第2章对称问题的解法同步练习（湘教版选择性必修第一册）

培优课　对称问题的解法

A级必备知识基础练

1.点A(1,4)关于原点对称的点的坐标是(　　)

A.(-1,4) B.(1,-4)

C.(-1,-4) D.(-4,-1)

2.点A(1,4)关于点M(0,-1)的对称点坐标是(　　)

A. B.(-1,2)

C.(-1,6) D.(-1,-6)

3.点A(1,4)关于x轴的对称点的坐标是(　　)

A.(-1,4) B.(1,-4)

C.(-1,-4) D.(-4,-1)

4.点P(2,5)关于直线x=4的对称点的坐标是(　　)

A.(6,5) B.(6,-5) C.(5,6) D.(5,-6)

5.点P(2,5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是(　　)

A.(5,2) B.(-5,-2)

C.(-2,-5) D.(5,-2)

6.直线2x-y=2关于直线2x-y+3=0的对称直线方程是　　　　　　　. 

7.直线l与l1关于点(1,-1)中心对称,若直线l的方程是2x+3y-6=0,则直线l1的方程是　　　　　　　. 

8.求直线l:2x-3y+1=0关于y轴对称的直线的方程.

B级关键能力提升练

9.(2022江苏南京六校高二月考)已知点A(5,7)与点B关于直线l:y=x+1对称,则点B的坐标为(　　)

A.(7,6)

B.(4,7)

C.(6,-7)

D.(6,6)

10.(2022江西南昌新建一中)一束光线从点M(5,3)射出,经x轴反射后的光线经过点N(7,3),则反射光线所在的直线方程为(　　)

A.y=3x-18

B.y=-3x-12

C.y=3x+12

D.y=-3x+18

11.光线从A(-3,4)点射出,到x轴上的B点后,被x轴反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射线恰好过点D(-1,6),则BC所在直线的方程是(　　)

A.5x-2y+7=0

B.3x+y-1=0

C.3x-2y+4=0

D.2x-y-3=0

12.(2022重庆育才中学高二月考)很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如,与相关的代数问题,可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间的距离的几何问题.结合上述观点,对于函数f(x)=,f(x)的最小值为(　　)

A.2

B.2

C.2

D.2

13.(2022福建泉州实验中学高二月考)已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b的方程是　. 

14.将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点A(2,0)与点B(-2,4)重合,则与点C(5,8)重合的点的坐标是　　　　　. 

15.(2022河南三门峡高二期末)已知点A(0,4)与点B关于直线l0:x+2y-3=0对称.

(1)求B点的坐标;

(2)一条光线沿直线l:x-y+4=0入射到直线l0后反射,求反射光线所在的直线方程.

16.(2022四川绵阳南山中学高二月考)在△ABC中,点A(2,-1),AB边上中线所在的直线方程为x+3y-6=0,∠ABC的内角平分线所在的直线方程为x-y+1=0.

(1)求点B的坐标;

(2)求△ABC的边BC所在直线的方程.

C级学科素养创新练

17.(2022山东临沂高二期末)如图,光线从P(a,0)(a>0)出发,经过直线l:x-3y=0反射到Q(b,0),该光线在Q点被x轴反射,若反射光线恰与直线l平行,且b≥13,则实数a的最小值是　　　　　. 

参考答案

培优课　对称问题的解法

1.C

2.D　由题意可知,点M是所求点与点A的中点,设所求点为A'(x,y),则解得即所求点的坐标为(-1,-6).故选D.

3.B

4.A　设点Q(a,b)为所求的对称点,则由题意知b=5,且点Q与点P的中点在直线x=4上,因此=4,得a=6.故所求对称点是(6,5).

5.B　设对称点P'(m,n),

则解得

故点P关于直线x+y=0的对称点的坐标是(-5,-2).

6.2x-y+8=0　直线2x-y=2可化为2x-y-2=0,则直线2x-y-2=0与直线2x-y+3=0平行.

