第1章 整式的乘除（提高篇）-【挑战满分】七年级数学下册阶段性复习精选精练（北师大版）

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第1章 整式的乘除（提高篇）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年.光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米.则“比邻星”距离太阳系约为（ ）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
2．=（ ）
A． B． C．2 D．
3．下列计算正确的是( )．A． B．
C． D．
4．若（﹣2x+a）（x﹣1）的结果中不含x的一次项，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
5．下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
6．运用完全平方公式计算，则公式中的2ab是（ ）
A． B．﹣x C．x D．2x
7．若25a2+（k﹣3）a+9是一个完全平方式，则k的值是（　　）
A．±30 B．31或﹣29 C．32或﹣28 D．33或﹣27
8．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，下列正整数中是“智慧数”的是（ ）
A．2014 B．2018 C．2020 D．2022
9．若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
10．无论a、b为何值，代数式的值总是( )
A．负数 B．0 C．正数 D．非负数
二、填空题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）
11．若·，则n＝________．
12．若 + =0，则 ________．
13．已知（x﹣1）x+2＝1，则整数x＝__________
14．若，且，则 =____．
15．若a+b=17，ab=60，则a-b的值是__________．
16．若（x2＋y2＋1）（x2＋y2﹣1）＝48，则x2＋y2＝___
17．若，则___________．
18．如图，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，则阴影部分的面积为____．

19．希望小组的同学在求式子的值（结果用和表示）时遇到了困难．经过合作探究他们想出了如图所示的图形来解释这个式子：设△ABC的面积为，取BC的中点，则有△ABD的面积为，再取AD的中点E，则有△ACE的面积为，再取CE的中点F，则有△DEF的面积为，……照此思路持续取下去．就可利用这个图形求得 的值＝___________．

三、解答题（本大题共9小题，共84分）
20．（10分）计算：
（1）； （2）．



21．（10分）运用乘法公式简便计算:
(1)9997 2 (2)



22．（8分）先化简，再求值：，其中，．




23．（8分）已知a2－3a-1＝0．求、的值；



24．（8分）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，c=3cm，求△ABC的周长．

25．（10分）观察下列式子：



……
（1）请你观察上面三个算式的规律，再写一个符合上述规律的等式：______________；
（2）用a，b，c表示等式左边的由小到大的三个底数，则c与a，b的关系为：_____________；
（3）用字母a，b表示上述式子的规律，并加以证明．




26．（8分）已知：，，求－的值





27．（10分）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．
例：若，，试比较，的大小．
解：设，那么



看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！
问题：若，，试比较，的大小．



28．（12分）阅读材料：若满足，求的值．
解：设，，则，，
所以
请仿照上例解决下面的问题：
（1）问题发现：若x满足，求的值；
（2）类比探究：若x满足．求的值；
（3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE=10，CG=20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．












