浙教版初中数学八年级上册第三单元《一元一次不等式》单元测试卷（困难）（含答案解析）
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考试范围：第三单元；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- 下列给出四个式子，；；；，其中是不等式的是( )
A. B. C. D.
- 如图是关于的不等式的解集，则的取值是( )
A. B. C. D.
- 若是自然数，且满足，则符合条件的的值是
A. ， B. ， C. ， D. ，，
- 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
- 已知正整数，，满足，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
- 根据，则下面哪个不等式不一定成立．( )
A. B. C. D.
- 已知关于，的方程组，其中，下列命题正确的个数为( )
当时，、的值互为相反数；
是方程组的解；
当时，方程组的解也是方程的解；
若，则．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
- 某工厂为了要在规定期限内完成个零件的任务，于是安排名工人每人每天加工个零件为整数，开工若干天后，其中人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知的值至少为( )
A. B. C. D.
- 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是( )
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
- 若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为非正数，则所有符合条件的整数的和为( )
A. B. C. D.
- 若整数使关于的不等式组，有且只有个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或或
- 若数使关于的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于的分式方程有非负数解，则所有满足条件的整数的值之和是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 若关于的不等式组无解，则的取值范围为____．
- 已知，且．
的取值范围是 ；
若设，则的最大值是 ． - 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是__________．
- 如图所示，一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分个，则剩下个；如果每人分个，则最后一个儿童分得的橘子数少于个．根据以上信息可以判定一共有______个儿童．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 本小题分
已知关于的不等式 的解集为，试化简：．
- 本小题分
当时，用“”号连接下列各式：，，，
当时，用“”号连接下列各式：，，．
- 本小题分
我们知道不等式的两边加或减同一个数或式子不等号的方向不变请完成下列填空填“”或“”，探索归纳得到一般的关系式．
已知可得 ，
已知可得 ，
已知可得 ，
一般地，如果那么
应用不等式的性质证明上述关系式
已知实数，，满足不等式，，，求证：．
- 本小题分
已知点为内部包括边界但非、、上的一点．
若点在边上，如图，求证：；
若点在内，如图，求证：；
若点在内，连结、、，如图，求证：．
- 本小题分
已知关于、的二元一次方程组为常数．
求这个二元一次方程组的解用含的代数式表示；
若方程组的解、满足，求的取值范围；
若，设，且为正整数，求的值．
- 本小题分
某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 | 销售数量 | 销售收入 | |
种型号 | 种型号 | ||
第一周 | 台 | 台 | 元 |
第二周 | 台 | 台 | 元 |
进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本
求、两种型号的电风扇的销售单价；
若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
在的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润超过元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
- 本小题分
某厂生产一种产品，每件产品的生产成本价始终不变．该厂今年月份将产品的出厂价定为元件，结果销售了件；月份将产品的出厂价定为元件，结果销售了件．已知该厂月份与月份销售该产品所获的利润相同．
备注：销售利润每件产品的出厂价每件产品的成本价销售数量
求每件产品的生产成本价；
若在生产过程中，平均每生产件产品产生的污水．为达到环保要求，工厂设计了如表所示的两种污水处理方案并准备实施．
方案 | 费用 |
：排到污水处理厂统一处理 | 每处理污水需付元排污费 |
：本厂净化处理后排放 | 每月排污设备损耗费元，且每处理污水另需费用元 |
单纯从经济效益角度考虑，你认为该工厂应如何选择污水处理方案？
- 本小题分
“保护好环境，拒绝冒黑烟”某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买型和型两种环保节能公交车共辆，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元．
求购买型和型公交车每辆各需多少万元？
预计在该线路上型和型公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．若该公司购买型和型公交车的总费用不超过万元，且确保这辆公交车在该线路的年均载客总和不少于万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
- 本小题分
由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的华为手机四月售价比三月每台降价元．如果卖出相同数量的华为手机，那么三月销售额为万元，四月销售额只有万元．
三月华为手机每台售价为多少元？
为了提高利润，该店计划五月购进华为手机销售，已知华为每台进价为元，华为每台进价为元，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种手机共台，请问有几种进货方案？
