第1章 整式的乘除（培优篇）-【挑战满分】七年级数学下册阶段性复习精选精练（北师大版）

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第1章 整式的乘除（培优篇）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．观察等式（2a﹣1）a+2＝1，其中a的取值可能是（　　）
A．﹣2 B．1或﹣2 C．0或1 D．1或﹣2或0
2．若，则( )
A．3 B．6 C．9 D．12
3．下列运算正确的是( )
A．a2⋅a3=a6 B．(a2)3 =a6 C． D．(a+b)2 =a2+b2
4．下列代数式符合表中运算关系的是（ ）.






运算结果



A． B． C． D．
5．设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
6．由多项式乘法可得：，即得等式：①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式，下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若，则等于（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．－2020
8．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（ ）

A．6 B．2 C．3 D．4
9．…+1 的个位数字为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．设，，．若，则的值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
二、填空题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）
11．25÷6=____________．
12．计算：___________．
13．已知，求的值为________.
14．已知，则________．
15．已知a=255，b=344，c=433，则a，b，c的大小关系为______．
16．若的积不含项，则___________．
17．如果.那么_________
18．观察下边各式，你发现什么规律：将你猜想到的规律用只含有一个字母的等式表示出来__________.

19．近年来，重庆成为了众多游客前来旅游的网红城市．某商场根据游客的喜好，推出A、两种土特产礼盒，A种礼盒内有3袋磁器口麻花，3包火锅底料；种礼盒里有2袋磁器口麻花，3包火锅底料，2袋合川桃片．两种礼盒每盒成本价分别为盒内所有土特产的成本价之和．已知每袋合川桃片的成本价是每包火锅底料成本价的一半，A种礼盒每盒的售价为108元，利润率为．今年10月1日卖出A、两种礼盒共计80盒，工作人员在核算当日卖出礼盒总成本时把磁器口麻花和火锅底料的成本价看反了，导致当日卖出礼盒的实际总成本比核算时的成本少了280元，则当日卖出礼盒的实际总成本为 __元．
三、解答题（本大题共9小题，共84分）
20．（10分）计算
（1）（xy2﹣2xy）•xy （2）[（x+y）•（x﹣y）﹣（x+y）2]÷（﹣2y）



21．（10分）计算下列各式：
(1) 2022＋202×196＋982 (2) (3x－y)2－(3x＋2y)(3x－2y)



22．（10分）已知化简的结果中不含项和项．
(1)求，的值；
(2)若是一个完全平方式，求的值．



23．（10分）已知，．
（1）求；
（2）若，求的值．
（3）若的值与y的取值无关，求x的值．


24．（10分）阅读理解：
已知a+b＝﹣4，ab＝3，求+的值．
解：∵a+b＝﹣4，
∴＝．
即+＝16．
∵＝3，
∴+＝10．
参考上述过程解答：
（1）已知＝﹣3，＝﹣2．求式子（）（+）的值；
（2）若，＝﹣12，求式子的值．




25．（10分）若（m＋48）2=654421，求（m＋38）（m＋58）的值．


26．（12分）某景点的门票价格为：成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（打8折）．设一个旅游团共有人，其中学生y人．
（1）如果该旅游团的成人、学生都不足40人，请用代数式表示成人门票费、学生门票费；
（2）用代数式表示该旅游团应付的门票费；
（3）如果旅游团有47个成人，12个学生，那么他们应付门票费多少元？






27．（12分）【阅读材料】
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．
在一节数学课上，张老师准备了1张甲种纸片，1张乙种纸片，2张丙种纸片，如图1所示，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形．她将这些纸片拼成了如图2所示的一个大正方形．

【理解应用】
（1）图2中的大正方形的边长为______________；
（2）观察图2，用两种不同方式表示大正方形的面积，可得到一个等式，请你直接写出这个等式_____________________________________；
【拓展应用】
（3）利用（2）中的等式计算：
①已知，求的值；
②已知，求的值．














