2022-2023学年北京十二中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京十二中九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A. 直角三角形 B. 圆 C. 等边三角形 D. 四边形

2.     小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案如图，则可以为(    )

A.
B.
C.
D.

3.    抛物线的对称轴是直线(    )

A.  B.  C.  D.

4.    二次函数与轴交点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定

6.    把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

7.    抛物线上有两点、，且，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量单位：与旋钮的旋转角度单位：度近似满足函数关系如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为(    )
    

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.    点与点关于原点对称，则点坐标是______．
10. 若一个反比例函数图象的每一支上，随的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是______写出一个即可
11. 写出一个二次函数，使其满足：图象开口向下；当时，随着的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是          ．
12. 如图，矩形中，，以点为中心，将矩形旋转得到矩形，使得点落在边上，此时的长为          ．
     

13. 若关于的方程的一个根是，则的值为______．
14. 如图，，两点在函数图象上，垂直轴于点，垂直轴于点，，面积分别记为，，则 ______ 填“”，“”，或“”．

15. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论
    ；；；
    若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．
    其中所有正确结论的序号是______．

16. 已知双曲线与直线交于点，
    若，则           ；
    若时，，则           ，
            填“”，“”或“”．

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    用适当的方法解方程．
    ．
    ．
18. 本小题分
    如图，点是等边的边上的点，以为边作等边，连接．
    求证：≌；
    若，求的度数．

19. 本小题分
    已知关于的一元二次方程为实数且．
    求证：此方程总有两个实数根；
    如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．
20. 本小题分
    如图，在正方形网格中，将格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点．
    请通过画图找到旋转中心，将其标记为点；
    直接写出旋转角的度数．

21. 本小题分
    已知二次函数．
    将二次函数化成的形式；
    在平面直角坐标系中画出的图象；
    结合函数图象，直接写出时的取值范围．

22. 本小题分
    刘师傅开了一家商店，今年月份盈利元．月份的盈利达到元，且从月到月，每个月盈利的增长率相同．
    求每个月盈利的增长率；
    按照这个增长率，请你估计这家商店月份的盈利将达到多少元？
23. 本小题分
    如图，排球运动场的场地长，球网高度，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为，当排球飞行到距离球网时达到最大高度小石建立了平面直角坐标系个单位长度表示，求得该抛物线的表达式为．
    根据以上信息，回答下列问题：
    画出小石建立的平面直角坐标系；
    判断排球能否过球网，并说明理由．
     
24. 本小题分
    在平面直角坐标系中，直线：与函数的图象交于点．
    求，的值；
    点是函数的图象上任意一点不与点重合，点，在直线上，点横坐标为若，求点横坐标的取值范围．
25. 本小题分
    数学学习小组的同学共同探究体积为圆柱形有盖容器如图所示的设计方案．他们想探究容器表面积与底面半径的关系．
    
    具体研究过程如下，请补充完整：
    建立模型：设该容器的表面积为，底面半径为，高为，则
    ，
    ，
    由式得，代入式得
    ，
    可知，是的函数，自变量的取值范围是．
    探究函数：
    根据函数解析式，按照如表中自变量的值计算精确到个位，得到了与的几组对应值：

在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

解决问题：根据图表回答，
半径为的圆柱形容器比半径为的圆柱形容器表面积______填“大”或“小”；
若容器的表面积为，容器底面半径约为______精确到．

26. 本小题分
    已知抛物线过，，三点．
    
    求的值用含有的代数式表示；
    若，求的取值范围．
27. 本小题分
    在中，，，将线段绕点顺时针旋转到如图所示的位置，得到线段，连接，平分交于点，交的延长线于点，连接．
    依题意补全图形；
    求的度数；
    用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

28. 本小题分
    对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最大值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是．
    函数和中是有上界函数的为______只填序号即可，其上确界为______；
    如果函数的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围；
    如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、直角三角形不一定是轴对称图形，一定不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、四边形不一定是轴对称图形，也不一定是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形绕对称中心旋转度后与原图形重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图，由题意知：经过一次旋转后点旋转至点的位置上，则旋转中心为点，

