湘教版（2019）选择性必修 第一册2.5 圆的方程巩固练习

2.5.2　圆的一般方程

A级 必备知识基础练

1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是(　　)

A.(2,3),3

B.(-2,3),

C.(-2,-3),13

D.(2,-3),

2.若圆C:x2+y2+(m-2)x+(m-2)y+m2-3m+2=0过坐标原点,则实数m的值为(　　)

A.1 B.2

C.2或1 D.-2或-1

3.与圆C:x2+y2-2x-35=0同圆心,且面积为圆C面积的一半的圆的方程为(　　)

A.(x-1)2+y2=3

B.(x-1)2+y2=6

C.(x-1)2+y2=9

D.(x-1)2+y2=18

4.若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0的外部,则实数k的取值范围是(　　)

A.(-2,+∞) 

B.

C.(-2,) 

D.(-2,2)

5.圆心在x轴上,且过点(-1,-3)的圆与y轴相切,则该圆的一般方程是(　　)

A.x2+y2+10y=0 

B.x2+y2-10y=0

C.x2+y2+10x=0 

D.x2+y2-10x=0

6.已知圆x2+y2+ax+by-6=0的圆心坐标为(3,4),则圆的半径是　　　　　. 

7.若圆x2+y2+2mx+2y-1=0的圆心在直线y=x+1上,则m=　　　　　,该圆的半径为　　　　　. 

8.在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,0),B(2,0),C(0,-4),经过这三个点的圆记为M.

(1)求BC边上的中线AD所在直线的一般式方程;

(2)求圆M的一般方程.

B级 关键能力提升练

9.以下直线中,将圆x2+y2-4x-2y+1=0平分的是(　　)

A.x-y-1=0 B.x-y+1=0

C.2x-y=0 D.2x-y+3=0

10.由方程x2+y2+x+(m-1)y+m2=0所确定的圆的最大面积为(　　)

A.π B.π C.π D.2π

11.直线l:ax-y+b=0,圆M:x2+y2-2ax+2by=0,则直线l与圆M在同一坐标系中的图形只可能是(　　)

12.在平面直角坐标系中,四点坐标分别为A(2,0),B(3,2-),C(1,2+),D(4,a),若它们都在同一个圆周上,则a的值为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.

13.方程x2+y2-2ax-4ay+6a2-a=0表示圆心在第一象限的圆,则实数a的取值范围为　　　　　. 

14.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为,则圆C的一般方程是　. 

15.已知曲线C:x2+y2-4mx+2my+20m-20=0.求证:当m≠2时,曲线C是一个圆,且圆心在一条直线上.

C级 学科素养创新练

16.已知曲线C:(1+a)x2+(1+a)y2-4x+8ay=0.

(1)当a取何值时方程表示圆;

(2)求证:不论a为何值,曲线C必过两定点;

(3)当曲线C表示圆时,求圆面积最小时a的值.

2.5.2　圆的一般方程

1.D　由圆的一般方程x2+y2-4x+6y=0可得圆的标准方程(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标为(2,-3),半径为,故选D.

2.A　由圆C过原点可得m2-3m+2=0,解得m=2或m=1.

当m=2时,原方程为x2+y2=0,它是一个点,不是圆;

当m=1时,原方程为x2+y2-x-y=0,它是以()为圆心,为半径的圆,所以实数m的值为1.

3.D　由题得,圆C:(x-1)2+y2=36的圆心为(1,0),半径为6.

设所求圆的半径为r,则πr2=×π×62,解得r=3.故所求的圆的方程为(x-1)2+y2=18.故选D.

4.C　由题意得解得-2<k<,故选C.

5.C　设圆心坐标为(t,0),因为圆心在x轴上且圆与y轴相切,所以r=|t|,

则根据题意得=|t|,解得t=-5.

所以圆心坐标为(-5,0),半径为5,该圆的标准方程是(x+5)2+y2=25,整理得该圆的一般方程为x2+y2+10x=0.

6.　由x2+y2+ax+by-6=0得=6+,又圆心坐标(3,4),∴-=3,-=4,解得a=-6,b=-8,∴圆的半径为.

7.2　　由x2+y2+2mx+2y-1=0可得(x+m)2+(y+1)2=m2+2,

所以圆心坐标为(-m,-1).因为圆心(-m,-1)在直线y=x+1上,所以-1=-m+1,解得m=2.则圆的半径为r=.

8.解(1)由B(2,0),C(0,-4),知线段BC的中点D的坐标为(1,-2).又A(-3,0),所以直线AD的方程为,整理得x+2y+3=0.即中线AD所在直线的一般式方程为x+2y+3=0.

(2)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

将A(-3,0),B(2,0),C(0,-4)三点的坐标分别代入方程得解得

所以圆M的一般方程是x2+y2+x+y-6=0.

9.A　圆x2+y2-4x-2y+1=0的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,∴该圆的圆心坐标为(2,1).

若直线平分圆,则(2,1)必在直线上.

∵2-1-1=0,点(2,1)在直线x-y-1=0上,故A正确;

∵2-1+1≠0,点(2,1)不在直线x-y+1=0上,故B错误;

∵2×2-1≠0,点(2,1)不在直线2x-y=0上,故C错误;

∵2×2-1+3≠0,点(2,1)不在直线2x-y+3=0上,故D错误.故选A.

10.B　所给圆的半径为r=.

所以当m=-1时,半径r取最大值,此时最大面积是π.故选B.

11.D　由圆的方程知圆过原点,故A,C错误;

该圆圆心为(a,-b),直线y=ax+b,

B中,由直线得a<0,b<0,由圆得a>0,-b>0,

∴b<0,故B不成立;

D中,由直线得a>0,b<0,由圆得a>0,-b>0,

∴b<0,符合题意.故选D.

12.C　设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

由题意得

解得

所以圆的一般方程为x2+y2-4x-4y+4=0.又因为点D(4,a)在圆上,所以42+a2-4×4-4a+4=0,解得a=2.故选C.

13.(0,1)　将方程x2+y2-2ax-4ay+6a2-a=0配方,得(x-a)2+(y-2a)2=a-a2.

因为方程x2+y2-2ax-4ay+6a2-a=0表示圆心在第一象限的圆,

所以解得0<a<1.

故实数a的取值范围为(0,1).

14.x2+y2+2x-4y+3=0　由题得圆的标准方程为-3,圆心为,半径为r=,

所以

解得

又圆心在第二象限,所以D=2,E=-4,即圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.

15.证明(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0,可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,则D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.

当m=2时,它表示一个点;

当m≠2时,原方程表示圆,此时圆的半径为r=|m-2|.

设圆心坐标为(x,y),则消去m,得x+2y=0,即圆心在直线x+2y=0上.

(方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2.

当m=2时,方程表示一个点;

当m≠2时,方程表示圆,此时圆的半径为r=|m-2|.

设圆心坐标为(x,y),则消去m,得x+2y=0,即圆心在直线x+2y=0上.

16.解(1)当a=-1时,方程为x+2y=0表示一条直线.

当a≠-1时,由(1+a)x2+(1+a)y2-4x+8ay=0,整理得,

由于>0,所以a≠-1时,方程表示圆.

(2)证明:方程变形为x2+y2-4x+a(x2+y2+8y)=0.

由于a取任何值时上式都成立,

则有解得

所以曲线C必过定点(0,0),,即无论a为何值,曲线C必过两定点.

(3)由(2)知曲线C过定点A(0,0),B,在这些圆中,以AB为直径的圆的面积最小,故以AB为直径的圆的圆心为,半径为r=,则圆的标准方程为.

所以解得a=.