该店计划六月对华为的尾货进行销售，决定在四月售价基础上每售出一台华为手机再返还顾客现金元，而华为按销售价元销售，如要使中所有方案获利相同，应取何值？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式的概念：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．逐一进行判断即可．
【解答】
；；；，是不等式，
故选D．
2.【答案】
【解析】解：由数轴上表示不等式解集的方法可知，此不等式的解集为，
解不等式得，，即，解得．
故选C．
先根据在数轴上表示不等式解集的方法求出不等式的解集，再列出关于的方程，求出的取值范围即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了绝对值，不等式，可根据是自然数，联系数轴，写出它的解即可．
【解答】
解：，
，
是自然数，
符合条件的的值是，
故选B．
4.【答案】
【解析】解：，
，
关于的不等式的解集为，
，
，
，
得：，
，
把代入得：，
，
把，代入，得：
，
解得，．
故选：．
根据不等式的性质，可得、的关系，求出，的值，代入，解不等式可得答案．
本题考查了不等式的解集，解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
5.【答案】
【解析】解：将，变形为，
即，
，
，
则，
的最大值是，
故选：．
将已知条件变形为，则，从而得出的最大值．
本题主要考查了不等式的性质，因式分解的应用，熟练掌握不等式的性质是解题的关，难度较大．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查不等式的基本性质：
不等式两边同时加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．
不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的基本性质进行判断， 注意“”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“”存在与否，以防掉进“”的陷阱．
【解答】
解：由，两边同时加上，根据不等式性质，知A正确
B.由，两边同时减去，根据不等式性质，知B正确
C.由，两边同时乘以，若，则不等号就该变为等号，而此题不能确定是否为，故C不一定成立
D.由，两边同时除以，既然已经作了除数就说明不等于，即此题隐含了的条件，所以为正数，根据不等式性质，知D正确．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：解方程组得：，
当时，，，
所以、互为相反数，故正确；
把代入，
得：，
解得：，
，
此时不符合，故错误；
当时，
，，
方程组的解是，
把，代入方程得：左边右边，
即当时，方程组的解也是方程的解，故正确；
，
，
即，
，
，
，
，
，故正确；
故选：．
先求出方程组的解，把代入求出、即可；
把代入，求出的值，再根据判断即可；
求出方程组的解，再代入方程，看看方程左右两边是否相等即可；
根据和求出，求出，再求出的范围即可．
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解不等式组等知识点，能求出方程组的解是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元一次不等式的应用，解题的技巧性在于设而不求，难度一般．
根据名工人的前期工作量名工人的后期工作量列出不等式并解答．
【解答】
解：设原计划天完成，开工天后人外出培训，
则，
得到．
所以．
整理，得．
．
将其代入化简，得，即，
整理，得．
，
，
．
至少为．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：原分式方程可化为：，
去分母，得，
解得，
分式方程解是非负数，
，且，
的取值范围是：且，
故选：．
首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解，再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为，列不等式，求出公共的解集即可．
本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，，列不等式组是解题关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
根据不等式组的解集确定出的范围，再由分式方程有正整数解确定出满足题意的值，求出之和即可．
【解答】
解：不等式组整理得：，
由已知解集为，得到，
解得：，
分式方程去分母得：，
解得：，
由分式方程的解为非正数，
，
，
且，
且，
且，
整数，，，，
则所有满足条件的整数的和是，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：解不等式组，得
，
不等式组有且只有个整数解，
，
解得，
因为关于的方程的解为：
，，
，
解得，
，，
则的值为：或．
故选：．
解不等式组，得，根据不等式组有且只有个整数解，可得，根据关于的方程的解为非正数：解得，又不等于，进而可得的值．
本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解决本题的关键是确定一元一次不等式组的整数解．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分式方程的解法，一元一次不等式组的解法的有关知识先根据不等式组解的情况求出的取值范围，再解分式方程，根据方程有非负整数解，确定出值，
再求这些值的和即可．
【解答】
解：解不等式组得
不等式组有且仅有四个整数解，
，为整数只能取，，，
，
，
解分式方程，可得，
又分式方程有非负数解，
，且，
即，，
解得，且，
，且，
满足条件的整数的值为，，，，，
满足条件的整数的值之和是．
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的解集．求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
原不等式组无解，即组成不等式组的两个不等式的解集没有交集．
【解答】
解：关于的不等式组无解，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
解：，
，
，
，
解得：，
故答案为：；
，
，
，
，
则，
即的最大值为，
故答案为：．
【分析】
由知，依据得，解之可得；
将代入得，结合可得答案．
