高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第4课时巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第4课时巩固练习，共6页。

A． eq \r(3) B． eq \f(\r(3),4)
C． eq \f(\r(3),2) 或 eq \r(3) D． eq \f(\r(3),2) 或 eq \f(\r(3),4)
2．在△ABC中，AB＝ eq \r(3) ，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝ eq \f(\r(3),2) ，则C＝( )
A．60°或120° B．30°
C．60° D．45°
3．[2022·河北唐山高一期末]△ABC的内角A，B，C所对的边是a，b，c，其面积为S.若4S＝a2＋c2－b2，则角B＝________．
4．[2022·广东珠海高一期末]如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在BC边上，AD＝ eq \r(2) ，∠ADB＝60°.
(1)求AB的长度；
(2)若CD＝2 eq \r(2) ，求AC的长度．
5.[2022·山东菏泽高一期末]在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且 eq \f(cs A,sin B) ＝ eq \f(\r(3)a,3b) ，当a＝ eq \r(7) ，b＝2时，△ABC的面积是( )
A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(7),2)
C． eq \f(3\r(3),2) D． eq \f(3\r(7),2)
6．[2022·辽宁重点高中协作体高一期末]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且△ABC的面积S＝ eq \f(1,4) abc.若C＝ eq \f(π,3) ，则S的最大值为( )
A．2 eq \r(3) B． eq \f(2\r(6),3)
C．2 eq \r(6) D． eq \f(3\r(3),4)
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cs A(b cs C＋c cs B)＝a＝ eq \r(13) ，△ABC的面积为3 eq \r(3) ，则A＝________，b＋c＝________．
8．[2022·天津杨柳青高一期末]在△ABC中， eq \r(3) a cs B＝b sin A.
(1)求∠B；
(2)若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．
9．[2022·新高考Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2＋S3＝ eq \f(\r(3),2) ，sin B＝ eq \f(1,3) .
(1)求△ABC的面积；
(2)若sin A sin C＝ eq \f(\r(2),3) ，求b.
10．[2022·河北保定高一期末]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 eq \f(a sin A sin C,csin 2B) ＝ eq \f(12,7) ，cs C＝－ eq \f(\r(21),14) .
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为 eq \f(5\r(3),2) ，且D为AC的中点，求线段BD的长．
11.在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，则四边形ABCD的面积S为( )
A．4 eq \r(3) B．6 eq \r(3)
C．8 eq \r(3) D．10 eq \r(3)
12．[2022·广东揭阳高一期末]如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝120°.若CD＝2 eq \r(6) ，AD＝8，________，求AB的长．
从①BD＝6，∠ADC＝75°；②cs ∠ADB＝ eq \f(3,5) ，∠CBD＝45°；③S△ABD＝12 eq \r(3) ，∠CBD＝45°这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
答案：
1．解析：由余弦定理得cs B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ＝ eq \f(a2＋3－1,2\r(3)a) ＝ eq \f(\r(3),2) ，解得a＝1或2，经检验，均符合要求．
当a＝1时，S△ABC＝ eq \f(1,2) ac sin B＝ eq \f(\r(3),2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(\r(3),4) ；
当a＝2时，S△ABC＝ eq \f(1,2) ac sin B＝ eq \r(3) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(\r(3),2) .故选D.
答案：D
2．解析：在△ABC中，AB＝ eq \r(3) ，AC＝1，B＝30°，
S△ABC＝ eq \f(1,2) AB·AC sin A＝ eq \f(\r(3),2) ，可得sin A＝1，所以A＝90°，
所以C＝180°－A－B＝60°.故选C.
答案：C
3．解析：因为4S＝a2＋c2－b2，则4× eq \f(1,2) ac sin B＝2ac cs B，
∵00，所以，tan B＝1，解得B＝ eq \f(π,4) .
答案： eq \f(π,4)
4．解析：(1)在△ABD中，∠ABD＝45°，AD＝ eq \r(2) ，∠ADB＝60°.
