第一章+第三课时+2.2.1+直线的点斜式方程+课后-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课前课中课后同步试题精编

1.1.2  空间向量的数量积运算

学习目标：

1．了解空间向量夹角的概念及表示方法．

2．掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律．（重点）

3．可以用数量积证明垂直，求解角度和长度．（重点、难点）

方法要点：

1．求空间向量数量积的步骤

（1）将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．

（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．

（3）代入求解．

2．用向量法证明几何中垂直关系问题的思路

（1）要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．

（2）用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可．

3．求向量的夹角和模

（1）求两个向量的夹角：利用公式求，进而确定．

（2）求线段长度（距离）：①取此线段对应的向量；②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用，计算出，即得所求长度（距离）．

典型例题：

题组一  数量积的计算

例1  如图所示，在棱长为1的正四面体中，E，F分别是的中点，求：

（1）；（2）；（3）；（4）．

变式：已知正四面体的棱长为1．

求：（1）；（2）；（3）．

题组二  用数量积证明垂直问题

例2  如图所示，已知和都是以D为直角顶点的直角三角形，且．求证：平面．

变式：已知空间四边形中，，那么与的位置关系为_______．（填“平行”或“垂直”）

题组三  用数量积求角度

例3  如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，M是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的大小是______．

变式：已知点O是正平面外的一点，若，E、F分别是、的中点，试求与所成角的余弦值．

题组四  用数量积求长度

例4  如图，已知中，平面，并且，则的长为__________．

变式：在平行六面体中，，求的长．

当堂检测：

1．已知空间向量，，满足，则的值为________．

2．已知，，则________．

3．平行六面体中，向量两两的夹角均为，且，则等于（    ）

A．5      B．6      C．4      D．8

4．如图，在正方体中，M，N分别是棱的中点，求异面直线与所成的角。

5．在空间四边形中，连接，求向量与所成角的余弦值．

6．如图，正三棱柱中，底面边长为．

（1）设侧棱长为1，求证：；

（2）设与的夹角为，求侧棱的长．

答案

例1．【答案】（1）  （2）  （3）  （4）0；证明见详解

【解析】

【分析】

【详解】（1）．

（2）．

（3）．

（4）

变式．【答案】（1）  （2）1  （3）证明见详解

【解析】

【分析】

【详解】（1）；

（2）

；

（3）．

例2．【答案】平面；证明见详解

【解析】

【分析】

【详解】【证明】不妨设，则．

，

由于．∴，即，又已知，

∴平面．

变式：【答案】与垂直；证明见详解

【解析】

【分析】

【详解】∵

，

∴与垂直．

例3．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】不妨设棱长为2，则，

，

变式3  【答案】；证明见详解

【解析】

【分析】

【详解】设，

则，

，

∴，

∴异面直线与所成角的余弦值为．

例4．【答案】7

【解析】

【分析】

【详解】∵，

∴

．∴．

变式．【答案】；证明见详解

【解析】

【分析】

【详解】解  因为，

所以．

因为，

所以．

因为，所以，

则，即．

当堂检测

1．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】∵，∴，∴，

∴．

2．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】由，得，∴，

∴，即，∴．

3．【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】在平行六面体中有，

所以有，于是有

所以，答案选A．

4．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】解以点D为原点，以为x轴、y轴、z轴建立坐标系．设正方体的棱长为2，则，故异面直线与所成角为．

5．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】解  ∵，

∴

，

∴．

6．【答案】（1）  （2）2；证明见详解

【解析】

【分析】

【详解】（1）证明  ．

∵平面，∴．

又为正三角形，∴．

∵

，

∴．

（2）结合（1）知．又．

∴，

∴，即侧棱长为2．