参考答案
1．D
【分析】存在3种情况：一种是指数为0，底数不为0；第二种是底数为1，指数为任意值；第三种是底数为－1，指数为偶数，分别求解可得．
【详解】
情况一：指数为0，底数不为0
即：a+2=0，2a－1≠0
解得：a=－2
情况二：底数为1，指数为任意值
即：2a－1=1
解得：a=1
情况三：底数为－1，指数为偶数
即：2a－1=－1，解得a=0
代入a+2=2，为偶数，成立
故答案为：D
【点拨】本题考查0指数和底数为±1的指数的特点，本题底数为－1的情况容易遗漏，需要关注．
2．C
【分析】由得x=3+y，然后，代入所求代数式，即可完成解答.
【详解】
解：由得x=3+y
代入
故答案为C.
【点拨】本题主要考查了完全平方公式的应用，灵活对代数式进行变形是解答本题的关键.
3．B
【详解】
试题分析：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可知，故不正确；
根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得，故正确；
根据积的乘方，等于各个因式分别乘方，可得，故不正确；
根据完全平方公式，可知，故不正确.
故选B.
4．B
【详解】
试题分析：根据表格所给的数，代入A可知0.5×0.25-1=2，故不正确；代入B可得0.52×0.25-1=0.5×4=1，32×3-1=3，故正确；代入C可知0.52×0.25=0.0625，故正确；代入D可知0.5-1×0.252=0.125，故不正确.
故选：B.
点睛：此题主要考察了代数式的化简求值，解题关键是利用表格数值直接向各式中代入即可，且注意负整数指数的应用.
5．B
【分析】由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案．
【详解】
解：由题意知，是100的倍数
∵与100互质
∴是100的倍数
∴的末尾数字是01
∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数，
设：（t为正整数）
则：
∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01
∴t的最小值为5，
∴的最小值为10
故答案为：B
【点拨】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键．
6．B
【分析】根据多项式乘法的立方和公式判断即可．
【详解】
解：A、（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）＝x3+8y3，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、x3+27＝（x+3）（x2﹣3x+9），原变形正确，故此选项符合题意；
C、（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）＝x3+8y3，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、a3+1＝（a+1）（a2﹣a+1），原变形错误，故此选项不符合题意，
故选：B．
【点拨】本题主要考查学生的阅读理解能力及多项式乘法的立方和公式．透彻理解公式是解题的关键．
7．C
【分析】将变形为，，代入即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，，
∴




=2018．
故选：C
【点拨】本题考查了根据已知代数式的值求新代数式的值，将已知条件适当变形，代入所求代数式求解是解题关键．
8．D
【分析】根据大正方形的边长，可求出大正方形的面积为，根据完全平方公式，分解为3部分，刚好就是A、B、C这3类图形面积部分.其中，分解的ab部分的系数即为B类卡片的张数．
【详解】
大正方形的面积为：
其中为A类卡片的面积，∴需要A类卡片一张；
同理，需要B类卡片4张，C类卡片4张．
故选D．
【点拨】本题考查了完全平方公式在几何图中的应用，遇到这类题目，需要想办法先将题干转化为我们学习过的数学知识，然后再求解．
9．C
【分析】在代数式前面乘以（2-1），代数式的值不变，连续使用平方差公式，找到规律即可求出代数式的值；通过列举，找到2n的个位数字的循环规律即可．
【详解】
解：（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1
=（216﹣1）…（232+1）+1
=264﹣1+1
=264；
∵21=2，22=4，23=8，24=16，个位数按照2，4，8，6依次循环，而64=16×4，故原式的个位数字为6．
故选C．
【点拨】本题考查了平方差公式的运用，幂的个位数的求法，重复使用平方差公式是解题的关键．
10．A
【分析】先将a=x-2017，b=x-2019代入，得到（x-2017）2+（x-2019）2=34，再变形为（x-2018+1）2+（x-2018-1）2=34，然后将（x-2018）作为一个整体，利用完全平方公司得到一个关于（x-2018）的一元二次方程即可解答．
【详解】
解：∵a=x-2017，b=x-2019，a2+b2=34，
∴（x-2017）2+（x-2019）2=34，
∴（x-2018+1）2+（x-2018-1）2=34，
∴（x-2018）2+2（x-2018）+1+（x-2018）2-2（x-2018）+1=34，
∴2（x-2018）2=32，
∴（x-2018）2=16，
又∵c=x-2018，
∴c2=16.
故答案为A．
【点拨】本题考查了完全平方公式，对所给条件灵活变形以及正确应用整体思想是解答本题的关键．
11．a
【详解】
试题分析：跟据同底数幂相乘和同底数幂相除，可知25÷6=a7÷a6=a.
12．
【详解】
根据整式的除法—多项式除以单项式，可知：8a5÷2a2-6a3÷2a2=.
故答案为.
13．15．
【分析】逆用同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．
【详解】
解：∵2a=5，2b=3，
∴2a+b=2a×2b=5×3=15．
故答案为15．
【点拨】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键．
14．-3．
【分析】根据幂的运算法则进行计算，再根据指数相同列方程即可．
【详解】
解：由得，，
∴，