由正弦定理得 eq \f(AB,sin ∠ADB) ＝ eq \f(AD,sin ∠ABD) ，即 eq \f(AB,sin 60°) ＝ eq \f(\r(2),sin 45°) ，解得AB＝ eq \r(3) .
(2)在△ACD中，∠ADC＝180°－60°＝120°，AD＝ eq \r(2) ，CD＝2 eq \r(2) .
由余弦定理得AC＝ eq \r(AD2＋DC2－2AD·DC cs 120°) ＝ eq \r(2＋（2\r(2)）2－2×\r(2)×2\r(2)×（－\f(1,2)）)
＝ eq \r(14) .
5．解析：对于 eq \f(cs A,sin B) ＝ eq \f(\r(3)a,3b) ，用正弦定理得 eq \f(cs A,sin B) ＝ eq \f(\r(3)sin A,3sin B) .
因为A∈(0，π)，且tan A＝ eq \r(3) ，所以A＝ eq \f(π,3) .
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cs A得7＝4＋c2－2×2c× eq \f(1,2) ，
解得c＝3(c＝－1舍去).
所以△ABC的面积是S＝ eq \f(1,2) bc sin A＝ eq \f(1,2) ×2×3× eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(3\r(3),2) .故选C.
答案：C
6．解析：因为S＝ eq \f(1,4) abc＝ eq \f(1,2) ab sin C，
所以c＝2sin C，
因为C＝ eq \f(π,3) ，
所以c＝2sin C＝ eq \r(3) ，
由余弦定理，c2＝3＝a2＋b2－ab≥ab，即ab≤3，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以S＝ eq \f(1,2) ab sin C＝ eq \f(\r(3),4) ab≤ eq \f(3\r(3),4) .故选D.
答案：D
7．解析：由已知及正弦定理可得，2cs A(sin B cs C＋sin C cs B)＝sin A，
可得2cs A sin (B＋C)＝sin A，
即2cs A sin A＝sin A，又sin A≠0，∴cs A＝ eq \f(1,2) ，
∴A＝ eq \f(π,3) .
由面积公式可得，3 eq \r(3) ＝ eq \f(1,2) bc sin A＝ eq \f(\r(3),4) bc，即bc＝12.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cs A，
得13＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－36，
解得b＋c＝7.
答案： eq \f(π,3) 7
8．解析：(1)在△ABC中，由正弦定理，
因为 eq \r(3) a cs B＝b sin A，
所以 eq \r(3) sin A cs B＝sin B sin A，
因为sin A≠0，
所以 eq \r(3) cs B＝sin B，
所以tan B＝ eq \r(3) ，
因为0＜B＜π，
所以B＝ eq \f(π,3) .
(2)因为b＝2，c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cs B，
可得4＝a2＋4a2－2a×2a× eq \f(1,2) ，
所以a＝ eq \f(2\r(3),3) ，c＝ eq \f(4\r(3),3) ，
所以S△ABC＝ eq \f(1,2) ac sin B＝ eq \f(1,2) × eq \f(2\r(3),3) × eq \f(4\r(3),3) × eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(2\r(3),3) .
9．解析：(1)由题意得S1＝ eq \f(1,2) ·a2· eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(\r(3),4) a2，S2＝ eq \f(\r(3),4) b2，S3＝ eq \f(\r(3),4) c2，则S1－S2＋S3＝ eq \f(\r(3),4) a2－ eq \f(\r(3),4) b2＋ eq \f(\r(3),4) c2＝ eq \f(\r(3),2) ，
即a2＋c2－b2＝2，由余弦定理得cs B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ，整理得ac cs B＝1，则cs B>0，又sin B＝ eq \f(1,3) ，
则cs B＝ eq \r(1－（\f(1,3)）2) ＝ eq \f(2\r(2),3) ，ac＝ eq \f(1,cs B) ＝ eq \f(3\r(2),4) ，则S△ABC＝ eq \f(1,2) ac sin B＝ eq \f(\r(2),8) .
