高中3.1 椭圆同步练习题

这是一份高中3.1 椭圆同步练习题，共4页。试卷主要包含了已知点A)和圆O1等内容，欢迎下载使用。

1．已知定点F1、F2，且|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是( )．
A．椭圆 B．圆
C．直线 D．线段
答案 D
2．如果方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围
是( )．
A．a>3 B．a<－2
C．a>3或a<－2 D．a>3或－6解析 由题意知a2>a＋6解得a>3或a<－2，且x2，y2项的分母应分别大于0，综上a>3或－6答案 D
3．已知△ABC的顶点是B、C在椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边BC上，则△ABC的周长是( )．
A．2eq \r(3) B．6
C．4eq \r(3) D．12
解析 设椭圆的另一焦点为F，则△ABC的周长为(|AB|＋|BF|)＋(|CA|＋|CF|)＝2a＋2a＝4a，而a2＝3，a＝eq \r(3)，∴4a＝4eq \r(3)，即△ABC的周长为4eq \r(3).
答案 C
4．过(－3，2)点且与eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆方程为________．
解析 与eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆可设为eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,4－k)＝1且k＜4，将(－3，2)代入得：k＝－6.
答案 eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1
5．已知椭圆的两个焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是__________．
解析
如图所示，因为P是椭圆上的一个动点，所以由椭圆的定义可知：
|PF1|＋|PF2|＝2a为常数．
又因为|PQ|＝|PF2|，
所以|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a为常数．即动点Q到定点F1的距离为定值，所以动点Q的轨迹是以F1为圆心，以2a为半径的圆．故Q的轨迹为圆．
答案 圆
6．已知点A(0，eq \r(3))和圆O1：x2＋(y＋eq \r(3))2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．
解 ∵|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4，
∴|PO1|＋|PA|＝4，又∵|O1A|＝2eq \r(3)＜4，
∴点P的轨迹是以A、O1为焦点的椭圆，
∴c＝eq \r(3)，a＝2，b＝1，∴动点P 的轨迹方程为x2＋eq \f(y2,4)＝1.
eq \a\vs4\al\c1(综合提高 （限时25分钟）)
7．椭圆eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为( )．
A．20 B．22
C．28 D．24
解析 由|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，得2|PF1|·|PF2|＝142－100＝96.
又因PF1⊥PF2，所以S＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝24.
答案 D
8．曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,25－k)＝1(0＜k＜9)的关系是( )．
A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
解析 曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的焦点在x轴，且c2＝16，而eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,25－k)＝1中显然25－k＞9－k，即焦点在y轴，且c2＝16.
答案 B
9．椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．
解析 如图，∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.
在△F1PF2中，
cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(16＋4－28,2×4×2)＝－eq \f(1,2)，
∴∠F1PF2＝120°.
答案 2 120°
10．椭圆eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1的焦距是________，焦点坐标是______；若AB为过椭圆的一个焦点F1的一条弦，F2为另一个焦点，则△ABF2的周长是________．
解析 由椭圆方程eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1，可知a2＝100，b2＝36，c2＝a2－b2＝64，∴c＝8，焦距2c＝16.两焦点为F1(－8，0)，F2(8，0)．
由椭圆的定义可知，△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝4a＝40.
答案 16 (－8，0)，(8，0) 40
11．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P(3，4)，若PF1⊥PF2，求椭圆的方程．
解 椭圆经过点P(3，4)，则eq \f(9,a2)＋eq \f(16,b2)＝1(a>b>0)．①
又a2＝b2＋c2.②
设F1(－c，0)，F2(c，0)，则eq \(PF,\s\up6(→))1＝(－c－3，－4)，eq \(PF,\s\up6(→))2＝(c－3，－4)．由eq \(PF,\s\up6(→))1⊥eq \(PF,\s\up6(→))2，则eq \(PF,\s\up6(→))1·eq \(PF,\s\up6(→))2＝0，可得c2＝25③
由①②③可得a2＝45，b2＝20，
故所求椭圆方程为eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1.
12．(创新拓展)已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．
(1)若∠F1PF2＝eq \f(π,3)，求△PF1F2的面积；
(2)求|PF1|·|PF2|的最大值．
解 (1)由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝20，①
在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs∠F1PF2，即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|.②
①2－②，并整理，得|PF1||PF2|＝eq \f(256,3).
∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sineq \f(π,3)＝eq \f(64,3)eq \r(3).
(2)由eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1可知，a＝10，c＝6.
∴|PF1|＋|PF2|＝20，
∴|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq \s\up12(2)＝100.
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝10时，等号成立．
∴|PF1|·|PF2|的最大值是100.