初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数课时练习

这是一份初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数课时练习，共16页。试卷主要包含了1锐角三角函数，5°即可解决问题．等内容，欢迎下载使用。

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•河池）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（ ）
A．512B．125C．513D．1213
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．
【解析】如图所示：
∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴AB=52+122=13，
∴sinB=ACAB=1213．
故选：D．
2．（2019秋•玉环市期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，csA=45，则AC的长为（ ）
A．125B．165C．203D．5
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出答案．
【解析】如图所示：
∵∠C＝90°，AB＝4，csA=45，
∴csA=ACAB=AC4=45，
故AC=165．
故选：B．
3．（2020•普陀区一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=13，那么下列说法中正确的是（ ）
A．csB=13B．ctA=13C．tanA=223D．ctB=223
【分析】利用同角三角函数的关系解答．
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=13，则csA=1-sin2A=1-19=223
A、csB＝sinA=13，故本选项符合题意．
B、ctA=csAsinA=22313=22．故本选项不符合题意．
C、tanA=sinAcsA=13223=24．故本选项不符合题意．
D、ctB＝tanA=24．故本选项不符合题意．
故选：A．
4．（2018秋•枞阳县期末）在△ABC中，∠C＝90°，若csA=13，则sinB的值为（ ）
A．13B．23C．33D．1
【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．
【解析】在△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°，
则sinB＝csA=13．
故选：A．
5．（2018秋•市中区校级期中）已知α为锐角，且tanα=13，则sinα＝（ ）
A．23B．105C．31010D．1010
【分析】根据tanα=13，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式，即可推出sinα的值．
【解析】设在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，
则sinα=ac，tanα=ab，a2+b2＝c2，
∵tanα=13知，
∴可设a＝x，则b＝3x，
∴c=a2+b2=10x．
∴sinα=ac=x10x=1010，
故选：D．
6．（2020•岳麓区模拟）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（ ）
A．45B．43C．34D．35
【分析】过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，利用正切函数的定义求解可得．
【解析】如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，
则tan∠BAC=BDAD=34，
故选：C．
7．（2019秋•港南区期末）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则csA的值等于（ ）
A．35B．74C．45或74D．45或277
【分析】因为原题没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：①AB为斜边，②AC为斜边，根据勾股定理求得AB的值，然后根据余弦的定义即可求解．
【解析】当△ABC为直角三角形时，存在两种情况：
①当AB为斜边，∠C＝90°，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10．
∴csA=ACAB=810=45；
②当AC为斜边，∠B＝90°，
由勾股定理得：AB=AC2-BC2=82-62=27，
∴csA=ABAC=278=74；
综上所述，csA的值等于45或74．
故选：C．
8．（2019•崇川区二模）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（ ）
A．msin35°B．mcs35°C．msin35°D．mcs35°
【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．
【解析】sin∠A=BCAB，
∵AB＝m，∠A＝35°，
∴BC＝msin35°，
故选：A．
9．（2017•费县模拟）如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα＝（ ）
A．12B．55C．52D．255
【分析】过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，易证△ADE≌△DCF，可得∠α＝∠CDF，DE＝CF．在Rt△DCF中，利用勾股定理可求CD，从而得出sin∠CDF，即可求sinα．
【解析】过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，
∵EF⊥l1，l1∥l2∥l3∥l4，
∴EF和l2，l3，l4的夹角都是90°，
即EF与l2，l3，l4都垂直，
∴DE＝1，DF＝2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠ADE+∠CDF＝90°，
又∵∠α+∠ADE＝90°，
∴∠α＝∠CDF，
∵AD＝CD，∠AED＝∠DFC＝90°，