此时，
故选：．
根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得其与点连线的夹角即可求得旋转角．
本题考查了利用旋转设计图案，解题的关键是能够找到一对对应点确定旋转角，从而确定旋转角的度数，难度不大．
 

3.【答案】 

【解析】解：

，
对称轴是直线．
故选：．
把二次函数解析式配方成顶点式的形式，然后即可写出对称轴．
本题考查了二次函数的性质，配方成顶点式是解题的关键，也可以利用对称轴公式直接求解．
 

4.【答案】 

【解析】解：
当时，，
即二次函数与轴交点坐标为，
故选：．
根据题目中的函数解析式，令，求出相应的的值，即可解答本题．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数与轴交点的横坐标等于．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
把，，代入判别式进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程为常数根的判别式掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为：．
故选：．
根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：
、在抛物线上，
，，
，
，
，
故选：．
把、两点的坐标分别代入抛物线解析式可用分别表示出和，利用条件可得到的不等式，可求得的取值范围．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称轴与横轴交点的横坐标的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】
解：由图象可知，物线开口向上，
从和两个点可以看出对称轴与横轴交点的横坐标，得，
从和两个点可以看出对称轴与横轴交点的横坐标，得，
，
即对称轴位于直线与直线之间，分析各选项可得只有符合，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：与点关于原点对称，则点的坐标是，
故答案为：．
根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点的对称点：横、纵坐标都变成相反数．
 

10.【答案】答案不唯一． 

【解析】解：只要使反比例系数大于即可．如，答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
反比例函数的图象在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小，则反比例函数的反比例系数；反之，只要，则反比例函数在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大．
本题主要考查了反比例函数的性质：时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内随的增大而减小；时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内随的增大而增大．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：设二次函数解析式为，
图象开口向下，
；
当时，随着的增大而减小，
结合函数图象开口方向，可知其对称轴在轴左侧或与轴重合，
，得；
只要满足以上两个条件即可，
如，，时，二次函数的解析式是．
故答案为：答案不唯一．
首先由得到；由得到；只要举出满足以上两个条件的、、的值即可得出所填答案．
本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
由旋转的性质可知，，
，
故答案为：．
根据，可得结论．
本题考查旋转的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：．
把代入方程得，然后解关于的方程即可．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
 

14.【答案】 

【解析】解：由反比例函数系数的几何意义得，
，
故答案为：
根据反比例函数系数的几何意义可得答案．
本题考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是正确解答的前提．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，正确．
抛物线顶点为，
抛物线对称轴为直线，
抛物线过点，
由对称性可得抛物线经过点，
，错误，
，
，
，
，
为抛物线顶点，
，
，即，正确，
抛物线经过点，
点关于对称轴对称点在抛物线上，
为的一个根，错误．
故答案为：．
由抛物线开口和抛物线与轴交点判断，由抛物线的对称性及经过点可判断，由抛物线对称轴为直线可得，由可得，从而判断，点对称点横坐标为可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质、二次函数与方程及不等式的关系．
 

16.【答案】；
，． 

【解析】解：双曲线与直线交于点，，
，，
，
，
，
，
故答案为；
双曲线的图象在二、四象限，
如图，设在第二象限，在第四象限，
则，，，，
，，
，，
由图象可得，直线经过一、二、四象限，
，，
故答案为，．
根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论；
根据题意画出图象，根据图象即可得出结论．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，利用数形结合的方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
，．
，
，
，即，
，
． 

【解析】应用直接开方法解一元二次方程即可．
应用配方法解一元二次方程即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

18.【答案】解：证明：与都是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
≌；
≌，
，，
． 

【解析】根据与都是等边三角形，得到，，，从而得到，即，利用证得≌；
由≌，得到，，再由三角形内角和为即可求出的度数．
本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，根据等边三角形中隐含的条件可以得到证明三角形全等的一些条件是解题的关键．
 

19.【答案】证明：依题意，得

．
，
方程总有两个实数根；
解：，，，
，
，，
方程的两个实数根都是整数，且是正整数，
或，
或． 

【解析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键．
根据一元二次方程根的判别式，配方法，偶次方的非负性证明；
利用公式法解出方程，根据题意求出．
 