(2)由正弦定理得 eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(c,sin C) ，则 eq \f(b2,sin 2B) ＝ eq \f(a,sin A) · eq \f(c,sin C) ＝ eq \f(ac,sin A sin C) ＝ eq \f(\f(3\r(2),4),\f(\r(2),3)) ＝ eq \f(9,4) ，则 eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(3,2) ，b＝ eq \f(3,2) sin B＝ eq \f(1,2) .
10．解析：(1)因为 eq \f(a sin A sin C,csin 2B) ＝ eq \f(12,7) ，所以 eq \f(a2c,b2c) ＝ eq \f(a2,b2) ＝ eq \f(12,7) .
设a2＝12k(k>0)，则b2＝7k，由cs C＝－ eq \f(\r(21),14) ，
得 eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(19k－c2,4\r(21)k) ＝－ eq \f(\r(21),14) ，解得c2＝25k，
所以cs B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ＝ eq \f(3k,2\r(3)k) ＝ eq \f(\r(3),2) ，
0(2)因为△ABC的面积S＝ eq \f(1,2) ac sin B＝ eq \f(1,4) ac＝ eq \f(5\r(3),2) ，所以ac＝10 eq \r(3) .
又 eq \f(a2,c2) ＝ eq \f(12,25) ，所以a＝2 eq \r(3) ，c＝5.
由(1)知 eq \f(b2,a2) ＝ eq \f(7,12) ，所以b＝ eq \r(7) ，CD＝ eq \f(\r(7),2) .
所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cs C＝ eq \f(67,4) ，故BD＝ eq \f(\r(67),2) .
11．解析：如图，
由余弦定理得，在△ABD中，BD2＝4＋16－2×2×4cs A＝20－16cs A，
在△CBD中，BD2＝16＋36－2×4×6cs C＝52－48cs C，
∵A＋C＝180°，
∴20－16cs A＝52＋48cs A，
解得cs A＝－ eq \f(1,2) ，∴A＝120°，C＝60°.
S＝S△ABD＋S△CBD＝ eq \f(1,2) ×2×4×sin 120°＋ eq \f(1,2) ×4×6×sin 60°＝8 eq \r(3) .故选C.
答案：C
12．解析：若选①，在△BCD中，
∵CD＝2 eq \r(6) ，BD＝6，∠BCD＝120°，
∴由正弦定理可知 eq \f(BD,sin ∠BCD) ＝ eq \f(CD,sin ∠CBD) ，解得sin ∠CBD＝ eq \f(\r(2),2) ，
又∵∠CBD∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，∴∠CBD＝45°，即∠CDB＝180°－120°－45°＝15°，
∴∠ADB＝∠ADC－∠CDB＝60°，
在△ABD中，∠ADB＝60°，AD＝8，BD＝6.
由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cs ∠ADB，解得AB＝2 eq \r(13) .
若选②，在△BCD中，CD＝2 eq \r(6) ，∠BCD＝120°，∠CBD＝45°，
由正弦定理得 eq \f(BD,sin ∠BCD) ＝ eq \f(CD,sin ∠CBD) ，解得BD＝6，
在△ABD中，cs ∠ADB＝ eq \f(3,5) ，AD＝8，BD＝6，
由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cs ∠ADB，即AB＝ eq \f(2,5) eq \r(265) .
若选③，在△ABD中，∠BCD＝120°，∠CBD＝45°，CD＝2 eq \r(6) ，
由正弦定理得 eq \f(BD,sin ∠BCD) ＝ eq \f(CD,sin ∠CBD) ，解得BD＝6，
在△ABD中，
由S△ABD＝ eq \f(1,2) AD·BD sin ∠ADB＝12 eq \r(3) ，解得sin ∠ADB＝ eq \f(\r(3),2) ，
则∠ADB＝60°或120°，
由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cs ∠ADB，
当∠ADB＝60°时，解得AB＝2 eq \r(13) ，当∠ADB＝120°时，解得AB＝2 eq \r(37) ，
综上所述：AB＝2 eq \r(13) 或2 eq \r(37) .