参考答案
1．A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
9 500 000 000 000×4.2=39900000000000≈40000000000000=4×1013．
故选A．
【点拨】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．A
【解析】
【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可得答案．
【详解】
=，
故选：A．
【点拨】本题考查负整数指数幂，负整数指数幂等于同底数正整数指数幂的倒数；熟练掌握运算法则是解题关键．
3．D
【解析】
【分析】幂的乘方，底数不变,指数相乘，积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此计算即可．
【详解】
解：A、 ，故本选项不合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不合题意；
D、(−2xy2)3=−8x3y6，故本选项正确
故选：D．
【点拨】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4．D
【解析】
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行化简，然后令含x的一次项系数为零即可求出答案．
【详解】
解：（﹣2x+a）（x﹣1）=﹣2 +（a+2）x﹣a，
∴a+2＝0，
∴a＝﹣2，
故选：D．
【点拨】本题考查了整式的乘法中的不含某项的计算，正确理解题意是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
【详解】
解：A、原式=，不符合题意；
B、原式=，不符合题意；
C、原式=，符合题意；
D、原式=，不符合题意，
故选：C．
【点拨】本题考查了平方差公式，关键是要熟练掌握并灵活运用平方差公式．
6．C
【解析】
【分析】运用完全平方公式计算，然后和对比即可解答.
【详解】
解：
对比可得-2ab=-x，则2ab=x.
故选C.
【点拨】本题主要考查了完全平方公式，理解完全平方公式的特征成为解答本题的关键.
7．D
【解析】
【详解】
∵25a2＋(k﹣3)a＋9是一个完全平方式，∴k﹣3＝±30，解得：k＝33或﹣27，故选D．
8．C
【解析】
【分析】设两个连续偶数为2k和2k+2（k为正整数），表示出这两个数的平方差，然后逐项验证即可
【详解】
设两个连续偶数为2k和2k+2（k为整数），
(2k+2)2-(2k)2=4k2+8k+4-4k2=8k+4，
A.若8k+4=2014，则k=，故不符合题意；
B. 若8k+4=2018，则k=，故不符合题意；
C. 若8k+4=2020，则k=252，符合题意；
D. 若8k+4=2022，则k=，故不符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查了新定义，整式的混合运算，以及一元一次方程的应用，解题的关键是表示出这两个数的平方差．
9．C
【解析】
【详解】
根据题意可得A=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1）+1
=（28-1）（28+1）+1
=216
根据21=2；22=4；23=8；24=16；25=32；···因此可由16÷4=4，所以216的末位为6
故选C
【点拨】此题是应用平方差公式进行计算的规律探索题，解题的关键是通过添加式子，使原式变化为平方差公式的形式；再根据2的n次幂的计算总结规律，从而可得到结果.
10．D
【解析】
【详解】
∵，
∴无论为何值，原式的值总是“非负数”.
故选D.
11．7
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法得到关于n的一元一次方程，求解即可；
【详解】
∵·，
∴，
∴，
∴；
故答案是：7．
【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法和一元一次方程，准确计算是解题的关键．
12．-1
【解析】
【分析】根据绝对值的性质求出a，b的值，再进行积的乘方运算即可．
【详解】
解：∵ + =0，
∴，
∴
∴
故答案为：-1
【点拨】本题主要考查了积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
13．2、0、﹣2
【解析】
【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】
解：∵（x﹣1）x+2＝1，
∴x+2＝0且x﹣1≠0或x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1且x+2为偶数，
解得：x＝﹣2、x＝2或x＝0，
故x＝﹣2或2或0．
故答案为：2、0、﹣2．
【点拨】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，正确分类讨论是解题关键．
14．2
【解析】
【分析】将利用平方差公式变形，将m-n=3代入计算即可求出m+n的值．
【详解】
解：∵m2-n2=（m+n）（m-n）=6，且m-n=3，
∴m+n=2
【点拨】此题考查了利用平方差公式因式分解，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
15．±7
【解析】
【详解】
∵，
∴，
∴.
故答案为±7.
点睛：本题解题的关键是清楚：与的关系是：.
16．7
【解析】
【分析】首先利用平方差公式将已知化简，进而得出x2＋y2的值．
【详解】
解：因为（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）＝48，
所以（x2+y2）2﹣12＝48，
所以（x2+y2）2＝49，
x2+y2＝±7（负值舍去）．
故答案为：7．
【点拨】本题考查了平方差公式，熟记公式是解题的关键．
17．
【解析】
【分析】根据一直等式得到，再整体代入所求式子，逐步运算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴
=
=
=
=
=
=
…
=
=
=
=
=
=
故答案为：．
【点拨】本题考查了代数式求值，根据所给式子的特点合理变形，熟练运用整体思想，掌握规律是解题的关键．
18．20
【解析】
【分析】根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去空白的面积，列式化简，再把a+b=10，ab=20代入计算即可．
【详解】
解：∵大小两个正方形边长分别为a、b，
∴阴影部分的面积S=a2+b2a2（a+b）ba2b2ab；
∵a+b=10，ab=20，
∴Sa2b2ab
（a+b）2ab
10220
=20．
故答案为：20．
【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式及正方形和三角形的面积计算是解题的关键．
19．
【解析】
【分析】设Sn=，两边都乘以2得2Sn=，然后两式相减即可．
【详解】
解：设Sn=，
∴2Sn=，
∴2Sn- Sn=-（），
∴Sn=．
故答案为．
【点拨】本题考查整式的加减法，掌握整式加减中规律探索的方法是解题关键．
20．（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）首先计算幂的乘方，去括号，然后根据合并同类项即可；
（2）首先计算乘除法，然后合并同类项即可．
【详解】
（1）原式==
（2）原式==
【点拨】本题考查了整式的混合运算，幂的乘方，同底数幂除法等知识点，熟练掌握相关运算法则是本题的关键．
21．(1)994009； (2)1.
【解析】
【分析】（1）直接利用完全平方公式求出即可；
（2）利用平方差公式进而求出即可．
【详解】
（1）（9997）2=（10000-3）2=100000000+9-2×3×10000=99940009；
（2）11862-1185×1187
=11862-（1186-1）×（1186+1）
=11862-11862+1
=1．
【点拨】此题主要考查了完全平方公式以及平方差公式的应用，熟练掌握乘法公式是解题关键．
22．,1.
【解析】
【分析】先用平方差公式和用多项式除以单项式的法则进行计算，然后去括号，合并同类项化简，最后代入求值.
【详解】
解：，
，
，
，
当，时，
原式．
【点拨】本题考查整式的化简求值，掌握多项式除以单项式法则及平方差公式，正确计算是本题的解题关键.
23．3，13
【解析】
【分析】显然a不为0，已知等式两边都除以a，即可求出a-=3，将a-=3两边平方，利用完全平方公式展开，配方后即可求出（a+）2的值．
【详解】
∵a≠0，
∴a2-3a-1=0变形为：a-3-=0，即a-=3，
将a-=3两边平方得：（a-）2=a2-2+=9，即a2+=11，
则（a+）2=a2+2+=13．
【点拨】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
24．△ABC的周长为9．
【解析】
【分析】由a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，利用非负数的性质可求得a，b的值，然后根据三角形的周长公式进行求解即可得.
【详解】
∵a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，
∴a2﹣4a+4+b2﹣8b+16=0，
∴（a﹣2）2+（b﹣4）2=0，
又∵（a﹣2）2≥0，（b﹣4）2≥0，
∴a﹣2=0，b﹣4=0，
∴a=2，b=4，
∴△ABC的周长为a+b+c=2+4+3=9，
答：△ABC的周长为9．
【点拨】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质等，解题的关键是利用因式分解将所给式子的左边转化成非负数的和的形式.
25．（1）32+62+92=2×（32+62+18）（答案不唯一）；（2）c=a+b；（3）a2+b2+（a+b）2=2（a2+b2+ab），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等号左边第3个底数是前两个底数的和以及括号内第3个数是前两个数的积的规律可写出等式；
（2）根据题目中的等式，可以写出用a，b，c表示左边由小到大的三个底数对应的等式，然后即可写出它们之间的关系；
（3）根据（2）中结果，可以用a、b表示出相应的等式，然后证明即可．
【详解】
解：（1）根据等式各数之间的关系可写：32+62+92=2×（32+62+18），
故答案为：32+62+92=2×（32+62+18）
（2）用a，b，c表示左边由小到大的三个底数，这个式子是a2+b2+c2=2×（a2+b2+ab），它们之间的关系是c=a+b，
故答案为c=a+b；
（3）a2+b2+（a+b）2=2（a2+b2+ab），
证明：∵a2+b2+（a+b）2
=a2+b2+a2+2ab+b2
=2a2+2b2+2ab
=2（a2+b2+ab），
∴a2+b2+（a+b）2=2（a2+b2+ab）成立．
【点拨】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式．
26．30
【解析】
【分析】将已知的两个等式相加得到(x+y)2=27，将已知的两个等式相减得到x2-y2=-3，即可得出答案.
【详解】
解：因为，，
所以，
=27，
，
，
所以 －，