故答案为：-3．
【点拨】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练运用幂的运算化简等式，再整体代入．
15．b＞c＞a
【分析】根据幂运算的性质，及它们的指数相同，只需比较它们的底数的大小，底数大的就大．
【详解】
解：a=255=（25）11=3211，
b=344=（34）11=8111，
c=433=（43）11=6411，
则b＞c＞a．
【点拨】此题要熟练运用幂运算的性质把它们变成相同的指数，然后根据底数的大小比较两个数的大小．
16．
【分析】先利用多项式乘多项式法则，展开合并后得到，根据题意得，即可求解a．
【详解】
解：
=
=
∵的积不含项，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
17．-1
【分析】根据得到，再把原式变形，然后把整体代入求值即可得解.
【详解】
解：，








故答案为-1
【点拨】本题考查了整式的化简求值，解题关键是把原条件变形后整体代入所求算式的变形式中计算.
18．（2n-1）（2n+1）=（2n）2-1．
【分析】利用（2×1-1）（2×1+1）=（2×1）2-1；（2×2-1）×（2×2+1）=（2×2）2-1；（2×3-1）×（2×3+1）=（2×3）2-1，则可以得出第n个等式为（2n-1）（2n+1）=（2n）2-1．
【详解】
∵（2×1-1）（2×1+1）=（2×1）2-1；
（2×2-1）×（2×2+1）=（2×2）2-1；
（2×3-1）×（2×3+1）=（2×3）2-1；
∴第n个等式为（2n-1）（2n+1）=（2n）2-1．
故答案为（2n-1）（2n+1）=（2n）2-1．
【点拨】本题主要考查了数字变化类，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．根据题中所给的材料获取所需的信息和解题方法是需要掌握的基本技能．
19．6920
【分析】根据A种礼盒每盒的售价为108元，利润率为可得1袋磁器口麻花，1包火锅底料的成本价是30元，设1袋磁器口麻花成本价是元，则1包火锅底料的成本价是元，每袋合川桃片的成本价元，设今年10月1日卖出A种礼盒盒，则卖出中礼盒盒，由工作人员在核算当日卖出礼盒总成本时把磁器口麻花和火锅底料的成本价看反了，导致当日卖出礼盒的实际总成本比核算时的成本少了280元，可得，化简整理得：，从而可求出当日卖出礼盒的实际总成本．
【详解】
种礼盒每盒的售价为108元，利润率为，
种礼盒每盒的成本价为（元，即3袋磁器口麻花，3包火锅底料成本价为90元，
袋磁器口麻花，1包火锅底料的成本价是30元，
设1袋磁器口麻花成本价是元，则1包火锅底料的成本价是元，
∵每袋合川桃片的成本价是每包火锅底料成本价的一半，
每袋合川桃片的成本价元，
每盒种礼盒成本价是，
设今年10月1日卖出A种礼盒盒，则卖出中礼盒盒，根据题意可得：
，
化简整理得：，
当日卖出礼盒的实际总成本为：



元
故答案为：6920．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，整式的运算、代数式的知识，解题的关键熟练掌握整式乘法的性质，从而完成求解．
20．（1）x2y3﹣x2y2；（2）x+y
【分析】（1）用多项式的每一项去乘以单项式，再把结果相加即可；
（2）先将括号内的用平方差公式和完全平方公式化简、合并同类项，再用每一项去除以（﹣2y）.
【详解】
（1）原式＝；
（2）原式＝[x2﹣y2﹣（x2+2xy+y2）]÷（﹣2y），
＝（x2﹣y2﹣x2﹣2xy﹣y2）÷（﹣2y），
＝（﹣2y2﹣2xy）÷（﹣2y），
＝y+x．
【点拨】此题考查整式的混合运算，按照整式乘除法的法则、乘法公式计算乘法，再把结果相加.
21．（1）90000；（2）5y2-6xy．
【分析】（1）符合完全平方公式，化简即可得到结果；
（2）根据完全平方公式和平方差公式计算后合并同类项即可．
【详解】
（1）2022+202×196+982                
=2022+2×202×98+982
=（202+98）2
=90000；
（2）（3x-y）2-（3x+2y）（3x-2y）
=9x2-6xy+y2-（9x2-4y2）
=9x2-6xy+y2-9x2+4y2
=5y2-6xy．
故答案是：（1）90000；（2）5y2-6xy．
【点拨】此题考查了整式的混合计算，熟练掌握整式的乘法公式是解本题的关键．完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2；平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2．
22．(1)
(2)25
【分析】（1）先将原式化简，再根据结果中不含项和项可得 ，即可求解；
（2）先将原式化简，再根据原式是一个完全平方式，把化简后的结果中 作为一个整体，再变形为完全平方形式，即可求解．
(1)
解：

