＝1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．【分析】延长CD交AB于E，根据坡度和坡角可得CE＝3，DE＝2.6，过点D作DH⊥AB于H，根据锐角三角函数即可求出DH的长．【解析】如图，延长CD交AB于E，∵i＝1：2.4，∴，∴，∵AC＝7.2，∴CE＝3，∵CD＝0.4，∴DE＝2.6，过点D作DH⊥AB于H，∴∠EDH＝∠CAB，∵，∴，，答：该车库入口的限高数值为2.4米．20．（2019秋•滦南县期末）如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AC的长度；（结果保留根号）（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物DEFG是否需要挪走，并说明理由（结果精确到0.1米参考数据：1.41，1.73，2.45）【分析】（1）在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACM中，求出AC的长．（2）通过解直角三角形，可求出BM、CM的长，进而可求出BC、DC的长．然后判断DC的值是否大于2米即可．【解析】（1）如图，在Rt△ABM中，AM＝ABsin45°＝2．在Rt△ACM中，∵∠ACM＝30°，∴AC＝2AM＝4．即新传送带AC的长度约为4米； （2）结论：货物DEFG不用挪走．解：在Rt△ABM中，BM＝ABcos45°＝2．在Rt△ACM中，CMAM＝2．∴CB＝CM﹣BM＝222.08．∵DC＝DB﹣CB≈5﹣2.08＝2.92＞2，∴货物DEFG不应挪走．21．（2018•玄武区二模）如图是在写字台上放置一本摊开的数学书和一个折叠式台灯时的截面示意图，已知摊开的数学书AB长20cm，台灯上半节DE长40cm，下半节DC长50cm．当台灯灯泡E恰好在数学书AB的中点O的正上方时，台灯上、下半节的夹角即∠EDC＝120°，下半节DC与写字台FG的夹角即∠DCG＝75°，求BC的长．（书的厚度和台灯底座的宽度、高度都忽略不计，F、A、O、B、C、G在同一条直线上．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，1.41，结果精确到0.1）【分析】如图作DM⊥OE于M，DN⊥FG于N．则四边形DMON是矩形．利用等腰直角三角形的性质求出DM＝ON＝28.2，在Rt△DCN中，求出CN即可解决问题；【解析】如图作DM⊥OE于M，DN⊥FG于N．则四边形DMON是矩形．∴DM∥ON，∴∠DCN＝∠CDM＝75°，∴∠EDM＝120°﹣75°＝45°，∵DE＝40cm，∴EM＝DM＝ON＝2028.2（cm），在Rt△DCN中，CN＝CD•cos75°≈13（cm），∵OB＝10，∴BC＝ON﹣OB﹣CN＝28.2﹣10﹣13＝5.2（cm）．22．（2020•益阳）沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH＝12米，斜坡CD的坡度i＝1：1．此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离（P、D、H在同一直线上），在点C处测得∠DCP＝26°．（1）求斜坡CD的坡角α；（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？（参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90）【分析】（1）根据斜坡CD的坡度i＝1：1，可得tanα＝DH：CH＝1：1＝1，进而可得α的度数；（2）由（1）可得，CH＝DH＝12，α＝45°．所以∠PCH＝71°，再根据锐角三角函数可得PD的值，与18进行比较即可得到此次改造是否符合电力部门的安全要求．【解析】（1）∵斜坡CD的坡度i＝1：1，∴tanα＝DH：CH＝1：1＝1，∴α＝45°．答：斜坡CD的坡角α为45°；（2）由（1）可知：CH＝DH＝12，α＝45°．∴∠PCH＝∠PCD+α＝26°+45°＝71°，在Rt△PCH中，∵tan∠PCH2.90，∴PD＝22.8（米）．22.8＞18，答：此次改造符合电力部门的安全要求．23．（2020•湘潭）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据：1.732，4.123）【分析】先由DE的坡度计算DC的长度，根据矩形性质得AB长度，再由AF的坡度得出BF的长度，根据勾股定理计算出AF的长度．【解析】∵DE＝10 m，其坡度为i1＝1：，∴在Rt△DCE中，10，∴解得DC＝5．∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝5．∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4，∴，∴BF＝4AB＝20，∴在Rt△ABF中，20.62（m）．故斜坡AF的长度约为20.62米．24．（2020•凤翔县一模）某公园有一座古塔，古塔前有一个斜坡CD，坡角∠DCE＝42°，斜坡高DE＝1.8米，DQ是平行于水平地面BC的一个平台．小华想利用所学知识测量古塔的高度AB，她在平台的点G处水平放置一平面镜，并沿着DG方向移动，当移动到点N时，刚好在镜面中看到古塔顶端点A的像，这时，测得小华眼睛与地面的距离MN＝1.5米，GN＝2米，BC＝16米，DG＝8米，已知AB⊥BC，MN⊥DQ，请你根据题中提供的相关信息，求出古塔的高度AB．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）【分析】由正切定义求出CE，延长GD交AB于点H，则BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米），证明△AHG∽△MNG，求出AH的长，则可求出答案．【解析】在Rt△CDE中，tan∠DCE，∴0.9，∴CE＝2，延长GD交AB于点H，则BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米），∵∠AHG＝∠MNG＝90°，∠AGH＝∠MGN，∴△AHG∽△MNG，∴，即，∴AH＝19.5（米），∴AB＝AH+HB＝21.3（米）．答：古塔的高度AB为21.3米．