高中数学2.1 直线的斜率习题

第2章　平面解析几何初步

2.1　直线的斜率

A级必备知识基础练

1.(2022山西运城高二月考)经过A(0,1+),B(3,1)两点的直线的倾斜角为(　　)

A. B. C. D.

2.(2022江西南昌第八中学高二月考)若直线经过两点A(5,-m),B(-m,2m-1)且倾斜角为,则m的值为(　　)

A.2 B.3 C.-1 D.-

3.已知点A的坐标为(3,4),在坐标轴上有一点B,若kAB=4,则点B的坐标为(　　)

A.(2,0)或(0,-4) B.(2,0)或(0,-8)

C.(2,0) D.(0,-8)

4.(多选题)若直线l与x轴交于点A,其倾斜角为α,直线l绕点A顺时针旋转后得到直线l1,则直线l1的倾斜角可能为(　　)

A.α+ B.α+ C.α- D.-α

5.(2022江苏如东高级中学高二月考)直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围为(　　)

A.-∞,

B.0,∪,π

C.0,

D.0,∪,π

6.(2022北京人大附中朝阳学校高二月考)直线l经过点(-1,0),倾斜角为,若将直线l绕点(-1,0)逆时针旋转后,得到直线l',则直线l'的倾斜角为　　　　　,斜率为　　　　　. 

7.若一条直线的斜率不存在,写出满足条件的一条直线的方程　　　　　,若一个一次函数所对应的直线的倾斜角为,写出满足题意的一个一次函数对应的直线方程　　　　　. 

8.已知A(1,2),B(2,1),C(0,m)三点.

(1)若过A,C两点的直线的倾斜角为45°,求m的值.

(2)A,B,C三点可能共线吗?若能,求出m的值;若不能,说明理由.

B级关键能力提升练

9.(2022湖北武汉武钢三中高二月考)直线xsin α-y+2=0的倾斜角的取值范围是(　　)

A.[0,π] B.0,∪,π

C.0, D.0,∪,π

10.(2022湖南长沙长郡中学高二月考)已知点A(2,-1),B(3,m),若m∈--1,-1,则直线AB的倾斜角α的取值范围为(　　)

A.

B.0,∪,π

C.∪

D.∪,π

11.过点A(2,1),B(m,3)的直线l的倾斜角α的取值范围是,则实数m的取值范围是 (　　)

A.(0,2]

B.(0,4)

C.[2,4)

D.(0,2)∪(2,4)

12.已知直线l1:y=x+1,将直线l1绕点(1,2)按逆时针方向旋转45°后,所得直线l2的方程为　　　　　,将直线l1绕点(1,2)按顺时针方向旋转45°后,所得直线l3的方程为　　　　　. 

13.如图所示的直角坐标系中,四边形ABCD为菱形,且∠ADC=120°,则对角线AC与BD所在直线的斜率之积为　　　　　. 

14.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2)三点.若点D在线段BC(包括端点)上移动,直线AD的斜率的变化范围是　　　　　. 

15.若三点A(3,1),B(-2,k),C(8,1)能构成三角形,则实数k的取值范围为　　　　　. 

16.(2022河北唐山第五十九中学高二月考)已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.

(1)求直线l的斜率k的取值范围;

(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.

C级学科素养创新练

17.某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,则m的值为　　　　　. 

18.如图,现有一目标球从点A(-2,3)无法直接射入目标点,经过x轴上的点P反弹后,经过点B(5,7),则点P的坐标为　　　　　. 

参考答案

第2章　平面解析几何初步

2.1　直线的斜率

1.D　由直线经过A(0,1+),B(3,1)两点,可知直线AB的斜率为k==-.

设直线AB倾斜角为α,则tanα=-,而α∈[0,π),

所以α=,所以所求直线的倾斜角为.故选D.

2.C　由题意,可知直线AB的斜率存在,且kAB==tan=1.解得m=-1.故选C.

3.B　设点B的坐标为(x,0)或(0,y),则kAB=或kAB=.

即=4或=4,解得x=2或y=-8,故点B的坐标为(2,0)或(0,-8).故选B.

4.BC　因为直线l的倾斜角的取值范围为[0,π),所以当≤α≤π时,直线l1的倾斜角为α-,当0≤α<时,直线l1的倾斜角为π--α=+α.故选BC.

5.B　直线l的斜率为k==1-m2.

因为m∈R,所以k∈(-∞,1],

所以直线的倾斜角的取值范围是0,∪,π.

故选B.

6.　如图所示,直线l经过点(-1,0),倾斜角为.若将直线l绕点(-1,0)逆时针旋转后,得到直线l',则直线l'的倾斜角α=-π=,斜率为k=tan.

7.x=2　y=x+1(答案不唯一,只要满足题意即可)

8.解(1)过A,C两点的直线的斜率为kAC==2-m.

又直线AC的倾斜角为45°,所以kAC=tan45°=1=2-m,解得m=1.

(2)由题得,kAC==2-m,kAB==-1.

若A,B,C三点共线,则有kAB=kAC,即-1=2-m,解得m=3.

所以A,B,C三点能共线,且m=3.

9.B　设直线xsinα-y+2=0的倾斜角为θ,则tanθ=sinα,-1≤sinα≤1,故倾斜角θ的取值范围是0,∪,π.故选B.

10.B　根据题意,直线AB的斜率k==m+1.

由m∈--1,-1,得k的取值范围为-,即tanα的取值范围为-.

由α∈[0,π)可知α∈0,∪,π,故选B.

11.B　由直线l的倾斜角α的取值范围是,可知直线的斜率存在时,且k<-1或k>1.

当m≠2时,k=,

则<-1或>1,

解得0<m<2或2<m<4.

当直线的斜率不存在时,m=2,符合题意,

综上,实数m的取值范围是(0,4).故选B.

12.x=1　y=2　易知直线l1的斜率为1,倾斜角为45°,所以直线l2的倾斜角为90°,直线l3的倾斜角为0°.

又因为直线l2和直线l3都经过点(1,2),所以直线l2和直线l3的方程分别为x=1,y=2.

13.-1　在菱形ABCD中,∵∠ADC=120°,

∴∠BAD=60°,∠ABC=120°,

∴∠BAC=30°,∠DBA=60°,

∴直线AC的斜率kAC=tan30°=,直线BD的斜率kBD=tan(180°-60°)=tan120°=-.

∴对角线AC与BD所在直线的斜率之积为×(-)=-1.

14.　由斜率公式可得直线AB的斜率kAB=,直线AC的斜率kAC=.

如图所示,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,所以直线AD的斜率的变化范围是.

15.(-∞,1)∪(1,+∞)　由题得,kAB=,kAC==0.

要使A,B,C三点能构成三角形,需三点不共线,

即kAB≠kAC,∴≠0,解得k≠1.

故实数k的取值范围为(-∞,1)∪(1,+∞).

16.解如图,由题意可知kPA==-1,kPB==1.

(1)要使l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k≥kPB或k≤kPA,即k≥1或k≤-1.

所以直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).

(2)由题意可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,

又PB的倾斜角是,PA的倾斜角是,所以倾斜角α的取值范围是.

17.9　果树前n年的年平均产量即点(n,Sn)与原点连线的斜率.连接各点与原点O,可知当n=9时,连线的斜率最大,所以m的值为9.

18.,0　设P(x,0),A点关于x轴对称的点A'(-2,-3),

则kA'P=,kA'B=.

由题意知,A',B,P三点共线,

∴kA'P=kA'B,即,解得x=,故P点的坐标为,0.