=30.
故答案为30.
【点拨】本题考查了整式的混合运算——化简求值.
27．
【解析】
【分析】根据题意设，求出x，y的值，进行比较即可得．
【详解】
解：设，
则

，


，
所以．
【点拨】本题考查了整式的运算，解题的关键是理解题意，掌握整式混合的运算法则．
28．（1）21；（2）1009.5；（3）900
【解析】
【分析】（1）令a=3-x，b=x-2，整体代入后利用完全平方和公式求解；
（2）令a=2021-x，b=2020-x，再利用完全平方差公式求代数式的值；
（3）设a=x-20，b=x-10，由题意列出方程ab=200，再结合正方形和矩形的面积公式求四边形MFNP的面积．
【详解】
解：（1）设a=3-x，b=x-2，
∴ab=-10，a+b=1，
∴（3-x）2+（x-2）2，
=a2+b2
=（a+b）2-2ab
=12-2×（-10）
=21；
（2）设a=2022-x，b=2021-x，
∴a-b=1，a2+b2=2020，
∴=ab＝−[(a−b)2−(a2+b2)]=−×(12−2020)=1009.5；
（3）∵EF=DG=x-20，ED=FG=x-10，
∵四边形MEDQ与NGDH为正方形，四边形QDHP为长方形，
∴MF=EF+EM=EF+ED=（x-20）+（x-10），FN=FG+GN=FG+GD，
∴FN=（x-10）+（x-20），
∴MF=NF，
∴四边形MFNP为正方形，
设a=x-20，b=x-10，
∴a-b=-10，
∵SEFGD=200，
∴ab=200，
∴SMFNP＝(a+b)2=（a-b）2+4ab=（-10）2+4×200=900．