20.【答案】解：如图所示，点即为所求；

．
解：，，
，
是直角三角形，，
旋转角． 

【解析】

【分析】
连接、，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求；
连接、，利用网格特点结合勾股定理的逆定理可得旋转角．  

21.【答案】解：

；
抛物线的顶点坐标为，
当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；
当时，，解得，，则抛物线与轴的交点坐标为，；
如图，

． 

【解析】利用配方法可把抛物线解析式化顶点式；
先解方程得抛物线与轴的交点坐标为，，再确定抛物线的顶点坐标和与轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；
结合函数图象，写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

22.【答案】解：设每个月盈利的增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每个月盈利的增长率为．


元．
答：按照这个增长率，估计这家商店月份的盈利将达到元． 

【解析】设每个月盈利的增长率为，利用月份的盈利金额月份的盈利金额增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出每个月盈利的增长率为；
利用这家商店月份的盈利金额这家商店月份的盈利金额增长率，即可估计出这家商店月份的盈利将达到元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】解：抛物线解析式为，
对称轴为轴，顶点为，
小石建立的平面直角坐标系如图所示：

排球能过球网．
理由：当时，，
排球能过球网． 

【解析】根据抛物线的解析式可以得出抛物线的对称轴为轴，顶点为建立坐标系即可；
根据坐标系和抛物线解析式，把代入解析式求出相应的函数值与比较即可．
本题考查了二次函数的应用，关键根据抛物线建立适当的坐标系．
 

24.【答案】解：点在直线：上，
．
函数的图象经过点，
；

设点到直线的距离为．
，，
，
．
，点横坐标为，
如图，当点在射线上时，；
如图，当点在线段延长线上时，．

综上所述：点横坐标的取值范围是：或． 

【解析】将点坐标代入，得出的值，再把点坐标代入，即可求出的值；
设点到直线的距离为根据，得出再分两种情况进行讨论：点在射线上；点在线段延长线上．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用数形结合，进行分类讨论是解题的关键．
 

25.【答案】解：函数图象如图所示：

大；或． 

【解析】

解：
根据图表可知，半径为的圆柱形容器比半径为的圆柱形容器表面积大，
故答案为：大．
根据图表可知，当，或，
故答案为：或．
【分析】
根据图象上点连线即可；
根据图表即可求出答案．
本题考查了函数的图象，根据结合图象和表格信息是解题的关键．  

26.【答案】解：将代入得．
，
抛物线对称轴为直线，
抛物线顶点坐标为，
将代入得，
将代入得，
将代入得，
当时，抛物线开口向下，
若，
则，，，
，
解得，
当时，抛物线开口向上，
若，
则，，，
，
解得，
综上所述，或． 

【解析】将代入解析式求解．
将，，代入解析式，求出，，与的关系，分类讨论，时满足的条件，进而求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
 

27.【答案】解：补全图形如图所示；

设，
将线段绕点顺时针旋转到如图所示的位置，得到线段，
，
，
，
，
，
，

平分，
，
，
；
．
证明：过作交的延长线于，

，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
≌，
，
，平分，
垂直平分，
，
，
． 

【解析】根据题意补全图形即可；
设，根据旋转的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
过作交的延长线于，根据等腰直角三角形的判定推出是等腰直角三角形，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
 

28.【答案】，
，随值的增大而减小，
当时，，
上确界是，
，
函数的最小值不超过，
，
，
，
，
，
的取值范围为：；
的对称轴为直线，
当时，的最大值为，
为上确界，
，
舍；
当时，的最大值为，
为上确界，
，
舍；
当时，的最大值为，
为上确界，
，
；
当时，的最大值为，
为上确界，
，
舍，
综上所述：的值为． 

【解析】解：，
无上确界；
，
，
有上确界，且上确界为，
故答案为：，；
见答案；
见答案．

分别求出两个函数的最大值即可求解；
由题意可知：，再由，，，即可求的取值范围；
当时，，可得舍；当时，，可得舍；当时，，可得；当时，，可得舍．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键．