本题主要考查不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以或除以含有字母的数时，一定要对字母是否大于进行分类讨论．
15.【答案】且
【解析】解：，
方程两边同乘以，得
去括号，得
移项及合并同类项，得
系数化为，得
，
关于的方程的解为正数且，
，
解得，且．
根据解分式方程的方法求出题目中分式方程的解，然后根据关于的方程的解为正数和可以求得的取值范围．
本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
16.【答案】
【解析】解：设共有个儿童，则共有个橘子，
则
所以共有个儿童，
故答案为：
根据题意，儿童和橘子都为整数，列出不等式，从而求解出多少儿童．
此题考查一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解．
17.【答案】解：的不等式 的解集为
，
，
．
【解析】此题主要考查了不等式的解集及绝对值的性质．
根据不等式 的解集为，继而根据不等号方向的改变得到的取值范围，根据的取值范围结合绝对值的性质化简绝对值即可．
18.【答案】解：因为，不妨令，
此时，，，
所以．
因为，
所以，或，．
当，时，不妨取，，此时
，
，
．
所以．
当，时，不妨取，，此时
，
，
．
所以．
综上所述，当时，总有．
【解析】当某些式子通过观察不容易比较大小时，往往采用特殊值法，先求出式子的值，再进行比较．
19.【答案】解：，，，．
证明：令，由可得，则，
．
证明：，，，
，，，
，
，
，而，
．
【解析】略
20.【答案】证明：如图中，
，
，
即．
如图中，延长交于．
；
，
由得 ，
如图中，
；
；
，
把得 ，
又由上面式得到：
；
；
，
把得 ．
即．
【解析】本题属于三角形综合题，考查了三角形的三边关系，不等式的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
根据三角形的三边关系以及不等式的性质即可解决问题．
如图中，延长交于利用三角形的三边关系解决问题即可．
根据三角形的三边关系以及不等式的性质即可解决问题．
21.【答案】解
得：
得：
方程组的解、满足
解得：
设
则
解得
为正整数
或
【解析】此题主要考查二元一次方程组和一元一次方程及一元一次不等式的解法．
根据方程组的特点，选择用加减消元法解二元一次方程组；
根据方程组的解、满足，构造一元一次不等式求解；
根据设先构造一元一次方程，用含的代数式表示，再根据构造关于未知数为的一元一次不等式求解．
22.【答案】解：设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元．
依题意得解得
故A、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元．
设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台．
依题意得，解得．
故A种型号电风扇最多能采购台．
根据题意得，解得，
因为，且为整数，
所以在的条件下超市能实现利润超过元的目标．
相应的采购方案有两种：采购种型号的电风扇台，种型号的电风扇台采购种型号的电风扇台，种型号的电风扇台．
【解析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，根据台型号台型号的电扇收入元，台型号台型号的电扇收入元，列方程组求解；
设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据金额不多余元，列不等式求解；
根据种型号电风扇的进价和售价、种型号电风扇的进价和售价以及总利润一台的利润总台数，列出不等式，求出的值，再根据为整数，即可得出答案．
23.【答案】解：设该产品的生产成本是元件，
由题意可得：，
解得．
答：该产品的生产成本是元件
设每月生产件产品．
由题意可得，方案的费用为：，
方案的费用为：．
当时，解得．
当时，解得．
当时，解得．
答：当每月生产产品超过件时，选用方案；
当每月生产产品为件时，方案或方案均可；
当每月生产产品少于件时，选用方案
【解析】此题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用．
根据题意列出一元一次方程求解；
根据费用进行分类讨论求解．
24.【答案】解：设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，由题意得：
解得：
答：购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元．
设购买型公交车辆，则型公交车辆，由题意得：
解得：，
所以，，；
则，，；
三种方案：
购买型公交车辆，则型公交车辆：万元；
购买型公交车辆，则型公交车辆：万元；
购买型公交车辆，则型公交车辆：万元；
购买型公交车辆，则型公交车辆费用最少，最少总费用为万元．
【解析】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．
设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“型公交车辆，型公交车辆，共需万元；型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题；
设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“购买型和型公交车的总费用不超过万元”和“辆公交车在该线路的年均载客总和不少于万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．
25.【答案】解：设三月华为手机每台售价为元，由题意得：
，
解得，
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
答：故三月华为手机每台售价为元；
设购进华为手机台，由题意得，
，
解得：，
只能取整数，
取、、、、，共有种进货方案，
答：共有种进货方案；
四月华为手机每台售价是：元，
设总获利为元，
则
获利相同，则与的取值无关，
令，
解得：，
答：当时，中所有的方案获利相同．
【解析】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用．
设三月份华为手机每台售价为元，则四月份华为手机每台售价为元，根据三月份与四月份手机的销量相等建立方程，求出其解即可；
设购进华为手机台，则华为购进台，根据两款手机的总费用不多于万元且不少于万元建立不等式组，求出其解即可；
设总获利为元，根据两款手机的费用之和为，建立关系式，由中所有的方案获利相同，知与的取值无关，即可确定的值．