设所求直线的方程为2x-y+t=0(t≠-2,且t≠3),在直线2x-y=2上任取一点M(1,0),设点M关于直线2x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则解得即点M'的坐标为(-3,2).将点M'的坐标代入方程2x-y+t=0,解得t=8.故所求直线方程为2x-y+8=0.

7.2x+3y+8=0　在直线l1上任取一点A(x,y),则点A关于点(1,-1)的对称点B(2-x,-2-y)一定在直线l:2x+3y-6=0上,故有2(2-x)+3(-2-y)-6=0,整理得2x+3y+8=0.故直线l1的方程为2x+3y+8=0.

8.解设M(x,y)是所求直线上的任意一点,则其关于y轴的对称点为M'(-x,y)在直线l:2x-3y+1=0上,即为-2x-3y+1=0,整理得2x+3y-1=0.故与直线l:2x-3y+1=0关于y轴对称的直线的方程为2x+3y-1=0.

9.D　设B(x,y),则AB的中点坐标是,则由题意可得解得即B(6,6).故选D.

10.A　根据光线的反射原理,入射光线上的点关于反射面对称的点在反射光线的反向延长线上.

由题可知,点M(5,3)关于x轴对称的点为M'(5,-3),则M'(5,-3)在反射光线的反向延长线上.

则kM'N==3,所以反射光线所在的直线方程为y-3=3(x-7),即y=3x-18.故选A.

11.A　根据题意,作出如图所示的光线路径,则点A(-3,4)关于x轴的对称点为A'(-3,-4),点D(-1,6)

关于y轴的对称点为D'(1,6),则BC所在直线的方程即为A'D'所在直线的方程.

由两点式方程,得直线A'D'的方程为,整理得5x-2y+7=0.

故选A.

12.A　由题得,f(x)=,则f(x)=表示动点P(x,1)到定点A(-1,0)和B(1,0)的距离之和.

因为点P(x,1)在直线y=1上运动,作点B(1,0)关于直线y=1的对称点B1,则B1(1,2),

故|PA|+|PB|=|PA|+|PB1|≥|AB1|==2,

当且仅当A,P,B1三点共线时,等号成立,故f(x)的最小值为2,故选A.

13.y=-x+　由题意得,直线AB与直线y=kx+b垂直,且线段AB的中点-,2在直线y=kx+b上.

由kAB=,可得解得故直线方程为y=-x+.

14.(6,7)　由已知得折线为线段AB的垂直平分线,设垂直平分线的方程为y=kx+b,线段AB的中点为(0,2),斜率为kAB==-1,则线段AB的垂直平分线的斜率k为1,将点(0,2)代入,可得b=2,故垂直平分线的方程为y=x+2.

设点C(5,8)关于直线y=x+2的对称点为P(x0,y0),

则解得因此所求点的坐标是(6,7).

15.解(1)设B(a,b),

则解得

所以B点坐标为(-2,0).

(2)设反射光线所在的直线为l'.

因为点A在直线l上,所以点B在直线l'上.

设l与l0的交点为P,

联立方程解得

所以P-.

反射光线所在的直线即为直线BP,其直线方程为y=(x+2),整理得y=7x+14.

故反射光线所在的直线方程为y=7x+14.

16.解(1)设点B(x0,y0),则解得故点B的坐标为.

(2)设点A(2,-1)关于x-y+1=0对称的点为A'(m,n),则AA'的中点坐标为,kAA'=,解方程组

则A'(-2,3).

由(1)知B,所以kA'B=,

所以直线BC的方程为y-x-,整理得x-9y+29=0.故△ABC的边BC所在直线的方程为x-9y+29=0.

17.5　如图,设P关于直线l的对称点为M,则点M一定在第一次反射的反射光线所在直线上,设点M关于x轴的对称点为N,则点N在第二次反射的反射光线所在直线上.

设M(x,y),则解得即Ma,a.

则点N坐标为a,-a.

由题意kQN=,整理得b=a.

∵b≥13,∴a≥13,解得a≥5.故a的最小值为5.