∴△ADE≌△DCF，
∴DE＝CF＝1，
∴在Rt△CDF中，CD=CF2+DF2=5，
∴sinα＝sin∠CDF=CFCD=15=55．
故选：B．
10．（2009•黑河）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为32，AC＝2，则sinB的值是（ ）
A．23B．32C．34D．43
【分析】求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连接DC．根据同弧所对的圆周角相等，就可以转化为：求直角三角形的锐角的三角函数值的问题．
【解析】连接DC．
根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD＝90°．
根据同弧所对的圆周角相等，得∠B＝∠D．
∴sinB＝sinD=ACAD=23．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019•杭州模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA=35，则斜边AB边上的高CD的长为 4825
【分析】作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACB中利用正弦的定义可计算出BC=125，再利用勾股定理计算出AC=165，然后利用面积法计算CD的长
【解析】作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACB中，∵sinA=BCAB=35，
∴BC=35×4=125，
∴AC=AB2-BC2=165，
∵12CD•AB=12AC•BC，
∴CD=165×1254=4825，
即斜边上的高为4825．
故答案为：4825．
12．（2018•闵行区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，如果∠A＝α，AC＝4，那么BD＝ 4sinαtanα ．（用锐角α的三角比表示）
【分析】首先由已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，得出∠BCD＝∠A＝α，由直角△ACD求得CD，再由直角△BCD求出BD．
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠BCD＝∠A＝α，
∴CD＝AC•sinα＝4sinα，
∴BD＝CDtanα＝4sinαtanα．
故答案为：4sinαtanα．
13．（2020•铁东区三模）如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么∠BAC的正切值为 1 ．
【分析】连接BC，先利用勾股定理逆定理证△ABC是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得．
【解析】如图所示，连接BC，
则AB＝BC=12+32=10，AC=22+42=25，
∴AB2+BC2＝10+10＝20＝AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
则tan∠BAC＝1，
故答案为：1．
14．（2017秋•蓝田县期末）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB=45，AB＝15，则AC的值是 12 ．
【分析】由sinB=ACAB得AC＝ABsinB，据此可得．
【解析】在Rt△ABC中，∵sinB=ACAB，
∴AC＝ABsinB＝15×45=12，
故答案为：12．
15．（2019•武侯区模拟）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，sinA=23，则sinB＝ 53 ．
【分析】根据勾股定理及三角函数的定义进行解答即可．
【解析】Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=23，即BCAB=23，
设CB＝2x，则AB＝3x，
根据勾股定理可得：AC=5x．
∴sinB=ACAB=5x3x=53．
故答案为：53．
16．（2019•咸宁模拟）如图，P（12，a）在反比例函数y=60x图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 512 ．
【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH为∠POH的对边比邻边，求出即可．
【解析】∵P（12，a）在反比例函数y=60x图象上，
∴a=6012=5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH＝5，OH＝12，
∴tan∠POH=512，
故答案为：512．
17．（2018•云梦县一模）如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D=23，则CDCA= 12 ．
【分析】由tan∠D=ABAD=23可设AB＝2x、AD＝3x，根据∠ACB＝45°知AC＝AB＝2x，得出CD＝x，继而可得答案．
【解析】在Rt△ABD中，∵tan∠D=ABAD=23，
∴设AB＝2x，AD＝3x，
∵∠ACB＝45°，
∴AC＝AB＝2x，
则CD＝AD﹣AC＝3x﹣2x＝x，
∴CDCA=x2x=12，
故答案为：12．
18．（2018•即墨区自主招生）已知三角函数的变换公式：（a）cs（x+y）＝csxcsy﹣sinxsiny，（b）sin（﹣x）＝﹣sinx，（c）cs（﹣x）＝csx，则下列说法正确的序号是 ②③④ ．
①cs（﹣30°）=-32；
②cs75°=6-24；
③cs（x﹣y）＝csxcsy+sinxsiny；
④cs2x＝cs2x﹣sin2x．
【分析】根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断．
【解析】①cs（﹣30°）＝cs30°=32，命题错误；
②cs75°＝cs（30°+45°）＝cs30°•cs45°﹣sin30°•sin45°=32×22-12×22=6-24，命题正确；
③cs（x﹣y）＝csxcs（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝csxcsy+sinxsiny，命题正确；
④cs2x＝csx•csx﹣sinx•sinx＝cs2x﹣sin2x，命题正确；