，
∵化简的结果中不含项和项，
∴ ，
解得：；
(2)
解：




∵是一个完全平方式，
∴，
∴ ，
解得： ．
【点拨】本题主要考查了整式乘法运算中的无关项题，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，不含某一项就是化简后该项的系数等于0是解题的关键．
23．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）列式计算即可得到答案；
（2）依据平方的非负性及绝对值的非负性求出x与y的值，代入（1）的结果中计算即可；
（3）将整理为5x+（5-7x）y+15，根据题意列得5-7x=0，解方程即可得到答案.
【详解】
（1）∵，，
∴==；
（2）∵，
∴，xy+1=0，
∴，xy=-1，
∴
=
=5（x+y）-7xy+15
=
=；
（3）∵的值与y的取值无关，
==5x+（5-7x）y+15，
∴5-7x=0，
解得.
【点拨】此题考查整式的混合运算，已知式子的值求代数式的值，整式无关型题的解法.
24．(1)-15 (2)76
【分析】（1）利用完全平方公式，先求出（a2+b2）的值，再计算（a-b）（a2+b2）的值；
（2）把m-n-P=-10变形为[（m-p）-n]，利用完全平方公式仿照例题计算得结论．
【详解】
解：（1）因为（a-b）2=（-3）2，
所以a2-2ab+b2=9，
又∵ab=-2
∴a2+b2=9-4=5，
∴（a-b）（a2+b2）
=（-3）×5
=-15
（2）∵（m-n-p）2=（-10）2=100，
即[（m-p）-n]2=100，
∴（m-p）2-2n（m-p）+n2=100，
∴（m-p）2+n2=100+2n（m-p）
=100+2（-12）
=76．
【点拨】本题主要考查了整式乘法的完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解决本题的关键．
25．．
【分析】（m+38）与（m＋58）的算术平均数为（m+48）,故设，得x2=654421，把所求关于m的代数式换元成关于x的代数式，即可用平方差公式进行简便运算．
【详解】
解：设，则，m=x-48，
把m=x-48代入（m＋38）（m＋58）中得
原式


．
故答案为：．
【点拨】本题考查用平方差公式进行简便运算．设（m+38）与（m＋58）的算术平均数为x然后换元是解决此题的关键．本题运用的平均数换元的思想在进行有关代数式的变形中常常用到．
26．（1）学生门票费为：10y元，成人门票费为：20（x-y）元；（2）（16x-8y）元；（3）848
【分析】（1）利用人数乘以票价即可得到门票费；
（2）直接利用人数乘以票价乘以0.8得出答案即可；
（3）将y=12，x=47+12=59代入（2）的结果中计算即可．
【详解】
（1）根据题意得出：
学生门票费为：10y元，
成人门票费为：20（x-y）元；
（2）[10y+20（x-y）]×0.8=（16x-8y）元；
（3）当y=12，x=47+12=59时，
16x-8y=16×59-8×12=848（元）．
答：那么应付848元门票费．
【点拨】此题考查列代数式，代数式求值，整式的混合运算，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
27．（1）x+y；（2）（x+y）2=x2+y2+2xy；（3）①13；②4044
【分析】（1）直接根据图形可得结论；
（2）方法一是直接求出大正方形的面积（x+y）2，方法二是将各部分的面积相加得到大正方形面积，即x2+y2+2xy为边的正方形面积，可得等式；
（3）①将a2+b2=10，a+b=6代入上题所得的等量关系式求值；
②可以将2021-a看作A，将a-2019看作B，代入（2）题的等量关系式求值即可．
【详解】
解：（1）由题意得：
图2中的大正方形的边长为：x+y；
（2）根据大正方形的面积可得：
这个等式为：（x+y）2=x2+y2+2xy；
（3）①由题意得：ab=，
把a2+b2=10，a+b=6代入上式得，
ab==13，
答：ab的值是13．
②由题意得：
（2021-a）2+（a-2019）2
=（2021-a+a-2019）2-2（2021-a）（a-2019）
=22-2×（-2020）
=4044