故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•昌平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=13，BC＝2，求AB的长．
【分析】根据直角三角形的边角关系，求出AC，再根据勾股定理求出AB．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴tanA=BCAC=13．
∵BC＝2，
∴2AC=13，AC＝6．
∵AB2＝AC2+BC2＝40，
∴AB=210．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC=5．
（1）求sinA的值．
（2）你能通过sinA的值求sin∠CBD的值吗？若能，请求出sin∠CBD的值，若不能，请说明理由．
【分析】（1）利用正弦的定义求解；
（2）利用等角的余角相等证明∠A＝∠CBD，从而得到sin∠CBD＝sinA．
【解析】（1）在Rt△ABC中，sinA=BCAC=15=55；
（2）能．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵∠CBD+∠C＝90°，∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴sin∠CBD＝sinA=55．
21．（2018秋•无锡月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A=35，求BC的长和tan∠B的值．
【分析】利用锐角三角函数的定义可得BCAB=35，再代入AB的值可得BC的值；再利用勾股定理计算出AC的长，然后再利用正切定义计算即可．
【解析】∵sin∠A=35，
∴BCAB=35，
∵AB＝15，
∴BC＝9；
∴AC=AB2-BC2=12，
∴tan∠B=ACBC=129=43．
22．（2017秋•宝山区期中）如图，△ABC中，AC＝13，BC＝21，tanC=125，求：边AB的长和∠A的正弦值．
【分析】过B作BF⊥AC于F，则∠AFB＝∠BFC＝90°，解直角三角形求出BF和CF，求出AF，根据勾股定理求出AB，再解直角三角形求出sinA即可．
【解析】
过B作BF⊥AC于F，则∠AFB＝∠BFC＝90°，
在△BFC中，tanC=BFCF=125，
设BF＝12k，CF＝5k，由勾股定理得：（12k）2+（5k）2＝212，
解得：k=2113（负数舍去），
即BF=25213，CF=10513，
∵AC＝13，
∴AF＝13-10513=6413，
在△AFB中，由勾股定理得：AB=(25213)2+(6413)2=20，
在△AFB中，sinA=BFAB=2521320=6365．
23．（2020秋•浦东新区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝18，AD＝6．
（1）求sinB的值；
（2）点E在AB上，且BE＝2AE，过E作EF⊥BC，垂足为点F，求DE的长．
【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一的性质求出BD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB=ADAB计算即可；
（2）由EF∥AD，BE＝2AE，可得BEAB=EFAD=BFBD=23，求出EF、DF，再利用勾股定理解决问题．
【解析】（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝18，
∴BD＝DC=12BC＝9，
∴AB=AD2+BD2=62+92=313，
∴sinB=ADAB=6313=21313；
（2）∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴EF∥AD，
∴BEAB=EFAD=BFBD=23，
∴EF=23AD=23×6＝4，BF=23BD=23×9＝6，
∴DF＝BD﹣BF＝9﹣6＝3，
在Rt△DEF中，DE=EF2+DF2=42+32=5．
24．（2020•福州模拟）已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．
（1）如图1，若AE＝DE，
①求证：CD平分∠ACB；
②求ADDB的值；
（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．
【分析】（1）①想办法证明∠ACD＝∠CAE＝22.5°即可解决问题．
②如图1中，过点D作DT⊥BC于T．证明DA＝DT，BD=2DT即可解决问题．
（2）如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．证明△ABE≌△CAT（AAS）可得结论．
【解答】（1）①证明：∵AE＝DE，
∴∠ADE＝∠DAE，
∵∠CAD＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ACD，
∴EA＝EC，
∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，
∴∠ACD＝22.5°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，
∴CD平分∠ACB．
②解：如图1中，过点D作DT⊥BC于T．
∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，
∴DA＝DT，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，
∴BD=2DT=2AD，
∴ADDB=22．
（2）解：如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．
∵AE⊥BE，CT⊥AT，
∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAT，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAT（AAS），
∴AE＝CT，BE＝AT，
∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，
∴ET＝CT＝AE，
∴BE＝2AE，
∴tan∠ABE=AEBE=12